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1、深圳市高级中学2015-2016 学年第一学期期末测试 高二理科数学 本试卷由两部分组成。第一部分：期中前基础知识和能力考查，共91分；第二部分：期 中后知识考查，共59分。全卷共计150分。考试时间为120分钟。 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮 擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。 3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。 第1卷（本卷共计91分） 一选择题：共7 小题，每小题5 分，共 35 分 .在每个小题给出的四个选项中，只
2、有一项是 符合题目要求的一项. 1. 若2a，集合3| 3 xxB，则 ( ) AaBCBaDBa 2. 如图，在复平面内，复数 21,z z对应的向量分别是OBOA,，则复数 1 2 z z 的值是 ( ) A i 21 B i 22 C i 21 D i 21 3. 若 ABC 的三边长分别为 3 ，2， 5 ，则 ABC 的形状是 ( ) A. 定是锐角三角形B.定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4. 设 m、n 是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则m的个充分条件是( ) Am/n,n/, Bn/,/ Cm/n，n, /Dmn,n, 5.
3、 若点 P(x,y）坐标满足，则点 P 的轨迹图象大致是( ) 6若实数, x y满足条件 0 10 01 xy xy x ，则|3|xy的最大值为 ( ) A6 B 5 C 4 D3 7. 椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的两焦点分别为 1 F、 2 F，以 1 F 2 F为边作正三角形，若 椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A 1 2 B 3 2 C31D42 3 二填空题（本大题共2 小题 ,每小题 5 分,共 10 分 .把答案填在答卷卡的相应位置上） 8. 已知是奇函数 , , ,则的值是 . 9. 经过双曲线 2 2 1 916 y x 的左顶点、
4、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是. 三解答题 (本大题共4 小题 ,共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 10. （本题满分10 分）已知数列的首项，通项（为 常数） ，且成等差数列，求： （）的值；（）数列的前项的和的 公式 . fx4gxfx12g1f n x 1 3x2 n n xpnq,nNp q 145 ,x xx,p q n xn n S 11. （本题满分12 分）已知函数 22 ( )(sin2cos2 )2sin 2f xxxx. （）求( )fx的最小正周期； （）若函数( )yg x的图象是由( )yfx的图象向右平移 8 个单位长度，再向上平移1 个单位
5、长度得到的，当x0, 4 时，求( )yg x的最大值和最小值. 12. （本题满分12 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AD BC，BC 2AD4， ABCD10 () 证明： BD平面 PAC； () 若二面角APCD 的大小为 60 ，求 AP 的值 13.（本题满分12 分） 如图 ,一抛物线型拱桥的拱顶 o离水面高 4 米 ,水面宽度10AB 米.现 有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过,已知货箱长20米,宽 6 米,高 2.58米 （竹排与水面持平） , 问货箱能否顺利通过该桥? 10 4 O A B 第卷（本卷共计59分） 四选择题：共5 小题，每小题5 分，共 2
6、5 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的一项. 14. 由数字 2，3， 4，5，6 所组成的没有重复数字的四位数中5，6 相邻的奇数共有( ) A 10 个B14 个C16 个D 18 个 15. 记 201620162016 1.80.2,2ab ，则它们的大小关系为( ) AabBabCabD以上均有可能 16. 方程 0496 23 xxx 的实根的个数为( ) A0 B1 C2 D 3 17. 设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(k)满足：当“ f(k) k 2 成立时， 总可推出f(k1)(k 1)2成立 ” 那么下列命题总成立的是( ) A若 f
7、(3) 9 成立，则当k1 ，均有 f(k) k 2成立 B若 f(5) 25 成立，则当k5，均有 f(k) k 2 成立 C若 f(7)49 成立，则当k8，均有 f(k) k 2 成立 D若 f(4)25 成立，则当k4 ，均有 f(k) k 2成立 18. 路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m 的人以 84 m/min 的速率从路灯在地面上的射影 点 C 处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为v 为 ( ) A. 7 / 20 m s B. s/m 22 7 C. s/m 23 7 D. s/m 24 7 五.填空题（本大题共2 小题 ,每小题 5 分,共 10 分.把答案填
8、在答卷卡的相应位置上） 19某纺织厂的一个车间有技术工人名（） ，编号分别为1、2、3、 、; 有台（）织布机，编号分别为1、2、3、 、.定义记号：若第名工人操 作了第号织布机， 规定;否则 , 若第名工人没有操作第号织布机， 规定. 则等式 5 4434241n aaaa的实际意义是：第名工人共操作了台织布机. 20如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕 点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，CPD的面积为( )f x.则( )f x 的定义域为；0)( xf的解是 . 六解答题 (本大题共2 小题 ,共 24 分.解答应写出文字说明、
9、证明过程或演算步骤) 21. （本题满分10 分）计算下列积分： （1） 2 1 |1|dxx； （2） 1 2 0 1x dx. mmNm nnNn i j ai j1 i j aij0 i j a 22. （本题满分14 分）已知函数xaxgbxxxfln)(,)( 23 （I）若)(xf在 1 , 2 1 x上的最大值为 8 3 ，求实数b的值； （II ）若对任意ex, 1，都有 xaxxg)2()( 2 恒成立，求实数a的取值范围； ()在（I）的条件下，设 1, 1, )( xxg xxf xF.对任意给定的正实数a，曲线)(xFy上是 否存在两点QP,，使得POQ是以 O 为直角
10、顶点的直角三角形（O为坐标原点） ，且此三 角形斜边中点在y轴上？请说明理由 高二理科数学参考答案 一选择题：每小题5 分，满分60 分 1-12 DAACB BCBBC DA 二.填空题：每小题5 分，满分20 分 13. 2 14. 22 1 2150 4 xyxy 15.4,5 16.(2,4)； 3 （说明： 15，16 两小题，第一空2 分，第二空3分） 三解答题：10+12+12+12+10+14=70 17.解： （）由得, 3 1 x32qp， （2 分） 又qpx42 4 4 ，qpx52 5 5 得qpqp82523 55 ， （4 分） 解得 p=1,q=1 （6 分）
11、() . )21()222( 2 nS n n . 2 )1( 22 1 nn n （10 分） 18. 解： （） 22 ( )(sin2cos2 )2sin 2f xxxx=sin4 cos42sin(4) 4 xxx （ 4 分） 所以( )f x的最小正周期为 2 （6 分） ()依题意( )2sin(4()1 84 yg xx2 sin(4)1 4 x . （9 分） 因为0 4 x，所以 3 4 444 x. 当4 42 x，即 3 16 x时，( )g x取最大值21； 当4 44 x，即0x时，( )g x取最小值0.（12 分） 19.解：() 设 O 为 AC 与 BD 的
12、交点，作DEBC 于点 E由四边形ABCD 是等腰梯形 得 CE 2 BCAD 1，DE 22 DCCE3，所以 BEDE ， 从而得 DBC BCA45 ，所以 BOC90 ，即 AC BD 由 PA平面 ABCD 得 PABD，所以 BD平面 PAC （6 分） ()作 OHPC 于点 H，连接 DH 由()知 DO平面 PAC， 故 DOPC 所以 PC平面 DOH ， 从而得 PCOH ， PCDH 故 DHO 是二面角APCD 的平面角， 所以 DHO 60 在 Rt DOH 中，由 DO2， 得 OH 6 3 在 RtPAC中， PA PC OH OC 设 PA x， 可得 2 1
13、8 x x 3 6 解得 x 3 22 11 ， 即 AP 3 22 11 （12 分） （用空间向量方法的，比照给分） 20. 解:以 O 为坐标原点 ,以过 O 且与水面平行的直线为x 轴, 以过 O 的铅垂线为y轴建立平 面直角坐标系. （2 分）则抛物线方程为pyx2 2 ,点 )4, 5( 在抛物线上 ,解得 yx 4 252 （7 分）货箱的长边为前进方向,宽边和 x 轴重合 ,从桥洞中心行驶,此时能允许通过的最大高 度为 2.562.58,所以 ,货箱不可以通过.（12 分） (说明 :与此建系方案不一样的比照给分) 21. 解： （1） 5 2 （5 分） （2） 4 （10
14、分） 22. 解： ()由 32 fxxxb，得 2 3232fxxxxx， 令0fx，得0x或 2 3 列表如下： x 1 2 1 ,0 2 0 2 0, 3 2 3 2 ,1 3 fx 0 0 fx 1 () 2 f递减极小值递增极大值递减 由 13 () 28 fb， 24 () 327 fb， 12 ()() 23 ff ，即最大值为 133 () 288 fb ， 0b （4 分） ()由 2 2g xxax ，得 2 ln2xx axx 1,ln1xexx，且等号不能同时取，ln,ln0xxxx即， 2 2 ln xx a xx 恒成立，即 2 min 2 () ln xx a x
15、x 令 2 2 ,1, ln xx t xxe xx ，求导得 2 )ln( )ln22)(1( )( xx xxx xt 当1,xe时，0ln22,1ln,01xxxx，从而0tx， t x在1,e上为增函数， min 11txt，1a （9 分） ()存在 .由条件， 32 ,1 ln,1 xxx F x axx ， 假设曲线yF x上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y轴两侧， 不妨设,0P t F tt，则 32 ,Qt tt，且1t POQ 是以O（ O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， 0OP OQ，0)( 232 tttFt*， 是否存在,P Q 等价于方程*在0t且1t时是否有解 若01t时，方程* 为 23232 0ttttt，化简得 42 10tt， 此方程无解； 若1t时，* 方程为 232 ln0tattt，即 1 1 lntt a ， 设1 ln1h ttt t，则 1 ln1h tt t ， 显然，当1t时，0h t，即h t在1,上为增函数， h t的值域为 1 ,h，即0,，当0a时，方程*总有解 对任意给定的正实数a，曲线yF x上总存在两点,P Q ，使得POQ 是以O（O为坐 标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上（14 分）