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1、2011年2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析版） 9数列 一、选择题 （2017 3） 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一 层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（） A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏 （2015 4）已知等比数列 an满足 a1=3，a1+ a3+ a5=21，则 a3+ a5+ a7=（ ） A21 B42 C63 D84 （2013 3）等比数列 n a的前n项和为 n S ，已知 321 10Saa ， 5 9a
2、，则 1 a（） A. 1 3 B. 1 3 C. 1 9 D. 1 9 （2012 5）已知 an为等比数列， a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则 a1 + a10 =（ ） A. 7 B. 5C. - 5 D. - 7 二、填空题 （2017 15）等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 3a， 4 10S，则 1 1 n k k S （2015 16）设 Sn是数列 an的前项和，且 1 1a， 11nnn aS S，则 Sn=_ （2013 16）等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 10 0S， 15 25S，则 n nS的最小值为 _. （2012 16）
3、数列 n a满足12)1( 1 naa n n n ，则 n a的前 60 项和为. 三、解答题 （ 2018 17） 记 n S 为等差数列 n a的前n项和，已知 1 7a， 3 15S （1）求 n a的通项公式； （2）求 nS ，并求nS 的最小值 （2016 17） （满分 12 分） Sn为等差数列 an的前 n 项和，且 a1=1，S7=28. 记 bn=lg an，其中 x表示不超 过 x 的最大整数，如0.9=0 ，lg99=1. （）求b1，b11，b101； （）求数列bn 的前 1 000 项和 . （2014 17）已知数列 an满足 a1 =1， an+1 =3
4、an +1. （）证明 1 2 n a 是等比数列，并求an的通项公式； （）证明： 12 3111 2 n aaa . （2011 17）等比数列 n a 的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa a （）求数列 n a的通项公式； （）设 31323 logloglog nn baaaL L，求数列 1 n b 的前 n 项和 . 2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编 9数列（逐题解析版） 一、选择题 （2017 3）B【解析 】一座 7 层塔共挂了381 盏灯， 即 7381S；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍， 即2q，塔的顶层为 1 a
5、 ；由等比前n项和 1 1 1 1 n n aq Sq q 可知： 1 7 12 381 12 n a S，解得 1 3a. （2015 4）B【解析 】 ： 设等比数列公比为q，则 a1+a1q2+a1q4=21，又因为 a1=3， 所以 q4+q2- 6=0，解得 q2=2， 所以 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42，故选 B. （2013 3） 【答案： C】 解析： 由 S3=a2+10a1，得， a1+a2+a3=a2+10a1即， a3=9a1，亦即 a1q2=9a1，解得 q2=9. a5=a1 q4=9，即 81a1=9， a1= 1 9 . （2012 5） 【
6、答案： D】解析： 47 2aa， 5647 8a aa a， 47 42aa，或 47 24aa， 14710 ，aaaa成等比数列， 110 7aa. 二、填空题 （2017 15） 2 , 1 n nN n 【解析 】 4 10S， 2314 aaaa， 23 5aa ， 33a，2 2a n an， 1 2 n n n aa S 2 1 n S n n 1211 2 11 n Sn nnn 1 112 2 1 11 n i n n Snn ， 1 12 , 1 n i n n nN Sn （2015 16） 1 n 【解析 】由已知得 111nnnnn aSSSS，两边同时除以 1nn
7、 SS，得 1 11 1 nn SS ， 故数列 1 n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则 1 1(1) n S nn，所以 1 n S n （2013 16）- 49【 解析 】设数列 an的首项为 a1，公差为 d，则 S10 1 109 10 2 ad 10a145d0， S15 1 15 14 15 2 ad 15a1 105d 25 ， 联 立 ， 得a1 - 3 ， 2 3 d ， 所 以 Sn 2 (1)2110 3 2333 n n nnn. 令 f(n)nSn，则 32 110 ( ) 33 f nnn， 2 20 ( ) 3 f nnn. 令 f (n) 0，得 n 0 或 20 3 n. 当 20 3 n 时， f (n)0, 20 00，故 1 3 q. 由 12 231aa得 12 231aa q，所以 1 1 3 a. 故数列 an 的通项式为 1 3 n n a. （ ） 31323 (1) logloglog=(12) 2 nn n n baaan， 故 1211 2() (1)1 n bn nnn ， 12 111111112 2(1)()() 22311 n n bbbnnn ， 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n .