2019年江苏省高考数学试卷(解析版).pdf

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1、1 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题 ( 第 1 题第 20 题，共 20 题) 。本卷满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效。 5如需作图，须

2、用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 样本数据 12 , n x xx的方差 2 2 1 1 n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 柱体的体积 VSh，其中S是柱体的底面积， h是柱体的高 锥体的体积 1 3 VSh，其中S是锥体的底面积， h是锥体的高 一、填空题：本大题共14小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1.已知集合 1,0,1,6A ，0,Bx xxR，则AB_ . 【答案】1,6 . 【解析】 【分析】 由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，1,6AB. 【点睛】本题主要考查交集的运算

3、，属于基础题. 2 2.已知复数(2i)(1i)a 的实部为0，其中 i 为虚数单位，则实数a的值是 _ . 【答案】 2. 【解析】 【分析】 本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0 即得 a的值 . 【详解】 2 (a2 )(1i)222(2)iaaiiiaai， 令20a得2a. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 _. 【答案】 5. 【解析】 【分析】 结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【详解】执行第一次， 1 ,14 22 x SSx不成立，

4、继续循环， 12xx； 执行第二次， 3 ,24 22 x SSx不成立，继续循环，13xx； 执行第三次，3,34 2 x SSx不成立，继续循环，14xx； 执行第四次， 5,44 2 x SSx 成立，输出5.S 3 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构 (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题 (3)按照题目的要求完成解答并验证 4.函数 2 76yxx 的定义域是 _ . 【答案】 1,7 . 【解析】 【分析】 由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得 2 760xx, 即 2

5、 670xx 解得17x， 故函数的定义域为 1,7. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它 们的解集即可 5.已知一组数据6，7，8，8， 9，10，则该组数据的方差是_ . 【答案】 5 3 . 【解析】 【分析】 由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 【详解】由题意，该组数据的平均数为 6788910 8 6 ， 所以该组数据的方差是 22222215 (68)(78)(88)(88)(98)(108) 63 . 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题. 4 6.从 3 名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，

6、 则选出的2 名同学中至少有1名女同学的概 率是 _ . 【答案】 7 10 . 【解析】 【分析】 先求事件的总数，再求选出的2 名同学中至少有1 名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得 出答案 . 【详解】从3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿服务，共有 2 5 10C 种情况 . 若选出的2 名学生恰有1 名女生，有 11 32 6C C种情况， 若选出的2 名学生都是女生，有 2 2 1C 种情况， 所以所求的概率为 617 1010 . 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查， 由于古典概型概率的计算比较

7、明确，所以， 计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中， 应注意审清题意，明确“ 分类 ”“分步 ” ，根据顺序有无，明确“ 排列 ”“组合 ”. 7.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点 （3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_ . 【答案】2yx. 【解析】 【分析】 根据条件求 b，再代入双曲线的渐近线方程得出答案 . 【详解】由已知得 2 2 2 4 31 b ， 解得 2b 或 2b ， 5 因为0b，所以 2b . 因为1a， 所以双曲线的渐近线方程为2yx. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度

8、一般较小，是高考必得分题.双曲 线渐近线与双曲线标准方程中的,a b密切相关，事实上，标准方程中化1 为 0，即得渐近线方程. 8.已知数列 * () n anN 是等差数列，n S 是其前 n 项和 .若2589 0,27a aaS ，则8 S 的值是 _ . 【答案】 16. 【解析】 【分析】 由题意首先求得首项和公差，然后求解前8 项和即可 . 【详解】由题意可得： 258111 91 470 9 8 927 2 a aaadadad Sad ， 解得： 1 5 2 a d ，则 81 87 84028216 2 Sad. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题

9、过程中要注意应用函数方程思想， 灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建 1 ad,的方程组 . 9.如图，长方体 1111 ABCDA B C D的体积是120， E 为 1 CC 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是 _ . 【答案】 10. 【解析】 6 【分析】 由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积 . 【详解】因为长方体 1111 ABCDA B C D 的体积为120， 所以 1 120AB BC CC， 因为E为 1 CC 的中点， 所以 1 1 2 CECC， 由长方体的性质知 1 CC底面ABCD， 所以CE是三棱锥EBCD的

10、底面BCD上的高， 所以三棱锥EBCD的体积 11 32 VAB BC CE 1 1111 12010 32212 AB BCCC. 【点睛】本题蕴含“ 整体和局部 ” 的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整 体和局部的关系，灵活利用“ 割” 与“ 补” 的方法解题 . 10.在平面直角坐标系 xOy中， P 是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，则点P到直线 x+y=0 的距离的最小 值是 _ . 【答案】 4. 【解析】 【分析】 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线 2 2 gR r 平移到与曲线 4

11、 yx x 相切位置时，切点Q 即为点 P 到直线 2 2 gR r 的距离最小 . 由 2 4 11y x ，得2(2)x舍，3 2y， 即切点(2,32)Q， 则切点 Q 到直线 2 2 gR r 的距离为 22 23 2 4 11 ， 故答案为： 4 7 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和 公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题 . 11. 在平面直角坐标系xOy中，点 A在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e， -1)(e 为自然对 数的底数），则点 A的坐标是 _. 【答案】(e, 1). 【解析】

12、【分析】 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点 00 ,A xy，则 00 lnyx.又 1 y x ， 当 0 xx 时， 0 1 y x ， 点 A 在曲线lnyx 上 的 切线为00 0 1 ()yyxx x ， 即 0 0 ln1 x yx x ， 代入点, 1e，得 0 0 1ln1 e x x ， 即 00 lnxxe， 考查函数lnH xxx，当0,1x时，0H x，当1,x时，0H x， 且ln1Hxx，当1x时， 0,HxHx 单调递增， 注意到H ee，故 00 lnxxe存在唯一的实数根 0 xe，此时 0 1y， 故点 A的

13、坐标为 ,1A e. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 8 同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点 12. 如图， 在V ABC中， D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上， BE=2EA， AD 与 CE 交于点 O .若 6AB ACAO EC ， 则 AB AC 的值是 _ . 【答案】 3. 【解析】 【分析】 由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，

14、过点D 作 DF /CE，交 AB于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD. 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE 22 31311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 2222 3 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC， 得 22 13 , 22 ABAC即3,ABAC故3 AB AC . 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几 何法，利用数形结合和方程思想解题. 9 13.已知 tan2 3 tan 4 ，则 sin 2 4

15、 的值是 _ . 【答案】 2 2 22 1: 4 A AAA CCC C v arv vav r . 【解析】 【分析】 由题意首先求得tan的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问 题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由 tan1tantantan2 tan1 tan13 tan 1tan 4 ， 得 2 3tan5tan20， 解得tan 2，或 1 tan 3 . sin 2sin 2coscos2sin 444 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos 2 2 22tan1tan = 2tan1 ，

16、当tan2时，上式 2 2 222 122 = 22110 ； 当 1 tan 3 时，上式 = 2 2 11 21 2233 = 210 1 1 3 . 10 综上， 2 sin 2. 410 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转 化与化归思想解题. 14. 设( ),( )f xg x 是定义在R 上的两个周期函数，( )f x 的周期为 4，( )g x的周期为2，且( )f x 是奇函数 .当 (0,2x时， 2 ( )1(1)f xx ， (2),01 ( ) 1 ,12 2 k xx g x x ，其中 k0.若在区间 (0

17、，9上，关于 x的方 程 ( )( )f xg x 有 8个不同的实数根，则k 的取值范围是_ . 【答案】 12 , 34 . 【解析】 【分析】 分别考查函数fx和函数g x图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当0,2x时， 2 ( )11,f xx 即 2 2 11,0.xyy 又( )f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图，函数( )f x 与( )g x 的图象，要使 ( )( )fxg x 在(0,9上有 8 个实根，只需二者图象有8 个交点即可 . 当 1 g( ) 2 x时，函数 ( )f x 与( )g x的图象有2 个交点； 当g(

18、) (2)xk x 时， ( )g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数( )f x 与 ( )g x 的图象有6个交点 . 11 当( )f x 与( )g x图象相切时，圆心（1，0）到直线 20kxyk 的距离为1，即 2 2 1 1 kk k ，得 2 4 k， 函数( )f x 与( )g x的图象有3 个交点；当 g( )(2)xk x 过点（ 1,1）时， 函数( )f x 与( )g x的图象有 6 个交 点，此时13k，得 1 3 k. 综上可知，满足( )( )f xg x在(0,9上有 8 个实根的 k 的取值范围为 12 34 ，. 【点睛】本题考点为参数的取

19、值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点 而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取 值范围 . 二、解答题：本大题共6 小题，共计 90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15. 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c （1）若 a=3c，b= 2 ， cosB= 2 3 ，求 c 的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B的值 【答案】（1） 3 3 c； （2） 2 5 5 . 【解析】 【分析】 (1)由题意结合余弦定理得到关于

20、c 的方程，解方程可得边长c的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值，然后由诱导公式可得 sin() 2 B 的 值. 【详解】（1）因为 2 3 ,2,cos 3 ac bB， 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ，得 222 2(3 )(2) 32 3 cc cc ，即 2 1 3 c. 12 所以 3 3 c . （2）因为 sincos 2 AB ab ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 cossin 2 BB bb ，所以cos2sinBB. 从而 22 cos(2sin)BB，即 22 cos4 1cosBB ，故 24

21、cos 5 B. 因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而 2 5 cos 5 B . 因此 2 5 sincos 25 BB . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能 力. 16. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， D，E 分别为 BC，AC 的中点， AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC 1； （2）BEC1 E 【答案】（1）见解析；（2）见解析 . 【解析】 【分析】 (1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.

22、【详解】（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 13 所以 ED AB. 在直三棱柱ABC-A 1B1C1中， ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为 ED?平面 DEC1 ，A 1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以BEAC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面 ABC. 又因为 BE? 平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C1C? 平面 A1ACC 1，AC? 平面 A1ACC1 ，C 1C AC=C， 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E? 平面 A1ACC1，所以 BEC

23、1E. 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力 和推理论证能力. 17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为F1（ 1、0） ， F2（1，0） 过 F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: 222 (1)4xya交于点A，与椭圆C交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1= 5 2 14 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点 E 的坐标 【答案】（1） 22 1 43 xy ； （2） 3 ( 1,) 2

24、E. 【解析】 【分析】 (1)由题意分别求得a,b 的值即可确定椭圆方程； (2)解法一：由题意首先确定直线1 AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF2 与椭圆的方程即可确定点E 的坐标； 解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标 . 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c. 因为 F1( 1，0)，F2(1， 0)，所以 F 1F2=2，c=1. 又因为 DF 1= 5 2 ，AF2x 轴，所以DF2= 2222 112 53 ( )2 22 DFF F， 因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2 . 由 b 2=a2-c

25、2，得 b2=3. 因此，椭圆C 的标准方程为 22 1 43 xy . （2）解法一： 由（ 1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy ， a=2， 15 因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为1. 将 x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得 y= 4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以A(1，4). 又 F 1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. 由 2 2 22 116 yx xy ，得 2 56110xx ， 解得1x或 11 5 x. 将 11 5 x代入 22yx ，得 12 5 y， 因此 1112 (,) 55 B.又 F2(1，0)，所以直线BF2

26、： 3 (1) 4 yx. 由 22 3 (1) 4 1 43 yx xy ，得 2 76130xx，解得1x或 13 7 x. 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 1x. 将1x代入 3 (1) 4 yx，得 3 2 y .因此 3 ( 1,) 2 E. 解法二： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy .如图，连结EF1. 16 因为 BF2=2a，EF1+EF 2=2a，所以 EF1=EB， 从而 BF1E=B. 因为 F2A=F2B，所以 A=B， 所以 A=BF1E，从而 EF1F2A. 因为 AF2x 轴，所以 EF 1x 轴. 因为 F1(-1， 0)，由 22

27、1 1 43 x xy ，得 3 2 y. 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 3 2 y. 因此 3 ( 1,) 2 E. 【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等 基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 18. 如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l， 湖上有桥 AB （ AB是圆 O 的直径） 规 划在公路l 上选两个点P、 Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求 :线段 PB、 QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和

28、BD（C、D 为垂足），测得 AB=10， AC=6，BD=12（单位 :百米） （1）若道路PB 与桥 AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时， P、 Q 两点间的距离 【答案】（1）15（百米）； （2）见解析； 17 （3）17+ 3 21（百米） . 【解析】 【分析】 解：解法一： （1）过 A 作AE BD，垂足为 E.利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和 Q 中能否有一个点选在D 处即可 . （3）先讨论点P

29、 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时， P、 Q 两点间的距离 解法二： （1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点 B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和 Q 中能否有一个点选在D 处即可 . （3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时， P、 Q 两点间的距离 【详解】解法一： （1）过 A 作AE BD，垂足为 E. 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， 6,8DEBEACAECD. 因为 PBAB， 所以 84 cossin 105 PBDABE. 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD

30、 . 因此道路PB 的长为 15（百米） . （2）若 P在 D 处，由（ 1）可得 E 在圆上，则线段BE 上的点（除B，E）到点 O 的距离均小于圆O 的半 径，所以P 选在 D 处不满足规划要求. 若 Q 在 D 处，连结 AD，由（ 1）知 22 10ADAEED ， 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB ，所以 BAD 为锐角 . 18 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径 . 因此， Q选在D处也不满足规划要求. 综上， P和 Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置 . 当 OBP90时，在 1 PPB 中，1 15PBPB

31、. 由上可知， d15. 再讨论点Q 的位置 . 由（ 2）知，要使得QA15 ，点 Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时， 2222 1563 21CQQAAC .此时，线段QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆O 的半径 . 综上，当PBAB，点 Q 位于点 C 右侧，且 CQ=3 21时， d 最小，此时P，Q 两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3 21. 因此， d 最小时， P，Q 两点间的距离为17+3 21（百米） . 解法二： （1）如图，过O 作 OHl，垂足为H. 以 O 为坐标原点，直线OH 为 y轴，建立平面直角坐标系. 因为 BD

32、=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l 的方程为y=9，点 A，B 的纵坐标分别为3，-3. 19 因为 AB 为圆 O 的直径， AB=10，所以圆O 的方程为x 2+y2=25. 从而 A（4， 3） ，B（ -4 ，-3 ） ，直线 AB 的斜率为 3 4 . 因为 PBAB，所以直线PB 的斜率为 4 3 ， 直线 PB 的方程为 425 33 yx. 所以 P（-13 ，9） ， 22 ( 134)(93)15PB . 因此道路PB 的长为 15（百米） . （2）若 P 在 D 处，取线段BD 上一点 E（ -4 ，0） ，则 EO=490 时，在 1 PPB中， 1 15PB

33、PB. 由上可知， d15. 再讨论点Q 的位置 . 由（ 2）知，要使得QA 15，点 Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求. 当 QA=15 时，设 Q（a，9） ，由 22 (4)(93)15(4)AQaa ， 得 a=4 3 21，所以 Q（43 21，9） ，此时，线段 QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径 . 综上，当P（-13 ，9） ，Q（ 43 21，9）时， d 最小，此时 P，Q 两点间的距离 20 43 21( 13)173 21PQ. 因此， d 最小时， P，Q 两点间的距离为 173 21（百米） . 【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程

34、、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用 数学知识分析和解决实际问题的能力. 19. 设函数( )()( )(), ,Rf xxaxbxca b c，( )f x为 f（x）的导函数 （1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值； （2）若 ab，b=c，且 f（x）和 ( )f x 的零点均在集合 3,1,3中，求 f（x）的极小值； （3）若 0,01,1abc, ，且 f（ x）的极大值为M，求证 :M 4 27 【答案】（1） 2a ； （2）见解析； （3）见解析 . 【解析】 【分析】 （1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a 的值； （2）由题意首先确定a,b

35、,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小 值. （3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值， 因为01b，所以 1 (0,1)x 当 (0,1)x 时， 2 ( )()(1)(1)f xx xbxx x 令 2 ( )(1) ,(0,1)g xx xx，则 1 ( )3(1) 3 g xxx 令( )0g x，得 1 3 x列表如下： 21 x 1 (0, ) 3 1 3 1 (,1) 3 ( )g

36、x + 0 ( )g x极大值 所以当 1 3 x时，( )g x取得极大值，且是最大值，故max 14 ( ) 327 g xg 所以当(0,1)x时， 4 ( )( ) 27 f xg x，因此 4 27 M 【详解】（1）因为abc，所以 3 ( )()()()()fxxaxb xcxa 因为(4)8f，所以 3 (4)8a，解得2a （2）因为bc， 所以 2322 ( )()()(2 )(2)f xxaxbxab xbab xab， 从而 2 ( )3() 3 ab f xxbx令( )0f x，得 xb 或 2 3 ab x 因为 2 , , 3 ab a b ，都在集合3,1,3

37、中，且ab， 所以 2 1,3,3 3 ab ab 此时 2 ( )(3)(3)f xxx， ( )3(3)(1)f xxx 令( )0f x，得3x或1x列表如下： x (, 3) 3 ( 3,1)1 (1,) + 0 0 + ( )f x 极大值极小值 所以( )f x 的极小值为 2 (1)(13)(13)32f 22 （3）因为0,1ac，所以 32 ( )()(1)(1)f xx xbxxbxbx， 2 ( )32(1)f xxbxb 因为01b，所以 22 4(1)12(21)30bbb， 则有 2 个不同的零点，设为 1212 ,xxxx 由( )0f x，得 22 12 111

38、1 , 33 bbbbbb xx 列表如下： x 1 (,)x 1 x 12 ,x x 2 x 2 (,)x + 0 0 + ( )f x 极大值极小值 所以( )f x 的极大值 1 Mfx 解法一： 32 1111 (1)Mfxxbxbx 2 21 111 21 1(1) 32(1) 3999 bb xbb b xbxbx 2 3 2 21 (1) (1)2 1 27927 bbb b b bb 2 3(1)2(1) (1)2 (1)1) 272727 b bbb b b (1)24 272727 b b 因此 4 27 M 解法二： 因为01b，所以 1 (0,1)x 当(0,1)x时，

39、 2 ( )()(1)(1)f xx xbxx x 23 令 2 ( )(1) ,(0,1)g xx xx，则 1 ( )3(1) 3 g xxx 令 ( )0g x ，得 1 3 x列表如下： x 1 (0,) 3 1 3 1 (,1) 3 ( )g x + 0 ( )g x极大值 所以当 1 3 x时，( )g x取得极大值，且是最大值，故 max 14 ( ) 327 g xg 所以当(0,1)x时， 4 ( )( ) 27 f xg x，因此 4 27 M 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推 理能力 20. 定义首项为1 且公比

40、为正数的等比数列为“M数列” . （1）已知等比数列 an满足： 245132 ,440a aaaaa，求证 :数列 an为“ M数列”； （2）已知数列 bn满足 : 1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中 Sn为数列 bn的前 n 项和 求数列 bn 的通项公式； 设 m为正整数，若存在“M数列” cn ，对任意正整数k，当 km时，都有1kkk cbc 剟 成立，求m 的最大值 【答案】（1）见解析； （2） bn=n * nN；5. 【解析】 【分析】 24 （1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； （2）由题意利用递推关系式讨论可得数列 bn 是等差数列，据

41、此即可确定其通项公式； 由确定 k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数， 结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值 【详解】（1）设等比数列an 的公比为 q，所以 a10 ， q 0. 由 245 321 440 a aa aaa ，得 244 11 2 111 440 a qaq a qa qa ，解得 1 1 2 a q 因此数列 n a为“ M数列 ”. （2）因为 1 122 nnn Sbb ，所以0 n b 由 111 1,bSb得 2 122 11b ，则 2 2b . 由 1 122 nnn Sbb ，得 1 1 2() nn n nn b b S bb ， 当2n时

42、，由 1nnn bSS，得 11 11 22 nnnn n nnnn b bbb b bbbb ， 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列 bn 是首项和公差均为 1 的等差数列 . 因此，数列 bn的通项公式为 bn=n * nN. 由知， bk =k， * kN . 因为数列 cn 为“ M 数列 ” ，设公比为 q，所以 c1=1， q0. 因ck bk ck+1，所以 1kk qkq，其中 k=1，2，3，m. 当 k=1 时，有 q1 ； 当 k=2，3， ，m时，有 lnln ln 1 kk q kk 设 f（x）= ln (1) x x x ，则 2 1ln ( ) x f

43、x x 令 ( )0f x ，得 x=e.列表如下： x (1,e)e (e，+) 25 ( )f x+ 0 f（x） 极大值 因为 ln 2ln8ln9ln3 2663 ，所以 max ln3 ( )(3) 3 f kf 取 3 3q，当 k=1，2， 3，4，5 时， ln ln k q k ,，即 k kq， 经检验知 1k qk也成立 因此所求m 的最大值不小于5 若 m6 ，分别取 k=3，6，得3 q3，且q56 ，从而 q15 243 ，且 q15 216 ， 所以 q 不存在 .因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5 【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通

44、项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归 及综合运用数学知识探究与解决问题的能力 数学(附加题 ) 【选做题】 本题包括 21、22、23 三小题，请选定其中两小题， 并在相应的答题区域内作答 若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21. 已知矩阵 31 22 A （1）求 A2； （2）求矩阵A 的特征值 . 【答案】（1） 115 106 ； （2） 12 1,4. 【解析】 【分析】 (1)利用矩阵的乘法运算法则计算 2 A 的值即可； 26 (2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【详解】（1）因为 31 22 A

45、， 所以 2 3131 2222 A = 3 31 23 1 1 2 2 3222 122 = 115 106 （2）矩阵 A 的特征多项式为 2 31 ( )54 22 f. 令( )0f，解得 A 的特征值 12 1,4. 【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力 22. 在极坐标系中，已知两点3,2, 42 AB，直线 l 的方程为 sin3 4 . （1）求 A， B两点间的距离； （2）求点 B 到直线 l 的 距离 . 【答案】（1） 5； （2）2. 【解析】 【分析】 (1)由题意，在OAB中，利用余弦定理求解AB的长度即可； (2)首先确定直线的倾斜

46、角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点 B 到直线l的 距离 . 【详解】（1）设极点为O.在 OAB 中， A（3， 4 ） ，B（ 2 ， 2 ） ， 由余弦定理，得AB= 22 3( 2)232cos()5 24 . 27 （2）因为直线l 的 方程为sin()3 4 ， 则直线 l 过点(3 2,) 2 ，倾斜角为 3 4 又( 2,) 2 B ，所以点B 到直线 l 的距离为 3 (3 22)sin()2 42 . 【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力 23. 设xR，解不等式| |+|2 1|2xx. 【答案】 1 |1 3 x

47、 xx或. 【解析】 【分析】 由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【详解】当x2，即 x 1 2 时，原不等式可化为x+2x 12，解得 x1. 综上，原不等式的解集为 1 |1 3 x xx或. 【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力 【必做题】第 24 题、第 25题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24. 设 2* 012(1),4, nn nxaa xa xa xnnN.已知 2 3242aa a. （1）求 n 的值； （2）设(13)3 n ab，其中 * ,a b

48、N ，求 22 3ab 的值 . 【答案】（1）5n； （2）-32. 【解析】 【分析】 28 (1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,aa a的值，然后求解关于 n的方程可得n的值； (2)解法一：利用 (1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a,b 的值，然后计算 22 3ab 的值即可； 解法二： 利用 (1)中求得的 n 的值，由题意得到 5 13的展开式， 最后结合平方差公式即可确定 22 3ab的 值. 【详解】（1）因为 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， ， 所以 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa， 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 因为 2 324 2aa a， 所以 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn ， 解得5n （2）由（ 1）知，5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一： 因为 * ,a bN ，所以 02413