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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 文科数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设集合A= x|x 2-5x+60 ，B= x|x-1b，则 Aln(a- b)0 B3 a0 D a b 7设 ，为两个平面，则 的充要条件是（） A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与 平行 C ，平行于同一条直线 D ， 垂直于同一平面 8若抛物线y 2=2px(p0)的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则p=（） A2 B3 C4 D8 9下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单
2、调递增的是（） Af(x)= cos 2 x Bf(x)= sin 2 x Cf(x)=cos x Df(x)= sinx 10已知 (0， 2 )，2sin 2 =cos 2 +1，则 sin =（） A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 11设 F 为双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的 圆与圆 222 xya交于 P，Q 两点 .若PQOF，则 C 的离心率为（） A 2 B 3 C2 D 5 12设函数( )f x的定义域为R， 满足(1)2 ( )f xf x， 且当(0,1x时，( )(1)f xx x. 若对
3、任意(,xm，都有 8 ( ) 9 f x，则 m 的取值范围是（） A 9 , 4 B 7 , 3 C 5 , 2 D 8 , 3 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点 率为 0.97，有 20 个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为_. 14已知( )f x是奇函数，且当 0x时，( )e ax f x .若 (ln 2)8f，则a_. 15 ABC的内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c.若 6,2 ,
4、 3 bac B，则ABC的面积 为_. 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体， 但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“ 半正多面体 ” （图 1）.半正多面体是由 两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数 为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则 该半正多面体共有_个面，其棱长为_.（本题第一空2 分，第二空3 分.） 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第22、2
5、3 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分。 17（ 12 分） 如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱 AA1上， BEEC1. （1）证明： BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B EC C1的正弦值 . 18（ 12 分） 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率 为 0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后， 甲先发 球，两人又打了X 个
6、球该局比赛结束. （1）求 P（X=2）； （2）求事件 “ X=4 且甲获胜 ” 的概率 . 19（ 12 分） 已知数列 an 和bn满足 a1=1，b1 =0，14 34 nnn aab， 1 434 nnn bba. （1）证明： an+bn是等比数列， an bn是等差数列； （2）求 an和 bn 的通项公式 . 20（ 12 分） 已知函数 1 1 ln x fxx x . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 e x y的 切线 . 21（ 12
7、分） 已知点 A(- 2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线AM 与 BM 的斜率之积为 - 1 2 .记 M 的轨迹为曲 线 C. （1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限， PE x 轴，垂足为E，连结 QE 并延长交C 于点 G. （i）证明： PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG面积的最大值. （二）选考题：共 10分请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中， O 为极点，点 000 (,)(0)M在曲线:
8、4sinC上， 直线 l 过点(4,0)A 且与OM垂直，垂足为P. （1）当 0= 3 时，求 0及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且P 在线段 OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23选修 4-5：不等式选讲 （10 分） 已知 ( )|2 |().f xxa xxxa （1）当1a时，求不等式 ( )0f x 的解集； （2）若(,1x时，( )0f x，求a的取值范围 . 【参考答案】 1A 2 C 3C 4D 5A 6C 7 B 8D 9A 10B 11 A 12B 13 0.98 14 3 15 6 3 1626； 21 17（ 1）证明：由已知得， 11 B
9、 C平面 11 ABB A，BE平面 11 ABB A， 故 11 B CBE 又 1 BEEC，所以BE平面 11 EB C （2）解：由 （1） 知 1 90BEB 由题设知 11 RtRtABEA B E， 所以45AEB， 故AEAB， 1 2AAAB以D为坐标原点，DA的方向为 x轴正方向，|DA为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则C （0， 1， 0） ，B （ 1， 1， 0）， 1 C（0，1， 2） ，E （1， 0， 1），( 1 , 1 , 1 )CE， 1 (0,0,2)CC 设平面 EBC的法向量为 n=（x，y，x），则 0, 0, CB CE
10、n n 即 0, 0, x xyz 所以可取 n=(0,1, 1). 设平面 1 ECC的法向量为 m=（x，y，z），则 10, 0, CC CE m m 即 20, 0. z xyz 所以可取 m=（ 1，1，0） 于是 1 cos, |2 n m n m nm 所以，二面角 1 BECC的正弦值为 3 2 18解：（ 1）X=2就是 10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这 2个球均由甲得 分，或者均由乙得分因此P（X=2）=0.5 0.4+（1 0.5） （1 04）=05 （2）X=4且甲获胜，就是10： 10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分 情况为：前
11、两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为0.5 （1 0.4）+（1 0.5） 0.4 0.5 0.4=0.1 19解：（ 1）由题设得 11 4()2() nnnn abab，即 11 1 () 2 nnnn abab 又因为 a1+b1 =l，所以 nn ab是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列 由题设得 11 4()4()8 nnnn abab ， 即 11 2 nnnn abab 又因为 a1 b1 =l，所以 nn ab是首项为 1，公差为 2的等差数列 （2）由（ 1）知， 1 1 2 nn n ab， 21 nn abn 所以 111 ()() 222 nnnn
12、nn aababn， 111 ()() 222 nnnnnn bababn 20解：（ 1）f（x）的定义域为（0，1），（ 1，+）单调递增 因为 f（e）= e 1 10 e 1 ， 22 2 22 e1e3 (e )20 e1e1 f ， 所以 f（x）在（ 1，+）有唯一零点x1，即 f（ x1） =0 又 1 1 01 x ， 1 11 11 11 ()ln()0 1 x fxf x xx ， 故 f（x）在（ 0，1）有唯一零点 1 1 x 综上， f（x）有且仅有两个零点 （2）因为 0 ln 0 1 e x x ，故点 B（ lnx0， 0 1 x ）在曲线y=e x 上 由题
13、设知 0 ()0f x，即 0 0 0 1 ln 1 x x x ， 故直线 AB 的斜率 0 0 000 0 000 0 0 111 ln 11 1 ln 1 x x xxx k x xxx x x 曲线 y=e x 在点 0 0 1 (ln,)Bx x 处切线的斜率是 0 1 x ，曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx 处切线的 斜率也是 0 1 x ， 所以曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处的切线也是曲线y=e x 的切线 21解：（ 1）由题设得 1 222 yy xx ，化简得 22 1(|2) 42 xy x，所以 C 为中在 坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左
14、右顶点 （2）（ i）设直线PQ 的斜率为k，则其方程为(0)ykx k 由 22 1 42 ykx xy 得 2 2 12 x k 记 2 2 12 u k ，则( ,),(,),( ,0)P u ukQuukE u 于是直线QG的斜率为 2 k ，方程为 () 2 k yxu 由 22 (), 2 1 42 k yxu xy 得 22222 (2)280kxuk xk u 设(,) GG G xy，则u和 G x是方程的解，故 2 2 (32) 2 G uk x k ，由此得 3 2 2 G uk y k 从而直线PG的斜率为 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk
15、u k 所以PQPG，即PQG是直角三角形 （ii ）由（ i）得 2 | 21PQuk ， 2 2 21 | 2 ukk PG k ， 所以 PQG 的面积 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(1 2)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k 设 t=k+ 1 k ，则由 k0 得 t2 ，当且仅当k=1 时取等号 因为 2 8 12 t S t 在 2， +） 单调递减， 所以当 t=2， 即 k=1 时，S取得最大值， 最大值为 16 9 因此， PQG 面积的最大值为 16 9 22解：（ 1）因为 00 ,M在C上，当 0 3 时， 0 4sin2
16、3 3 . 由已知得| |cos2 3 OPOA. 设( , )Q为l上除 P的任意一点 .在RtOPQ中cos|2 3 OP ， 经检验，点 (2,) 3 P 在曲线cos2 3 上. 所以， l的极坐标方程为cos2 3 . （2）设(, )P，在RtOAP中，| |cos4cos,OPOA即4cos 因为 P在线段 OM上，且APOM，故的取值范围是, 4 2 . 所以， P点轨迹的极坐标方程为4cos, 4 2 . 23解：（1）当 a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx. 当1x时， 2 ( )2(1)0f xx；当1x时，( )0fx. 所以，不等式( )0f x的解集为(,1). （2）因为( )=0f a，所以1a. 当1a，(,1)x时，( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xxxaax x 所以，a的取值范围是1,).