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1、第 1 页（共 19 页） 2018 年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1 （5 分）已知 tan（）= ，则 tan 的值为（） ABC 3 D3 2 （5 分）已知集合 A=x| y=2x1 ，B= y| y=x 2，则 AB=（ ） A （1，1）B 0，+）C （1，1）D? 3 （5 分）“x0” 是“ （） x3” 的（ ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为 BC的中点， F 为 B1C1的中点，则 异面直线 AF与 C1E
2、所成角的正切值为（） ABC D 5 （5 分）函数 y=xln| x| 的大致图象是（） A B C D 6 （5 分）设 a，b 是空间中不同的直线， ，是不同的平面，则下列说法正确 的是（） Aab，b? ，则 aBa? ，b? ， ，则 ab Ca? ，b? ， ，b ，则 D ，a? ，则 a 7 （5 分）已知函数 y=sin（2x+ ）在 x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+ ） 第 2 页（共 19 页） 的图象（） A关于点（，0）对称B关于点（，0）对称 C关于直线 x=对称 D关于直线 x=对称 8 （5 分）如图， CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东
3、方向往正 西方向行驶，在点A 处时测得点 D 的仰角为 30 ，行驶 300m 后到达 B处，此时 测得点 C在点 B 的正北方向上，且测得点 D的仰角为 45 ， 则此山的高 CD=（） A150m B75m C150m D300m 9 （5 分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在 同一个球的球面上，则该球的表面积为（） A4 B36C 48D24 10 （5 分）定义在 R上的函数 f（x）的导函数 f （x）无零点，且对任意xR都 有 f（f（x）+x3）=2，若函数 g（x）=f（x）kx 在 1，1 上与函数 f（x）具有 相同的单调性，则k 的取值范围是（）
4、 A 0，+）B （， 3C （， 0D 3，+） 11 （5 分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和 半圆，则该几何体的体积为（） ABCD 12 （5分）函数 f（x）=xln（x+2）+ex a+4eax，其中 e 为自然对数的底数，若 第 3 页（共 19 页） 存在实数 x0使 f（x0）=3成立，则实数 a 的值为（） Aln2 Bln21 Cln2 Dln21 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13 （5 分） 已知函数 f （x） =2cos （+x） ， 且 f （a） =， 则 f （a） 的值为 14 （5 分）设函数 f（x
5、）=，若 f（a）=9，则 a 的值 15 （5 分）已知函数 f（x）=x（2 x ） ，若 f（x1）f（x） ，则 x 的取值范 围是 16 （5 分）一个长，宽，高分别为1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部 分液体，如果任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积 的取值范围是 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17 （12 分）已知函数 f（x）=sinxcosx cos 2x+a 的最大值为 （）求 a 的值； （）若方程 f（x）+m+1=0 在， 内有两个零点，求m 的取值范围 18 （12 分）设 f（x）=ae xcos（ x） ，其中 a0
6、（）求证：曲线y=f（x）在点（ 0，f（0） ）处的切线过定点； （）若函数 f（x）在（ 1，1）上存在唯一极值，求正数a 的取值范围 19 （12 分）如图，在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，sinA=2sin （A+B） ，它的面积 S=c2 （1）求 sinB的值； （2）若 D 是 BC边上的一点， cos，求的值 第 4 页（共 19 页） 20（12 分） 如图， 在四棱锥 S ABCD中， 底面 ABCD是梯形，ABDC ， ABC=90 ， AD=SD ，BC=CD=，侧面 SAD 底面 ABCD （）求证：平面SBD 平面 SAD ； （）若 SD与
7、底面 ABCD所成的角为 60 ，求二面角 CSB D的余弦值 21 （12 分）已知函数 f（x）=ax+alnx（a0） （）讨论 f（x）的单调性 （）当 a=1时，若方程 f（x）=+m（m2）有两个相异实根x1，x2，且 x1x2，证明： x1x2 22 请考生在 22.23 题中任选一题作答， 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的 长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线 C的 极坐标方程为 =4acos（a0） （1）设 t 为参数，若 y=2，求直线 l 参数方程； （2）已知直线 l 与曲
8、线 C交于 P，Q，设 M（0，） ，且| PQ | 2=| MP| ?| MQ| ， 求实数 a的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| a3x| | 2+x| （1）若 a=2，解不等式 f（x）3； （2）若存在实数a，使得不等式f（x）1a4| 2+x| 成立，求实数a 的取值 范围 第 5 页（共 19 页） 2018 年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1 （5 分）已知 tan（）= ，则 tan 的值为（） ABC 3 D3 【解答】 解：由 tan（）=，得， ，解得 tan=
9、故选： A 2 （5 分）已知集合 A=x| y=2x1 ，B= y| y=x 2，则 AB=（ ） A （1，1）B 0，+）C （1，1）D? 【解答】 解：集合 A= x| y=2x1 =R， B=y| y=x 2= y| y0， AB= y| y0= 0，+） 故选： B 3 （5 分）“x0” 是“ （） x3” 的（ ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】 解：“ （）x3” ? “3 x3” ? “ x1” ? “x 1” ， 故“x0” 是“ （） x3” 的充分不必要条件， 故选： A 第 6 页（共 19 页） 4 （5 分）在
10、正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为 BC的中点， F 为 B1C1的中点，则 异面直线 AF与 C1E所成角的正切值为（） ABC D 【解答】 解：以 D 为坐标原点， DC ，DA，DD1分别为 x，y，z 轴 建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为2， 可得 A（0，2，0） ，B（2，2，0） ，C（2，0，0） ， B1（2，2，2） ，C1（2，0，2） ， 由中点坐标公式可得E（2，1，0） ，F（2，1，2） ， 则=（2，1，2） ，=（0，1，2） ， 则 cos，=， 可得异面直线 AF与 C1E所成角的余弦值为， 则异面直线 AF与 C1E所成角的正弦值为=，
11、可得异面直线 AF与 C1E所成角的正切值为， 故选： C 5 （5 分）函数 y=xln| x| 的大致图象是（） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【解答】 解：令 f（x）=xln| x| ，易知 f（x）=xln| x| =xln| x| =f（x） ，所 以该函数是奇函数，排除选项B； 又 x0 时，f（x）=xlnx，容易判断，当 x+时， xlnx +，排除 D 选项； 令 f（x）=0，得 xlnx=0，所以 x=1，即 x0 时，函数图象与x 轴只有一个交点， 所以 C选项满足题意 故选： C 6 （5 分）设 a，b 是空间中不同的直线， ，是不同的平面，则下列说
12、法正确 的是（） Aab，b? ，则 aBa? ，b? ， ，则 ab Ca? ，b? ， ，b ，则 D ，a? ，则 a 【解答】 解：由 a，b 是空间中不同的直线， ，是不同的平面，知： 在 A 中，ab，b? ，则 a或 a? ，故 A 错误； 在 B中，a? ，b? ， ，则 a 与 b 平行或异面，故 B错误； 在 C中，a? ，b? ， ，b ，则 与 相交或平行，故C错误； 在 D 中， ，a? ，则由面面平行的性质定理得a ，故 D 正确 故选： D 7 （5 分）已知函数 y=sin（2x+ ）在 x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+ ） 的图象（） A关于点（，0
13、）对称B关于点（，0）对称 第 8 页（共 19 页） C关于直线 x=对称 D关于直线 x=对称 【解答】 解：函数 y=sin（2x+ ）在 x=处取得最大值， sin（+ ）=1， cos （+ ）=0，函数 y=cos（2x+ ）的图象关于点（，0）对称， 故选： A 8 （5 分）如图， CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正 西方向行驶，在点A 处时测得点 D 的仰角为 30 ，行驶 300m 后到达 B处，此时 测得点 C在点 B 的正北方向上，且测得点 D的仰角为 45 ， 则此山的高 CD=（） A150m B75m C150m D300m 【解答】 解：设
14、此山高 h（m） ，由题意在点A 处时测得点 D 的仰角为 30 ，得 AC=h， 在ABC中， CBA=90 ，测得点 D 的仰角为 45 ， BC=h ，AB=300 根据勾股定理得， 3h2=h2+90000， h=150 故选： C 9 （5 分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在 同一个球的球面上，则该球的表面积为（） A4 B36C 48D24 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解：设球的半径为 R， 则圆锥的高 h=5，底面圆的半径 r=， R 2=（Rh）2+r2，即 R2=（R5）2+5， 解得： R=3 ， 故该球的表面积 S=4 R 2=36
15、， 故选： B 10 （5 分）定义在 R上的函数 f（x）的导函数 f （x）无零点，且对任意xR都 有 f（f（x）+x3）=2，若函数 g（x）=f（x）kx 在 1，1 上与函数 f（x）具有 相同的单调性，则k 的取值范围是（） A 0，+）B （， 3C （， 0D 3，+） 【解答】 解：定义在 R上的函数 f（x）的导函数 f （x）无零点，函数f（x） 是单调函数， 令 f（x）+x3=t，则 f（x）=tx3， f （x）=3x 20 在 1，1 恒成立，故 f（x）在 1，1 递减， 结合题意 g（x）=x3+tkx 在 1，1 递减， 故 g （x）=3x2k0 在 1
16、，1 恒成立， 故 k3x2在 1，1 恒成立，故 k0， 故选： A 11 （5 分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和 半圆，则该几何体的体积为（） 第 10 页（共 19 页） ABCD 【解答】解：由已知中的三视图可得： 该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：， 半圆柱的底面半径为1，高为 2，故体积为： ， 故组合体的体积 V= + ， 故选： D 12 （5分）函数 f（x）=xln（x+2）+ex a+4eax，其中 e 为自然对数的底数，若 存在实数 x0使 f（x0）=3成立，则实数 a 的值为（） Aln
17、2 Bln21 Cln2 Dln21 【解答】 解：令 f（x）=xln（x+2）+ex a+4eax， 令 g（x）=xln（x+2） ，g （x）=1=， 故 g（x）=xln（x+2）在（ 2，1）上是减函数，（1，+）上是增函数， 故当 x=1 时，g（x）有最小值 10=1， 而 ex a+4eax4， （当且仅当 ex a=4eax，即 x=a+ln2 时，等号成立）； 故 f（x）3（当且仅当等号同时成立时，等号成立） ； 故 x=a+ln2=1， 即 a=1ln2 故选： D 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13 （5 分）已知函数f（x）=2cos（+
18、x） ，且 f（a）=，则 f（a）的值为 【解答】 解：f（x）=2cos（+x）=2sinx，函数 f（x）为奇函数， 又 f（a）=， 第 11 页（共 19 页） f（a）=f（a）= 故答案为： 14 （5 分）设函数 f（x）=，若 f（a）=9，则 a 的值3 【解答】 解：若 a2，由 f（a）=9，得 2a+1=9，得 a=3， 若 0a2，由 f（a）=9，得 log2a+4=9，得 a=32，舍去 综上 a=3， 故答案为： 3 15 （5 分）已知函数 f（x）=x（2x） ，若 f（x1）f（x） ，则 x 的取值范 围是（，） 【解答】 解：x0 时，f（x）在（
19、0，+）递增， 而 f（x）=f（x） ，f（x）是偶函数， 故 f（x）在（， 0）递减， 若 f（x1）f（x） ， 则| x1| | x| ，即（ x1）2x2， 解得： x， 故答案为：（，） 16 （5 分）一个长，宽，高分别为1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部 分液体，如果任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积 的取值范围是（1，5） 【解答】 解：长方体 ABCD EFGH ，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD ，且低于平面 AFC ； 而当平面 EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形；