2019年全国卷Ⅲ理数高考试题.pdf

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1、绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1已知集合 2 1,0,1,21 ABx x，则AB A 1,0,1 B 0,1 C 1,1 D 0,1,2 2若(1i)2iz，则

2、z= A 1i B 1+i C1 i D1+i 3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生， 其中阅读过 西游记 或红楼梦 的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生 共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 4（ 1+2x 2 ）（ 1+x） 4 的展开式中x3的系数为 A12 B16 C20 D24 5已知各项均为正数的等比数列an的前 4项为和为 15，且 a5=3a3+4a1

3、，则 a3= A 16 B 8 C4 D 2 6已知曲线eln x yaxx在点（ 1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A e1ab， Ba= e，b=1 C 1 e1ab，D 1 ea，1b 7函数 3 2 22 xx x y 在6,6的图象大致为 A B C D 8如图，点N 为正方形 ABCD 的中心， ECD 为正三角形，平面ECD 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中 点，则 ABM=EN，且直线BM、EN 是相交直线 BBM EN，且直线BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线BM、EN 是异面直线 DBM EN，且直线BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果

4、输入的 为 0.01，则输出s的值等于 A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 10双曲线C： 22 42 xy =1 的右焦点为F，点 P 在 C 的一条渐进线上， O 为坐标原点，若=POPF，则 PFO的面积为 A 3 2 4 B 3 2 2 C2 2D 3 2 11设fx是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则 A f（log3 1 4 ）f（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ） B f（log3 1 4 ）f（ 2 3 2 ）f（ 3 2 2 ） C f（ 3 2 2 ）f（ 2 3 2 ）f（log3 1 4 ） Df（ 2 3

5、 2 ）f（ 3 2 2 ）f（log3 1 4 ） 12设函数fx =sin（ 5 x ） ( 0)，已知fx在0,2有且仅有5 个零点，下述四个结论： fx在（0,2）有且仅有3 个极大值点 fx在（0,2）有且仅有2 个极小值点 fx在（0, 10 ）单调递增 的取值范围是 12 29 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A B C D 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13已知 a，b 为单位向量，且ab=0，若25cab，则 cos,a c _. 14记 Sn为等差数列 an的前 n 项和， 121 03aaa ，则 10 5 S S _. 15设 12

6、FF，为椭圆C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若 12 MF F为等腰三角形， 则 M 的坐标为 _. 16学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型 .如图，该模型为长方体 1111 ABCDA B C D挖去四棱 锥 O EFGH后所得几何体，其中 O 为长方体的中心，E， F， G， H 分别为所在棱的中点， 1 6cm4cmAB = BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需 原料的质量为_. 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，

7、每个试题考生 都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17（ 12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成A、B 两组，每 组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分 别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值； （2）分别估计甲、乙

8、离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 18（ 12 分） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若 ABC 为锐角三角形，且c=1，求 ABC 面积的取值范围 19（ 12 分） 图 1 是由矩形 ADEB 、 Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1， BE=BF=2，FBC=60 ， 将其沿 AB， BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结DG，如图 2. （1）证明：图2 中的 A，C， G，D 四点共面，且平面ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面

9、角B-CG-A 的大小 . 20（ 12 分） 已知函数 32 ( )2f xxaxb. （1）讨论( )f x的单调性； （2）是否存在,a b， 使得( )f x在区间0,1的最小值为 1且最大值为 1？若存在， 求出,a b的所有值； 若不存在，说明理由. 21已知曲线C：y= 2 2 x ， D 为直线 y= 1 2 上的动点，过D 作 C 的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以 E(0， 5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形ADBE 的面积 . （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。

10、如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系Ox 中， (2,0)A ， (2,) 4 B， ( 2,) 4 C， (2,)D ，弧 AB ， BC ， CD 所在圆 的圆心分别是(1,0)，(1, ) 2 ，(1, )，曲线 1 M 是弧 AB ，曲线 2 M 是弧 BC ，曲线 3 M 是弧 CD . （1）分别写出 1 M ，2 M ，3 M 的极坐标方程； （2）曲线 M 由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点 P在 M 上，且| |3OP，求 P 的极坐标 . 23 选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分） 设, ,x y z

11、R，且1xyz. （1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （2）若 222 1 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a或1a. 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1A 2 D 3C 4A 5C 6D 7 B 8B 9C 10A 11 C 12 D 二、填空题 13 2 3 144 15(3,15)16118.8 三、解答题 17解：（ 1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故 a=0.35 b=1 0.05 0.15 0.70=0.10 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2 0.15+3 0.20+4 0.30+5

12、0.20+6 0.10+7 0.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00 18解：（ 1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为 sinA0，所以sinsin 2 AC B 由180ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ，因此 B=60 （2）由题设及（ 1）知 ABC的面积 3 4 ABCSa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA

13、 a CCC 由于 ABC为锐角三角形， 故0 0 ， 则 当(,0), 3 a x 时 ，()0fx； 当0, 3 a x 时 ，()0fx 故( )f x在 (,0), 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若 a=0，( )fx在(,)单调递增； 若a0 ， 则 当,(0,) 3 a x 时 ，()0fx； 当,0 3 a x 时 ，( )0fx 故( )f x在 ,(0,) 3 a 单调递增，在,0 3 a 单调递减 . （2）满足题设条件的a，b 存在 . （i）当 a 0 时，由（ 1）知，( )f x在0，1单调递增，所以( )f x在区间 0，l的最小值为(0)=fb，

14、 最大值为(1)2fab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当1b，21ab，即 a=0，1b （ii）当 a3 时，由（ 1）知，( )f x在 0， 1单调递减，所以( )f x在区间 0，1的最大值为(0)=fb， 最小值为(1)2fab此时 a，b 满足题设条件当且仅当21ab，b=1，即 a=4，b=1 （iii ）当 0a3 时，由（ 1）知，( )f x在0，1的最小值为 3 327 aa fb，最大值为 b 或2ab 若 3 1 27 a b，b=1，则 3 3 2a，与 0a3 矛盾 . 若 3 1 27 a b，21ab，则3 3a或3 3a或 a=0，与 0a3 矛盾 综上

15、，当且仅当a=0，1b或 a=4，b=1 时，( )f x在0， 1的最小值为 1，最大值为1 21解：（ 1）设 11 1 , 2 DtA xy，则 2 11 2xy. 由于yx，所以切线 DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt . 整理得 11 22 +1=0. txy 设 22 ,B xy，同理可得 22 22 +1=0txy. 故直线 AB的方程为2210txy. 所以直线 AB过定点 1 (0,) 2 . （2）由（ 1）得直线 AB的方程为 1 2 ytx. 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210xtx. 于是 2 12121212 2 ,1,1

16、21xxtx xyyt xxt， 2 222 121212 |11421ABtxxtxxx xt. 设 12 ,dd分别为点 D，E到直线 AB的距离，则 2 12 2 2 1, 1 dtd t . 因此，四边形 ADBE的面积 22 12 1 |31 2 SABddtt. 设M为线段 AB的中点，则 21 , 2 Mt t. 由于EMAB，而 2 ,2EMt t，AB与向量(1, ) t平行，所以 2 20ttt.解得t=0或 1t. 当 t=0时，S=3；当1t时，4 2S. 因此，四边形 ADBE的面积为 3或 4 2 . 22.解： （1） 由题设可得， 弧,AB BC CD所在圆的极

17、坐标方程分别为2cos，2sin，2cos. 所以 1 M的极坐标方程为 2cos0 4 ， 2 M的极坐标方程为 3 2sin 44 ， 3 M的极坐标方程为 3 2cos 4 . （2）设( , )P，由题设及（1）知 若 0 4 ，则2cos3，解得 6 ； 若 3 44 ，则2sin3，解得 3 或 2 3 ； 若 3 4 ，则2cos3，解得 5 6 . 综上， P的极坐标为 3, 6 或 3, 3 或 2 3, 3 或 5 3, 6 . 23解：（ 1）由于 2 (1)(1)(1)xyz 222 (1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 222 3

18、 (1)(1)(1)xyz， 故由已知得 2224 (1)(1)(1) 3 xyz， 当且仅当 x= 5 3 ，y= 1 3 ， 1 3 z时等号成立 所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 . （2）由于 2 (2)(1)()xyza 222 (2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzazax 222 3 (2)(1)()xyza， 故由已知 2 222 (2) (2)(1)() 3 a xyza， 当且仅当 4 3 a x， 1 3 a y， 22 3 a z时等号成立 因此 222 (2)(1)()xyza的最小值为 2 (2) 3 a 由题设知 2 (2)1 33 a ，解得3a或1a