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1、1 西安市第一中学2014-2015 学年度第一学期期末考试 高二数学试题（理科） 一选择题(本大题共12 小题，每小题3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1. “若 4，则 tan 1” 的逆否命题是 ( ) A若 4，则 tan 1 B若 4，则 tan 1 C若 tan 1 ，则 4 D若 tan 1 ，则 4 2抛物线y=-2x 2 的焦点坐标为( ) A. ( 2 1 ,0) B. (0, 2 1 ) C. ( 8 1 ,0) D. (0, 8 1 ) 3下列运算正确的是() A(ax 2bxc) a(x 2) b(x) B. (cosx si
2、nx) (sinx) cosx(cosx) cosx C(sinx2x 2) (sinx) (2) (x 2) D(3x 2)(2x3) 2x(2x 3)3x2(3x2) 4下列说法中，正确的是（） A命题 “ 若 22 ambm，则ab” 的逆命题是真命题 B命题 “ xR，0 2 xx ” 的否定是： “ xR，0 2 xx ” C命题 “p 或 q” 为真命题，则命题“ p”和命题 “ q”均为真命题 D已知 Rx ，则 “ 1x ” 是“ 2x ” 的充分不必要条件 5若 ABC 顶点 B, C 的坐标分别为(4, 0), (4, 0) ，AC, AB 边上的中线长之30 则 ABC
3、的 重心 G 的轨迹方程为( ) A 22 1(0) 10036 xy yB 22 1(0) 10084 xy y C 22 1(0) 10036 xy xD 22 1(0) 10084 xy x6 6. 直线 ykxb 与曲线 yax 22ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为 () A3 B1 C 1 D 3 7已知命题p：对任意x1，x2R，(f(x2)f(x1) (x2x1) 0 ，则非 p 是() A存在 x1， x2 R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，且 c1 ，设 p：函数 y c x 在 R 上单调递减；q：函数 f(x)x22cx1 在 1 2， 上为增函数
4、，若 “ p 且 q” 为假， “ p 或 q” 为真，求实数c 的取值范围 19.（10 分）已知函数,ln)(,)(xaxgxxfRa。若曲线)(xfy与曲线)(xgy 相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和切线的方程. 20. (10 分)设过抛物线y 22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)， B(x2， y2)， 求证：(1) y1y2 p2， （2）x1x2 p 2 4 ； 21.(14 分)已知直线1yx与椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0ab相交于 A、B 两点 （1）若椭圆的离心率为 3 3 ，焦距为2，求线段AB 的长； （2） 若向量OA与向
5、量OB互相垂直（其中O为坐标原点） ， 当椭圆的离心率 2 2 , 2 1 e 时，求椭圆长轴长的最大值 西安市第一中学2014-2015 学年度第一学期期末考试试 高二数学（理科）参考答案 4 一、选择题： （本题共 10 小题，每小题5 分，共计50 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C D B B B C A D A C D B 二、填空题： （本题共 5 小题，每小题5 分，共计25 分） 13. (0,1) . 14.e2 xy e2 0. 15 2 51 16. cosx-sinx . 17. 三、解答题： （本题共 4 小题，共计44 分，要求写
6、出必要的文字说明或推理过程） 18（ 10 分） 解函数 ycx在 R 上单调递减，00 且 c1 ，非 p：c1.2 分 又 f(x)x22cx1 在 1 2， 上为增函数， c 1 2. 即 q：00 且 c1 ，非 q：c 1 2且 c1.4分 又 “ p 或 q” 为真， “ p 且 q” 为假， p 真 q 假或 p 假 q 真 5 分 当 p 真， q 假时，c|0 1 2且c1 c|1 21c|0c 1 2 ?.9 分 综上所述，实数c 的取值范围是 c|1 2c1 .10 分 19（10 分） 解：).0()(, 2 1 )( / x x a xg x xf3 分 由已知得 x
7、 a x xax 2 1 ln ，解得： 2 , 2 ex e a. 6 分 所以两条切线交点为 ee , 2 ，切线斜率为 e efk 2 1 )( 2/ . 8 分 所以切线方程为)( 2 1 2 ex e ey 即02 2 eeyx. 10分 20.(10 分) 证明：设),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ， )0 , 2 ( p F . 轴时当xABi) ， 2 21 p xx ， 4 2 21 p xx 3分 5 轴不垂直时与当xABii) ， 设)0(kkkAB ， 设) 2 ( p xky . 由 pxy p xky 2 ) 2 ( 2 得 ： 0 4 )( 2 22
8、 kp xpkpxk ， 由 根 与 系 数 的 关 系 得 ： 4 2 21 p xx 7 分 又 2 2 21 2 1 2,2pxypxy，.4 4 21 22 21 pxxpyy 21 yy， 异号 2 21pyy 9 分 , 所以 . 10分 . 21（14 分） 解.（1） （6 分） 3 3 e，2c=2，即 3 3 a c 3a 则2 22 cab 椭圆的方程为1 23 22 yx ，将 y =- x+1 代入消去y 得：0365 2 xx 设),(),( 2211 yxByxA AB 222 1212 6128 3 1( 1)()42( ) 555 xxx x （2） （8 分
9、）设),(),( 2211 yxByxA,0OBOAOBOA，即0 2121 yyxx 由1 1 2 2 2 2 xy b y a x ，消去 y 得：0)1(2)( 222222 baxaxba 由 0)1)(4)2( 222222 bbaaa，整理得：1 22 ba 又 22 2 21 2 ba a xx， 22 22 21 )1( ba ba xx1)()1)(1( 21212121 xxxxxxyy 6 由0 2121 yyxx，得：01)(2 2121 xxxx 01 2)1 (2 22 2 22 22 ba a ba ba ，整理得：02 2222 baba 222222 eaacab代入上式得： 2 2 1 1 12 e a，) 1 1 1( 2 1 2 2 e a 4 3 1 2 1 , 2 1 4 1 , 2 2 2 1 22 eee 2 3 6 7 , 3 1 1 1 3 7 ,2 1 1 3 42 22 a ee 条件适合1 22 ba，由此得：62 3 42 , 2 6 6 42 aa故长轴长的最大值为 6 (其他解法参照给分)