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1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（广东卷） 考试时间： 120 分钟日期： 2004 年 6 月 8 日星期二 满分 150 分 第 I 卷 参考公式： 三角函数的积化和差公式函数求导公式 sincos = 1 2 sin ( + ) + sin ( ) (uv) = u v cossin = 1 2 sin ( + )sin ( ) (uv) = u v + uv coscos = 1 2 cos ( + ) + cos ( ) ( u v ) = u vuv v 2 （v 0） sinsin = 1 2 cos ( + )cos ( ) f ( (x) = f (u) (x)
2、，其中u = (x) 锥体体积公式球的体积公式 V 锥体 = 1 3 ShV 球体 = 4 3 R 3 其中S 表示底面积， h 表示高其中 R 表示球的半径 一. 选择题 （共 12 小题，每题5 分，计 60 分） （1）已知平面向量a=（3，1） ，b=（x， 3） ，且ab，则 x= （A） 3 （B） 1 （ C） 1 （D）3 （2）已知 Ax|2x 1| 3 ，Bx|x 2x6，则 A B （A） 3, 2)(1,2（B） 3, 2)(1,) （C）( 3, 21,2)（D）(, 3(1,2 （3）设函数 2 322 (2) ( ) 42 (2) x x f x xx ax 在
3、x=2 处连续，则a= （A） 1 2 （B） 1 4 （C） 1 4 （D） 1 3 （4） 123212 lim 11111 n nn nnnnn 的值为 （A） 1 （B）0 （ C） 1 2 （D）1 （5）函数 f（x） 2 sin 4 x 2 sin 4 x 是 （A）周期为的偶函数（B）周期为的奇函数 （C）周期为2的偶函数（ D）周期为2的奇函数 （6）一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的 自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2 台机床需要工人照看的概率是 （A）0.1536 （B） 0.1808 （ C） 0.5632 （D）
4、 0.9728 （7）在棱长为1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 （A） 2 3 （ B） 7 6 （C） 4 5 （D） 5 6 （8）若双曲线2x 2y2k（ k0）的焦点到它相对应的准线的距离是 2，则 k= （A） 6 （B） 8 （C） 1 （D） 4 （9）当 0x 4 时，函数f（x） 2 2 cos cossinsin x xxx 的最小值是 （A） 4 （B） 1 2 （C）2 （D） 1 4 （10）变量 x、y 满足下列条件： 212 2936 2324 0,0 xy xy xy xy ，则使 z=3x
5、+2y 的值最小的（ x，y）是 （A） （ 4.5，3）（B） （ 3，6）（C） （9，2）（D） （6，4） （11）若( )tan 4 fxx ，则 （A）( 1)f(0)f(1)f（B）(0)f(1)f( 1)f （C）(1)f(0)f( 1)f（D）(0)f( 1)f(1)f （12）如右下图，定圆半径为a，圆心为（ b ，c） ， 则直线 ax+by+c=0 与直线x y+1=0 的 交点在 （A）第四象限 （B）第三象限 （C）第二象限 （D）第一象限 y x O 二.填空题 （共 4 小题，每题4 分，计 16 分） （13）某班委会由4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出
6、2 人担任正副班长，其中至少有1 名女生当选的概率是（用分数作答） （14）已知复数z 与(z +2) 28i 均是纯虚数，则 z = . （15） 由图 （1） 有面积关系： PA B PAB SPA PB SPA PB ， 则由图（2） 有体积关系： PA B C PABC V V . （16）函数( )ln(1 1)f xx（x0）的反函数 1( ) fx . 三.解答题 （共 6 小题， 74 分） （17） （12 分）已知 ， ，成公比为2 的等比数列（ 0，2） ，且 sin，sin， sin也成等比数列 . 求，的值 . （18） （12 分）如右下图，在长方体ABCD A1B
7、1C1D1中，已知 AB= 4 ， AD =3 ， AA 1= 2. E、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. （）求二面角C DEC1的正切值 ; （）求直线EC1与 FD1所成的余弦值. （19） （12 分）设函数 1 ( )1f x x （x0）. （）证明 : 当 0ab ，且( )( )f af b时， ab1; （）点P（x0，y0） （0x0 1 ）在曲线( )yf x上，求曲线在点P 处的切线与x 轴和 y 轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x0表达） . （20） （12 分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观 测点同时
8、听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该 中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s ， 相关各点均在同一平面上） B A P B A 图 1 B A P B A C C 图 2 A B C D F E A1 B1 C1D1 （21） （12 分）设函数( )ln()f xxxm，其中常数m 为整数 . （）当m 为何值时，( )f x0； （） 定理 : 若函数 g（x） 在 a，b上连续，且g（a）与 g（b）异号，则至少存在一点 x0（ a，b） ，使 g（x0）=0. 试用上述定理证明：当整数m 1时，
9、方程f（x）= 0，在 e m ，e2m 内有两个 实根 . （22） （14 分）设直线l 与椭圆 22 1 2516 xy 相交于 A、B 两点， l 又与双曲线x 2y2 =1 相交 于 C、D 两点， C、D 三等分线段AB. 求直线 l 的方程 . 参考答案 一、选择题 CACAB DDAAB DB 二、填空题： （13） 7 5 （14） 2i (15) PCPBPA PCPBPA (16)(2 2 Rxee xx 三、解答题 17解： , ,成公比为2 的等比数列，=2， =4 sin,sin,sin 成等比数列 2 1 cos, 1cos 01coscos2 1cos2cos
10、2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2 2 或解得 即 当 cos=1 时， sin=0,与等比数列的首项不为零，故cos=1 应舍去， 3 16 , 3 8 , 3 4 3 8 , 3 4 , 3 2 , 3 4 3 2 ,2, 0, 2 1 cos 或所以 或时当 18解： （I）以 A 为原点， 1 ,AAADAB分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则有 D(0,3,0) 、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是，)2,2, 4(),2, 3, 1(),0 , 3, 3( 11 FDECDE
11、 设向量),(zyxn与平面 C1DE 垂直，则有 2 2 tan 3 6 400411 220101 | cos ,)2,0 ,0( ,),2, 1, 1( 0),2, 1, 1( 2 ), 2 , 2 ( 2 1 023 033 10 10 110 1 100 1 AAn AAn CDECAAn CDEAA DECnn z z z zz n zyx zyx yx ECn DEn 的平面角为二面角所成的角与 垂直与平面向量 垂直的向量是一个与平面则取 其中 （II）设 EC1与 FD1所成角为 ，则 14 21 22)4(231 2223)4(1 | cos 222222 11 11 FDE
12、C FDEC 19.证明：（I） ), 1(, 1 1 1 , 0(, 1 1 | 1 1|)( x x x x x xf 故 f(x) 在（ 0，1上是减函数，而在（1，+）上是增函数，由0|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即 答：巨响发生在接报中心的西偏北450，距中心m10680处 . 21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且 mxxf mx xf1,0)(, 1 1)( 得令 当 x(-m,1-m) 时,f （x）f(1-m) 当 x(1-m, + )时 ,f （x） 0,f(x) 为增函数 ,f(x)f(1-
13、m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对 x(-m, +)都有 f(x) f(1-m)=1-m 故当整数m1 时， f(x) 1-m0 (II) 证明：由（ I）知，当整数m1 时， f(1-m)=1-m1 时， ), 1121( 03 2 )12(2 213)11 (3)( 222 归纳法证明上述不等式也可用数学 mm m mm mmmemef mmm 类似地， 当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m), 在,1 mem m 上为连续增函数且f(1-m) 与)( 2 mef m 异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22 xfmemx m 使 故当
14、 m1 时，方程f(x)=0 在 , 2 meme mm 内有两个实根。 22解：首先讨论l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线l 的方程为 y=kx+b ，如图所示， l 与椭圆、双曲线的交点为： ),(),(),(),( 44332211 yxDyxCyxByxA y x o l A B C D 依题意有CDABDBAC3,，由 )2.(0)1(2)1( 1 2516 50 )1.(0)40025(2)2516( 1 1625 222 22 2 21 222 22 bbkxxk yx bkxy k bk xx bbkxxk yx bkxy 得由 得 若1k，则与双曲线最多只有一个交点，不合题
15、意，故1k 2 43 1 2 k bk xx 由 43214213 xxxxxxxxDBAC 13 16 1616 4 10 ),(33 1)2(,16 4 5 ) 1(,0)( 000 1 2 2516 50 22 3412 2 4, 3 2 2,1 22 bbbxxxxCDAB bxbxki bkbk k bk k bk 即由 得由得由时当 或 故 l 的方程为 13 16 y (ii) 当 b=0 时，由 (1)得 2 4, 3 2 2, 1 1 1 )2(, 2516 20 k x k x得由 由 25 16 1 6 2516 40 )(33 22 3412 k kk xxxxCDAB即由 故 l 的方程为xy 25 16 再讨论 l 与 x 轴垂直的情况 . 设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 241 24125 241 24125 1625 5 8 |3|3| 1,25 5 4 22 3412 2 4, 3 2 2,1 xl ccc yyyyCDAB cycy 的方程为故 即 由 综上所述，故l 的方程为 13 16 y、xy 25 16 和 241 24125 x