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1、数学（文科）试题A 第 1 页 共 16 页 秘密 启用前试卷类型： A 2019 届广州市高三年级调研测试 文科数学 201812 本试卷共5页， 23 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔在 答题卡的相应位置填涂考生号。 2作答选择题时， 选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上；如需改动，先划掉原来
2、的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合 2 11Px x，11Qxx，则PQ A1,2B1,0C1,2D0,1 2若复数z满足1 iz12i，则z A 2 2 B 3 2 C 10 2 D 1 2 3下列函数中，既是奇函数，又在0, 2 上单调递增的是 A2sin x yxB 1 2 2 x x yCsinyxxDcosyxx 4某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量
3、，收集并整理了2015 年 1 月至 2017 年 12 月期 间月接待游客量(单位：万人 )的数据，绘制了下面的折线图 数学（文科）试题A 第 2 页 共 16 页 根据该折线图，下列结论错误 的是 A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期在8 月 C2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为30 万人 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 5.九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其 正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 A
4、6B 8 6 3 C8 6D24 6已知 ABC的边BC上有一点D满足4BDDC，则AD可表示为 A 13 44 ADABACB 31 44 ADABAC C 41 55 ADABACD 14 55 ADABAC 7已知双曲线C的中心为坐标原点，离心率为3，点22,2P在C上，则C的方程为 A 22 1 42 xy B 22 1 714 xy C 22 1 24 xy D 22 1 147 yx 8由 1 2sin(6) 6 yx的图象向左平移 3 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍 后，所得图象对应的函数解析式为 A 1 2sin(3) 6 yxB 1 2sin(3) 6
5、 yx C 1 2sin(3) 12 yxD 1 2sin(12) 6 yx 9a是直线ayax和ayax)(平行的 A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 10. 若实数x，y满足不等式组 1250 02 xyxy x ， ， 则2zxy的取值范围是 A5,3B5,1C1,3D5,5 数学（文科）试题A 第 3 页 共 16 页 11已知ABC的内角A, B, C的对边分别是a, b, c，且 222 sinsinsinABC c sin sin coscos AB aBbA ， 若4ab，则c的取值范围为 A0,4B2,4C1,4D2,4 12已知椭圆 ： 22
6、 22 1(0) xy ab ab 的长轴是短轴的2 倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k的直线与 相交于 A，B 两点若3AFFB，则k A. 1B. 2C. 3D. 2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13已知 1 3 2a，则 2 log2a 14设为第二象限角，若 1 tan 42 ，则cos= 15圆锥底面半径为1，高为2 2，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后 回到点P，则绕行的最短距离是 16已知过点( ,0)A a作曲线: x C yx e的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是 三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须做答第22、23 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共60 分 17（本小题满分12 分） 设 n S为数列 n a的前n项和，已知 3 7a， 12 22 nn aaa2n （1）证明：数列1 n a为等比数列； （2）求数列 n a的通项公式，并判断n， n a， n S是否成等差数列？ 数学（文科）试题A 第 4 页 共 16 页 F C D A B E G 18（本小题满分12 分） 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25 元，成本为每公斤15 元. 销售宗旨是当天进货当天销售. 如果当天卖不出去，未售出的全部降价
8、以每公斤10 元处理完 .根据以往的销售情况，得到如图所示的 频率分布直方图： （ 1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （ 2）该经销商某天购进了250 公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x公斤(0500)x，利润为y元. 求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y不小于 1750 元的概率 . 19（本小题满分12 分） 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，2AB, 1BCEF,6AE,3DE,60BAD，G为BC的中点 . （1）求证：FG平面BED； （2）求证：BD平面AED； （3）求
9、点F到平面BED的距离 . 20.（本小题满分12 分） 已知动圆C过定点(1,0)F，且与定直线1x相切 （1）求动圆圆心C的轨迹E的方程； （2）过点2,0M的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点,P Q，试探究在x轴上是否存在定点N （异于点M），使得QNMPNM？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由 数学（文科）试题A 第 5 页 共 16 页 21.（本小题满分12 分） 已知函数fxxeln x axx. （1）若ae，求( )f x的单调区间； （2）当0a时，记( )f x的最小值为m，求证：1m （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按
10、所做的第一题计分 22.（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为=23cos2sin，直线 1: () 6 lR，直线 2 :() 3 lR 以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 （1）求直线 1 l， 2 l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程； （2）已知直线 1 l与曲线C交于,O A两点，直线 2 l与曲线C交于,O B两点，求AOB的面积 23.（本小题满分10 分）选修45：不等式选讲 已知函数 1 3 fxxa aR （1）当2a时，解不等式 1 1 3 xfx； （2）设不等式 1 3 xfxx的解集为M，若 1 1 , 3 2
11、 M ，求实数a的取值范围 绝密 启用前 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则 数学（文科）试题A 第 6 页 共 16 页 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分
12、一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B B A A B D B D C B C 二、填空题 131714 5 3 15 1 , 8 16 2 ,0 5 三、解答题 17解：（ 1）因为 tantan 2(tantan) coscos AB AB BA ， 所以 sinsinsinsinB 2 coscoscoscoscoscos ABA ABABAB 1 分 化简得2 sincoscossinsinsinABABAB2分 即2sinsinsinABAB3 分 因在ABC中，ABC，则s insins inABCC4分 从而sinsin2sinABC5分
13、 由正弦定理，得2abc 所以=2 ab c 6 分 （ 2） 由（ 1）知 2 ab c，且2c，所以4ab7 分 因为= 3 C，所以 2 2222 2 cos 22 ababc abc C abab 9 分 即 122 cos 32 ab ab 所以4ab10 分 数学（文科）试题A 第 7 页 共 16 页 所以 11 sin4sin3 223 ABC SabC 所以ABC的面积为312 分 18（ 1）证明： 取AD的中点O，连结OP，OB，BD， 因为底面ABCD为菱形， 60BAD ， 所以ADABBD 1 分 因为O为AD的中点，所以BOAD 2 分 在PAD中，PAPD，O为
14、AD的中点， 所以POAD 3 分 因为BOPOO，所以AD平面POB 4 分 因为PB平面POB，所以ADPB5 分 （ 2）解法 1：在RtPAD中，2AD，所以1PO 因为底面ABCD是边长为2 的菱形， 60BAD ，所以 3BO 6 分 在PBO中，1PO， 3BO ，2PBBC， 因为 222 POBOPB ，所以POBO 7 分 【6-7 分段另证 ：在APD 中，90APD ， O为AD的中点，所以 1 2 POADAO 在BOP 和BOA中， 因为 POAO，PBADAB，BOBO， 所以 BOPBOA 所以 90BOPBOA 所以 OPOB】 由（ 1）有POAD，且ADB
15、OO，AD平面ABCD，BO平面ABCD， 所以PO平面ABCD8 分 在PBC中，由（ 1）证得ADPB，且/ /BCAD，所以BCPB 因为2PBBC，所以2 PBC S9 分 在ABC中，2ABBC， 120ABC ， 所以 1 sin3 2 ABC SABBCABC10 分 设点A到平面PBC的距离为h， D C BA P O 数学（文科）试题A 第 8 页 共 16 页 因为 A PBCPABC VV，即 11 33 PBCABC ShSPO11 分 所以 3 13 22 ABC PBC SPO h S 所以点A到平面PBC的距离为 3 2 12 分 解法 2：因为/ /ADBC，B
16、C平面PBC，AD平面PBC， 所以/ /AD平面PBC 所以点A到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离 6 分 过点O作OHPB于点H 7 分 由（ 1）证得AD平面POB，且/ /ADBC， 所以BC平面POB 因为OH平面POB，所以BCOH 因为PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC， 所以OH平面PBC8 分 在RtPAD中，2AD，所以1PO 因为底面ABCD是边长为2 的菱形， 60BAD ，所以 3BO 9 分 在PBO中，1PO， 3BO ，2PBBC， 因为 222 POBOPB ，所以POBO10 分 【9-10 分段另证 ：在APD 中， 90APD ， O为
17、AD的中点，所以 1 2 POADAO 在BOP 和BOA中， 因为 POAO，PBADAB，BOBO， 所以 BOPBOA 所以90BOPBOA所以 OPOB】 在PBO中，根据等面积关系得PBOHPOOB11 分 所以 133 22 POOB OH PB 所以点A到平面PBC的距离为 3 2 12 分 H O P AB C D 数学（文科）试题A 第 9 页 共 16 页 19解：（ 1）根据上表中的样本数据及其散点图： （） 26273941495356586061 47 10 x2 分 （）r 1 22 22 11 n ii i nn ii ii x ynx y xn xyn y 22
18、 13527.8104727 2363810477759.61027 3 分 13527.812690 23638220907759.67290 837.8 1548469.6 4 分 8378 6 434 2935 5 分 因为 436.56，293554.18， 所以0.98r6 分 由样本相关系数0.98r，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强7 分 （ 2） 因为回归方程为 ? ?1.56ybx，即?1.56a 所以 ?27 1.56 ? 0.54 47 ya b x 【或利用 1 2 1 ? n ii i n i i xxyy b xx 1 2 2 1 n ii i n i i
19、x ynx y xn x 837.8 0.54 1548 】10 分 所以y关于x的线性回归方程为 ? 0.541.56yx 将50x代入线性回归方程得?0.54501.5628.56y11 分 所以根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量为28.56%12 分 【结论没写28.56%扣 1 分】 20解：（ 1）设,Mx y， 00 ,P xy，则点Q的坐标为 0,0 x 因为2PMMQ， 所以 000 ,2,x x yyxxy，1 分 数学（文科）试题A 第 10 页 共 16 页 即 0 0 , 3 . xx yy 2 分 因为点P在抛物线 2 36yx上， 所以 2 00 36yx
20、，即 2 336yx3 分 所以点M的轨迹C的方程为 2 4yx 4 分 （ 2）解法 1：设直线1xmy与曲线C的交点坐标为A 2 1 1 , 4 y y ， 2 2 2 , 4 y By ， 由 2 1, 4 , xmy yx 得 2 440ymy 由韦达定理得 1 y 2 y=4m， 1 y 2 y=45 分 设点 2 0 0 , 4 y Ty ，则 10 22 0101 4 44 AT yy k yyyy 6 分 所以直线AT的方程为 2 0 0 01 4 4 y yyx yy 令1x，得点D的坐标为 01 01 4 1, y y yy 7 分 同理可得点E的坐标为 02 02 4 1
21、, y y yy 8分 如果以DE为直径的圆过x轴某一定点,0N n，则满足0NDNE9 分 因为 0102 0102 44 1,1, y yy y NDNEnn yyyy 2 2 120012 2 001212 416 1+ y y yyyy n yyyyy y 所以 2 2 00 2 00 41616 1+0 44 ymy n ymy 10 分 即 2 140n，解得1n或3n11 分 故以DE为直径的圆过x轴上的定点1,0和3,012 分 解法 2：直线1x与曲线C的交点坐标为1,2A，1, 2B， 若取0,0T，则A T，B T与直线1x的交点坐标为1, 2D，1,2E， 数学（文科）
22、试题A 第 11 页 共 16 页 所以以D E为直径的圆的方程为 2 2 14xy 该圆与x轴的交点坐标为1,0和3,0 所以符合题意的定点只能是 1 1,0N或 2 3,0N6 分 设直线1xmy与曲线C的交点坐标为A 2 1 1 , 4 y y ， 2 2 2 , 4 y By ， 由 2 1, 4 , xmy yx 得 2 440ymy 由韦达定理得 1 y 2 y=4m， 1 y 2 y=47 分 设点 2 0 0 , 4 y Ty ，则 10 22 0101 4 44 AT yy k yyyy 8 分 所以直线AT的方程为 2 0 0 01 4 4 y yyx yy 令1x，得点D
23、的坐标为 01 01 4 1, y y yy 9 分 同理可得点E的坐标为 02 02 4 1, y y yy 10 分 若点 1 1,0N满足要求，则满足 110N DN E 因为 0102 11 0102 44 2,2, y yy y N DN E yyyy 2 120012 2 001212 416 4+ y y yyyy yyyyy y 2 00 2 00 41616 =4+0 44 ymy ymy 11 分 所以点 1 1,0N满足题意 同理可证点 2 3,0N也满足题意 故以DE为直径的圆过x轴上的定点 1,0 和 3,0 12 分 21（ 1）解： 当 2 1 a时， 2 17
24、( )(2)ln4 22 f xxxxx， 函数)(xf的定义域为), 0(，1 分 数学（文科）试题A 第 12 页 共 16 页 且 2 ln3fxxx x 2 分 设 2 ln3g xxx x ， 则 2 222 21 122 ( )1 xx xx gx xxxx 0x 当01x时，( )0g x；当1x时，( )0g x， 即函数 g x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，3 分 所以当0x时，10g xg（当且仅当1x时取等号）4 分 即当0x时，( )0fx（当且仅当1x时取等号） 所以函数fx在),0(单调递增，至多有一个零点. 5 分 因为(1)0f，1x是函数)(
25、xf唯一的零点 . 所以若 2 1 a，则函数fx的所有零点只有1x6 分 （ 2）证法 1：因为 2 ( )(2)ln47f xxxaxxa， 函数)(xf的定义域为), 0(，且 2 ( )ln24 x fxxax x 7 分 当 1 2 a时， 2 ln3fxxx x ，9分 由（ 1）知03 2 lnx x x10 分 即当0x时 0fx ， 所以 fx 在 0, 上单调递增11 分 所以)(xf不存在极值12 分 证法 2：因为 2 ( )(2)ln47f xxxaxxa， 函数)(xf的定义域为), 0(，且 2 ( )ln24 x fxxax x 7 分 设 2 ( )ln24
26、x m xxax x ， 则 2 22 1222 ( )2 axx m xa xxx 0x 数学（文科）试题A 第 13 页 共 16 页 设 )0(22)( 2 xxaxxh，则( )m x与)(xh同号 当 2 1 a时，由 2 ( )220h xaxx， 解得 1 11 16 0 4 a x a ， 2 11 16 0 4 a x a 8 分 可知当 2 0xx时，( )0h x，即( )0m x，当 2 xx时，( )0h x，即( )0m x， 所以( )fx在 2 0,x上单调递减，在 2, x上单调递增9 分 由（ 1）知03 2 lnx x x10 分 则 22222 2 2
27、()ln3(21)(21)0fxxxaxax x 所以 2 ( )()0fxfx，即( )f x在定义域上单调递增11 分 所以)(xf不存在极值12 分 22（ 1）解法 1：因为直线l的参数方程为 sin3 ,cos2 ty tx （t为参数）， 当= 2 时，直线l的直角坐标方程为2x1 分 当 2 时，直线l的直角坐标方程为3tan2yx3 分 因为 222 ,cosxyx，4 分 因为 8cos2 2 ，所以 22 28xyx 所以C的直角坐标方程为082 22 xyx 5 分 解法 2：因为直线l的参数方程为 sin3 ,cos2 ty tx （t为参数）， 则有 sin2sins
28、incos, cos3 cossincos, xt yt 2 分 所以直线l的直角坐标方程为 sincos2sin3cos0xy3 分 因为 222 ,cosxyx， 4 分 数学（文科）试题A 第 14 页 共 16 页 因为 8cos2 2 ，所以 22 28xyx 所以C的直角坐标方程为082 22 xyx 5 分 （ 2）解法 1：曲线C的直角坐标方程为082 22 xyx， 将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得 05)cos2sin32( 2 tt 6 分 因为 020)cos2sin32( 2 ，可设该方程的两个根为 1 t， 2 t， 则 12 2 3 sin2costt，
29、 1 2 5t t7 分 所以 2 12121 2 4ABttttt t 2 2 3sin2cos2042 8 分 整理得 2 3sincos3， 故2sin3 6 9 分 因为0，所以 63 或 2 63 ， 解得 6 或 2 综上所述，直线l的倾斜角为 6 或 2 10 分 解法 2：直线l与圆C交于A，B两点，且42AB， 故圆心)0, 1 (C到直线l的距离1)22(9 2 d6 分 当 2 时，直线l的直角坐标方程为2x，符合题意7 分 当0, 22 时，直线l的方程为0tan23tanyx 所以 1 tan1 |tan230tan| 2 d，8 分 整理得 2 3tan1tan 解
30、得 6 9 分 数学（文科）试题A 第 15 页 共 16 页 综上所述，直线l的倾斜角为 6 或 2 10 分 23（ 1）解： 当1a时，由( )f xx，得2111xx1 分 当 1 2 x时，2111xx， 解得3x 当 1 2 x 时，1211xx，解得 1 3 x 4 分 综上可知，不等式( )1f xx的解集为 1 3 3 x xx或 5 分 （ 2）解法 1：由 1 ( )(1) 2 fxf x，得 1 2121 22 a xax 则2 2121axx6 分 令( )2 2121g xxx， 则问题等价于 min ( ( )ag x 因为 1 23, 2 11 ( )61, 22 1 23, 2 xx g xxx xx 9 分 min 1 ( )2 2 g xg 所以实数a的取值范围为( 2,)10 分 解法 2：因为2121(21)(21)xxxx，6 分 即221212xx，则21212xx7 分 所以( )2121212212g xxxxx，8 分 当且仅当 1 2 x时等号成立9 分 所以 min ( )2g x 数学（文科）试题A 第 16 页 共 16 页 所以实数a的取值范围为( 2,)10 分