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1、2019 全国 2 卷关键题评析 【点评】 很多人第4 题就已经蒙了， 很多人感觉今年的试题变化很大，传说中的核心素养来 了，此题考查数学运算这个核心素养。等式两边同乘以 3 R，得到 12 ,MM之间的关系， 通过近似处理，得到更加简洁的关系，再把还原为 r R ，考查整体运算，近似计 算。 还有第 13 题，估算和直接观察就可得到答案，培养对数感。 还有全国 1 卷第 4 题 【 解 析 】 从 头 到 脖 子 的 长 度 略 大 于 头 到 咽 喉 的 长 度 ， 过 剩 近 似 值 (260.61826)0.618178， 从 肚 脐 到 脚 底 略 大 于 腿 长 ， 不 足 近 似
2、 值 1050.618105170，选 B. 2019 全国 3 卷向我们展示了：向我们展示了数学与美，数学与科技，数学与生活。 淘宝博约书斋店铺的全国卷高考数学分析及应对的第一部分分31 个专题解读考纲，第 二部分分 5 节思考教材、 课标和核心素养，然后各个部分试题的分析。因为有对高考各种指 导思想的深刻理解，才会从更准确把握命题思路，理解命题意图。 【解析】记PQOFR，则OPR为等腰直角三角形，所以 22 2 44 cc a 【点评】 借助对称性， 在特殊三角形中构造等量关系是求基本量的常用方法，在淘宝书店博 约书斋的 解析几何的系统性突破（唯一正版销售书店）给出了很多类似求离心率的题
3、目。 我们也可以立即给出一个变式： 变式： 的圆与双曲线的右支交于P,Q两点， 【 分 析 】 法 一 ： 设 右 焦 点 为 1F ， 易 得 0 30POF， 从 而 得 到 0 75PFO， 则 1 2 cos75 ,2 cos15 oo PFcPFc，由双曲线定义得：2 cos152 cos752 oo cca， 即 6262 ()1 44 e，即2e 法二：圆内接四边形可考虑托勒密定理，略。 【点评】我们常常对试题进行改编，看似相似，处理的方法不一样。 【解析】作出函数图像，直接排除CD. 法一：精确作图，直尺测量结合观察可得B。 法二：因为当0,1x时，fx值域为 1 ,0 4 ，
4、需要把函数值转移到 1 ,0 4 ，方能 求出对应的x的值， 118 12 249 fxfxfx，即 2 223 9 fxxx，代值检验可得B. 【点评】此题不难，但有很好的创新。以前常常是利用周期性把自变量转移到某个区间，求 得函数值，现在反过来，需要根据值域，根据类似周期的关系把自变量进行转移。 16. 【点评】第（ 1）个考查直观想象素养，注意到中间的面有八个，故38226. 第（ 2）个只考虑正方体和中间横着的8 棱柱相切，于是也与竖着的8 棱柱相切，考虑在正 方形中截取四个角落，使得成为正八边形，容易求得答案。此题和下题是同一个思路： 【点评】第（ 2）问，推得 1 BEB E，E是
5、中点，立即可得这是1:2 的矩形，在淘宝书店博 约书斋的立体几何的微观深入和宏观把握（唯一正版销售书店）把常见图形蕴含的垂直 作了一个梳理：1:2 的矩形，1:2的矩形， 1:2 的平行四边形且夹角为60， 1：1：2 的两 底一直角腰的直角梯形，1：1：1：2 的等腰梯形，从而从学生可以秒杀一系列立体几何垂 直的证明和发现题目中隐含的条件。 20. 【解析】（1）定义域优先，由0fx得fx在0,1单减，在1,单减； 222 2 222 111 2220 11 eee fe eee ， 1 23ln 23ln0fe ， 1 10 1 e fe e ， 易得函数有两个零点。 （2）理解题意：把
6、0 x视为已知，且满足 0 0fx即 0 0 0 1 ln 1 x x x 。证明在 x ye存在一 点 1 1 (,) x x e，使得切线相同，即把 1 x用 0 x表示出来。 lnyx在00(,ln)xx切线方程为：00 0 1 ln()yxxx x ，即 00 12 1 yx xx ， 由 1 0 1 () x e x 得 10lnxx ，此时 x ye在 1 1(,) x x e切线方程为： 11 1() xx yeexx， 即 00lnln 0 (ln) xx yeexx ，把 0 0 0 1 ln 1 x x x 代入得： 0 000 111 () 1 x yx xxx ， 化简得 00 12 1 yx xx 。 【点评】关键是弄懂题意， 这是波利亚解题策略第一步。在淘宝书店博约书斋即将出版的高 观点下全国卷高考压轴题研究三部曲书中思考如何渗透波利亚解题策略，同时在一题一世 界中，把一个公切线问题改编出很多个公切线的题目。在全国卷高考数学分析及应对在 第四部分，从审题开始分12 小节谈解题。