【人教版】中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》教案设计.pdf

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1、【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 1 排列组合教案 第一部分基本内容 一课标要求： 1分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例， 总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选 择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题； 2排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并 能解决简单的实际问题； 3二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 二命题走向 本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分； 考查内容：（1）两个原理；（2）排

2、列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应 用； （3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。 排列、 组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有 题目涉及； 二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。 考察形式： 单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组 合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007 年高 考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现 的可能性较大。 三要点精讲 1排列、组合、二项式知识相互关系

3、表 2两个基本原理 （1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步； 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 2 正确地分类与分步是学好这一章的关键。 3排列 （1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系 m n A = )!( ! mn n =n(n1)(n m+1)； （3）全排列列： n n A =n! ； （4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4组合 （1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：Cn m = )!( ! ! mnm n = 12)1( 1)m-(n1)-n( mm n ； （3）组合数的性

4、质 Cn m =Cn n-m ； r n r n r n CCC 1 1 ； rCn r =nCn-1 r-1 ；Cn 0+C n 1+C n n=2n ； Cn 0 -Cn 1+( -1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+=C n 1+C n 3+=2n-1 ； 5二项式定理 （1）二项式展开公式：(a+b) n=C n 0an+C n 1an-1 b+Cn kan-k b k+C n nbn； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1 项的通项公式是：Tk+1=Cn kan-k b k； 6二项式的应用 （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；

5、（3）证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题； （4）近似计算。当|x| 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： (1+x) n1+nx；(1+x)n1+nx+ 2 )1(nn x 2； （5）证明不等式。 第二部分典型题 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此 解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题 还是排列与组合综合问题； 其次要抓住问题的本质特征， 采用合理恰 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 3 当的方法来处理。 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事,

6、 即采取分步还是分类, 或是分步与分 类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题( 有序) 还是组合 ( 无序) 问题, 元素 总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题， 往往类与步交叉， 因此必须掌握一些常 用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的 元素占了这两个位置 . 先排末位共有 1 3 C 然后排首位共有 1 4 C 最后排其它位置共有 3 4 A 由分步计数原理得 113 434 288

7、C C A 练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中 间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 解一：分两步完成； 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 第二步排其余的位置： 解二：第一步由葵花去占位： 第二步由其余元素占位： 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同 的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙 丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列， 同时对相邻元 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分

8、析为主, 需 先安排特殊元素, 再处理其它元素. 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 5 5 A有种排法 4 4 有A 种排法 3 5 A有种排法 34 54 A A共有种不同的排法 2 4 A有种排法 25 45 A A共有种不同的排法 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 4 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522 522 480A A A种不同的 排法 乙甲丁丙 练习题: 某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起 的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略

9、 例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱, 舞蹈节目不 能连续出场 , 则节目的出场顺序有多少种？ 解: 分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有 5 5 A种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 4 6 A 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有 54 56 A A种 练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单， 开演前又增 加了两个新节目 . 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新 节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队 , 其中甲乙丙 3 人

10、顺序一定共有多少不同的排法 解:( 倍缩法 )对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个 元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这 几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是： 73 73 /AA (空位法 )设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 4 7 A种方 法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有 4 7 A种 方法。 思考: 可以先让甲乙丙就坐吗 ? （插入法 ) 先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次 插入共有方法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素 ,再与其它

11、元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 5 练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排5 人, 要求从左至右 身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10 C（解析：首先，从10 个人当中任选5 个人站第一排，有C10 5 种， 然后按从高到低排只有1 种，即为C10 5*1=C10 5； 然后，剩下的5 个人站第二排，按从高到低排只有1 种。 所以，就为C10 5. ） 五. 重排问题求幂策略 例 5. 把 6 名实习生分配到

12、7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法 解: 完成此事共分六步 : 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推 , 由分步计数原 理共有 6 7种不同的排法 练习题： 1某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单， 开演前又增加 了两个新节目 . 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法 的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法 8 7 六. 环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐 ,共有多少种坐法 ? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分， 所以固定一人

13、 4 4 A并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有 （8-1） ！种排法即7！ HF D C A ABCDEA B E G HGF 练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为 n m种 一般地 ,n 个不同元素作圆形排列,共有 (n-1)! 种排法 .如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆 形排列共有 1m n A n 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 6 七. 多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4

14、 人, 其中甲乙在前排 ,丙在后排 , 共 有多少排法 解:8 人排前后两排 , 相当于 8人坐 8把椅子, 可以把椅子排成一排 . 个特殊元素有 2 4 A种, 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 1 4 A种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 5 5 A种, 则共有 215 445 A A A种 前 排后 排 练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人 就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相 邻，那么不同排法的种数是 346 八. 排列组合混合问题先选后排策略 例8. 有 5个不同的小球 , 装入 4个不同的盒内 , 每盒至少装一

15、个球 , 共有多少不同的装法 . 解: 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 2 5 C种方法 . 再把 4 个元素 (包含一个复合元素 ) 装入 4 个不同的盒内有 4 4 A种方法， 根据分步计数原理装球的方法共有 24 54 C A 练习题：一个班有6 名战士 ,其中正副班长各1 人现从中选 4 人完成 四种不同的任务 , 每人完成一种任务 ,且正副班长有且只有1 人参加, 则不同的选法有 192 种 九. 小集团问题先整体后局部策略 例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶 数夹 1, 在两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个？ 解：把 , ,

16、,当作一个小集团与排队共有 2 2 A种排法，再 排小集团内部共有 22 22 A A种排法，由分步计数原理共有 222 222 A A A 种排法 . 1524 一般地 ,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 7 练习题： . 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在 两端，那么共有陈列方式的种数为 2

17、54 254 A A A 2. 5男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有 255 255 A A A种 十. 元素相同问题隔板策略 例 10. 有 10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个 , 有多少 种分配方案？ 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形 成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额 分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种 分法共有 6 9 C种分法。 一 班 二 班 三 班 四 班 五 班 六 班 七 班 练习题： 110 个相同的球装 5 个盒中, 每盒至少一有多少装法？ 4 9 C 2 .100xyzw求这个方

18、程组的自然数解的组数 3 103 C 十一. 正难则反总体淘汰策略 例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其 和为不小于 10 的偶数 , 不同的取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难 , 可用总体淘汰 法。这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数, 所取的三个数含有3 个 偶数的取法有 3 5 C, 只含有 1个偶数的取法有 12 55 C C, 和为偶数的取法 共有 123 555 C CC。再淘汰和小于 10的偶数共 9 种，符合条件的取法 共有 123 555 9C CC 将 n 个相同的元素分成m 份（ n，m 为正整数）

19、 ,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板， 插入 n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有分法数为 1 1 m n C 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面 ,再从整体中淘汰. 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 8 练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部 书记至少有一人在内的抽法有多少种? （解 43人中任抽 5 人的方法有种, 正副班长 , 团支部书记都不 在内的抽法有种,所以正副班长 , 团支部书记至少有1 人在内 的抽法有种.） 十二. 平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成

20、3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？ 解: 分三步取书得 222 642 C C C种方法 , 但这里出现重复计数的现象, 不 妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF该分法 记为(AB,CD,EF),则 222 642 C C C中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 3 3 A种取法 , 而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法 , 故共 有 2223 6423 /C C CA种分法。 练习题： 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队, 其它两组 4 个队,

21、 有多少分 法？（ 5442 13842 /C C CA） 2.10 名学生分成 3 组, 其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分 在同一组 , 有多少种不同的分组方法（1540） （把其他的8 个人按照332 分组，再把正副班长放进去 C(8,3)*C(5,2)*C(3,3)/A(2,2)，正副班长必须分别放入一个三人组和一个两人组，共有4 种可能，就再乘以4 把其他 8 个人按照422 分组，再把正副班长放进去 C(8,4)*C(4,2)*C(2,2)/A(2,2)，正副班长必须分别放入两个二人组，共有两种可能，就在 乘以 2 然后相加就是结果。 列式为 4*C(8,3)*C(

22、5,2)*C(3,3)/A(2,2)+2*C(8,4)*C(4,2)*C(2,2)/A(2,2)，= 1120+420=1540 种） 3. 某校高二年级共有六个班级， 现从外地转入 4 名学生，要安排到该 年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为_ （ 2222 4262 /90C C AA） 例 1：把 10 人平均分成 2 组，每组 5 人，问共有多少种不同的分法？ 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 n n A(n为均分的 组数 )避免重复计数。 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 9 解 1：先确定第 1 组，有 5 10 C 种

23、方法，再确定第二组，有 5 5 C 种方法。这样确 定两组共有 5 10c 5 5c 种方法。因为是等分组，第一、二组次序可交换，同一种分 法被重复了 2 2 P 次，所以共有 2 2 5 5 5 10 P CC 种分法 例 2：把 10 人分成 3 组，一组 2 人，一组 3 人，一组 5 人，问有多少种不 同的分法？ 解 2：按人数的多少，可把各组划分为第一组，第二组，第三组。先确定第 1 组，有 2 10c 种；再确定第二组，有 3 8c 种法；最后确定第三组，有 5 5c 种，共有 2 10c 3 8c 5 5c 种。 例 3：把 10 分成 3 组，一组 2 人，其余两组各 4 人，

24、问有多少种不同的分 法？ 解 3：先确定第 1 组，有 2 10c 种方法 ; 再确定第二组，有 4 8c 种方法 ; 最后确定 第三组，有 4 4c 种方法。因第二、三组次序可交换，故同一分法被重复了 2 2 P 次， 所以共有 2 2 4 4 4 8 2 10 C P CC (1).对于等分组问题：分法数 = 等分组数的阶乘 按序分组的总数 (2). 对于不等分组问题：分法数=按序分组的总数 (3). 对于混合分组问题：分法数= 相等组数的阶乘 按序分组的总数 十三. 合理分类与分步策略 例 13. 在一次演唱会上共10 名演员 ,其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2

25、 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法 解：10 演员中有 5 人只会唱歌， 2 人只会跳舞 3 人为全能演员。 选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 22 33 C C种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 112 534 C C C种, 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 22 55 C C种，由分类计数原理共有 2211222 3353455 C CC C CC C种。 练习题： 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程

26、的始终。 【人教版】中职数学（拓展模块）教学设计 10 1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人 中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2. 3成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1人, 他们任选 2 只船或 3只船, 但小孩不能单独乘一只 船, 这 3 人共有多少乘船方法 . （27） （只有两种可能- 1：两小孩都在1 号船， 1 号船上还有一大人，这种情况是3*3=9 种 2:1 小孩在 1 号船， 1 小孩在 2 号船， 2 号船上还有一大人，这种情况下1 号船必有大人， 有 2*3*3

27、=18 种 最后通过计算知共有9+18=27 种） 本题还有如下分类标准： *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四. 构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其 中的 3 盏, 但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的 2 盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不 亮的灯有 3 5 C种 练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每

28、人左右两边都有空位， 那么不同的坐法有多少种？（120） 十五. 实际操作穷举策略 例 15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球， 并且恰好 有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法 解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 2 5 C种还剩下 3 球 3 盒序号 不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5 号球, 3,4,5 号 盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理3 号球装 5号盒时 ,4,5 号球有也只有 1种装法, 由分步计数原理 有 2 5 2C种 534 3 号盒 4号盒 5号盒 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型， 装盒 模型等，可使问题直观解决