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1、第 1 页（共 25 页） 2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1（5 分） 设复数 z1， z2在复平面内的对应点关于实轴对称， z1=1+i， 则 z1z2= （） A2 B2 C 1+i D1i 2（5 分） 设全集 U=R， 函数 f （x） =lg （| x+1| 1） 的定义域为 A， 集合 B= x| sin x=0 ， 则（?UA）B的子集个数为（） A7 B3 C 8 D9 3 （5 分）函数 f（x）=sin（ x+ ） （ 0，0 ）的图象
2、中相邻对称轴的距 离为，若角 的终边经过点，则的值为（） ABC 2 D 4 （5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50 名学生的化学考试成绩， 图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n 分别是 （） Am=38，n=12 Bm=26，n=12 C m=12，n=12 D m=24，n=10 第 2 页（共 25 页） 5 （5 分）设不等式组表示的平面区域为1，不等式（ x+2）2+（y2） 22表示的平面区域为 2， 对于 1中的任意一点 M 和 2中的任意一点 N， | MN| 的最小值为（） ABC D 6 （5 分）若函数 f（x）=的图象如图所示，则
3、m 的范围为（） A （， 1）B （1，2）C （0，2） D （1，2） 7（5 分） 某多面体的三视图如图所示， 则该多面体各面的面积中最大的是 （） A11 BC D 8 （5 分）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 S20140，S20150，对任意 正整数 n，都有 | an| | ak| ，则 k 的值为（） A1006 B1007 C1008 D1009 9 （5 分）已知非零向量， 满足| | =| =4， （ ）?（ ）=0， 若对每一个确定的， | 的最大值和最小值分别为m， n， 则 mn 的值为 （） 第 3 页（共 25 页） A随增大而增大B随增大而减
4、小 C是 2 D是 4 10 （5 分）已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O 的球面上， ABC和DBC所在平面相互垂直， AB=3，AC=，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表 面积为（） A4 B12C 16D36 11 （5 分）已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标 原点，以 A 为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若PAQ=60 ，且 ，则双曲线 C的离心率为（） ABC D 12 （5 分）已知 e 为自然对数的底数，若对任意的x 0，1 ，总存在唯一的 y 1，1 ，使得 x+y2eya=0成立，则实数 a 的取值范围是（） A 1，eBC
5、（1，eD 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （ 5分 ） 已 知a 0 ，展 开 式 的 常 数 项 为15 ， 则 = 14 （5 分）设 a，bR，关于 x，y 的不等式 | x|+| y| 1 和 ax+4by8 无公共解， 则 ab 的取值范围是 15 （5 分）正项数列 an 的前 n 项和为Sn，且（nN*） ，设 ，则数列 cn 的前 2016 项的和为 第 4 页（共 25 页） 16 （5 分）已知 F是椭圆 C：+=1 的右焦点， P是 C上一点， A（2，1） ， 当APF周长最小时，其面积为 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分
6、.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17 （12 分） ABC中，已知点 D 在 BC边上，且， AB=3 （）求 AD的长； （）求 cosC 18 （12 分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形 ABCD为矩形， ADE ，BCF 均为等边三角形， EF AB，EF=AD= AB （1） 过 BD作截面与线段 FC交于点 N， 使得 AF平面 BDN， 试确定点 N 的位置， 并予以证明； （2）在（ 1）的条件下，求直线BN与平面 ABF所成角的正弦值 19 （12 分）2015 年 7 月 9 日 21 时 15分，台风“ 莲花” 在我国广东省陆丰市甲东 镇沿海登陆，造
7、成165.17 万人受灾， 5.6 万人紧急转移安置， 288 间房屋倒塌， 46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元距离陆丰市 222 千米的梅州也 受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50 户居民由于台风造 成的经济损失，将收集的数据分成 0，2000 ， （2000，4000 ， （4000，6000 ， （6000，8000 ， （8000，10000 五组，并作出如下频率分布直方图： （）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数 第 5 页（共 25 页） 据用该组区间的中点值作代表） ； （）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款
8、现从损失超过4000 元的 居民中随机抽出2 户进行捐款援助，设抽出损失超过8000 元的居民为 户，求 的分布列和数学期望； （）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50 户居民捐 款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关？ 经济损失不超过 4000 元 经济损失超过 4000 元 合计 捐款超过 500 元 a=30b 捐款不超 过 500 元 cd=6 合计 P（K 2k） 0.150.100.050.0250.
9、0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 附：临界值表参考公式： ， 20 （12 分）已知抛物线 C的顶点为原点，其焦点F（0，c） （c0）到直线 l：x y2=0 的距离为，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C的两条切线 PA ，PB ，其中 A，B为切点 第 6 页（共 25 页） （1）求抛物线 C的方程； （2）当点 P（x0，y0）为直线 l 上的定点时，求直线AB的方程； （3）当点 P在直线 l 上移动时，求 | AF| ?| BF| 的最小值 21 （12 分）已知函数f（x）=+be x，点 M（
10、0，1）在曲线 y=f（x）上， 且曲线在点 M 处的切线与直线 2xy=0垂直 （1）求 a，b 的值； （2）如果当 x0 时，都有 f（x）+ke x，求 k 的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选 修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是（为参数） ，以坐标原点为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是 =2 ，正方形 ABCD的顶点都 在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（ 2，） （1）求点 A，B，C，D 的直角
11、坐标； （2）设 P为 C1上任意一点，求 | PA | 2+| PB |2+| PC |2+| PD|2 的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23设 f（x）=| x| | 2x1| ，记 f（x） 1 的解集为 M （1）求集合 M； （2）已知 aM，比较 a 2a+1 与 的大小 第 7 页（共 25 页） 2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1（5 分） 设复数 z1， z2在复平面内的对应点关于实轴对称， z1=1+i， 则 z
12、1z2= （） A2 B2 C 1+i D1i 【解答】 解：复数 z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i， 所以 z2=1i， z1z2=（1+i） （1i）=2 故选： A 2（5 分） 设全集 U=R， 函数 f （x） =lg （| x+1| 1） 的定义域为 A， 集合 B= x| sin x=0 ， 则（?UA）B的子集个数为（） A7 B3 C 8 D9 【解答】 解：由 | x+1| 10，得| x+1| 1，即 x2 或 x0 A= x| x2 或 x0 ，则?UA= x| 2x0 ； 由 sin x=0，得： x=k，kZ，x=k，kZ 则 B= x| si
13、n x=0 =x| x=k，kZ ， 则（?UA）B= x| 2x0x| x=k，kZ = 2，1，0 （?UA）B的元素个数为 3 （?UA）B的子集个数为： 23=8 故选： C 3 （5 分）函数 f（x）=sin（x + ） （ 0，0 ）的图象中相邻对称轴的距 离为，若角 的终边经过点，则的值为（） ABC 2 D 第 8 页（共 25 页） 【解答】 解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期 T= ，那么 =2 ， 角 的终边经过点，在第一象限 即 tan=， = 故得 f（x）=sin（2x+） 则=sin（+）=cos= 故选： A 4 （5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某
14、班50 名学生的化学考试成绩， 图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n 分别是 （） Am=38，n=12 Bm=26，n=12 C m=12，n=12 D m=24，n=10 【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50 名学生的化学考试成 绩中，成绩大于等于80 的人数，和成绩小于80 且大于等于 60 的人数， 由茎叶图得，在50 名学生的成绩中，成绩大于等于80 的人数有 80，80，81， 第 9 页（共 25 页） 84，84，85，86，89，90，91，96，98，共 12 人，故 n=12， 由茎叶图得，在50 名学生的成绩中，成绩小于6
15、0 的人数有 43，46，47，48， 50，51，52，53，53，56，58，59，共 12 人， 则在 50 名学生的成绩中， 成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 501212=26， 故 m=26 故选： B 5 （5 分）设不等式组表示的平面区域为1，不等式（ x+2）2+（y2） 22表示的平面区域为 2， 对于 1中的任意一点 M 和 2中的任意一点 N， | MN| 的最小值为（） ABC D 【解答】 解：不等式组表示的平面区域为1，不等式（ x+2）2+（y2） 22 表示的平面区域为 2，如图： 对于 1中的任意一点 M 和 2中的任意一点 N，| MN| 的最小
16、值就是可行域内的 点 O与圆的圆心连线减去半径， 所以， | MN| 的最小值为：= 故选： C 第 10 页（共 25 页） 6 （5 分）若函数 f（x）=的图象如图所示，则m 的范围为（） A （， 1）B （1，2）C （0，2） D （1，2） 【解答】 解：当 x0 时，f（x）0，2m0，故 m2 f （x）= f（x）有两个绝对值大于1 的极值点， mx2=0 有两个绝对值大于1 的解， m1 故选： D 7（5 分） 某多面体的三视图如图所示， 则该多面体各面的面积中最大的是 （） A11 BC D 【解答】 解：由多面体的三视图得： 该多面体为如图所示的四棱锥PABCD ，
17、 其中底面 ABCD是边长为 1 的正方形， 平面 PAD 平面 ABCD ， 第 11 页（共 25 页） 点 P到平面 ABCD的距离为 1， AB平面 PAD ，ABPA ， PA=， 该多面体各面的面积中最大的是PAB的面积： SPAB= 故选： C 8 （5 分）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 S20140，S20150，对任意 正整数 n，都有 | an| | ak| ，则 k 的值为（） A1006 B1007 C1008 D1009 【解答】 解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014 =1007（a1007+a1008）0， a1007+a10080 同理由 S 20150 可得 2015a10080，可得 a10080， a10070，a10080，且| a1007| | a1008| 对任意正整数 n，都有| an| | ak| ， k 的值为 1008 故选： C 9 （5 分）已知非零向量， 满足| | =| =4， （ ）?（ ）=0， 若对每一个确定的， | 的最大值和最小值分别为m， n， 则 mn 的值为 （） A随增大而增大B随增大而减小