《三角函数在实际中的应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数在实际中的应用.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学来源于生活，又回归于生活。 专题 3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧： 1如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构 造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）； 2在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。 一仰角、俯角问题 1某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量，眼睛与地面的 距离 （AB） 是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30 ； 小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离 （CD） 是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45 两人相距 5 米且位于旗杆同侧（点B、D、F 在同 一直线上）
2、 （1）求小敏到旗杆的距离DF （结果保留根号） （2）求旗杆 EF 的高度 （结果保留整数，参考数据： 1.4， 1.7） 2如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A 处，由于点 A 上方有一些管道，考古人员 不能垂直向下挖掘，他们被允许从B 处或 C 处挖掘，从 B 处挖掘时，最短路线BA 与地 面所成的锐角是 56 ， 从 C 处挖掘时，最短路线 CA 与地面所成的锐角是30 ， 且 BC=20m， 若考古人员最终从B 处挖掘，求挖掘的最短距离 （参考数据： sin56 =0.83，tan561.48， 1.73，结果保留整数） 数学来源于生活，又回归于生活。 3 (2014 潍坊 )如图
3、，某海域有两个海拔均为200 米的海岛A 和海岛 B，一勘测飞机在距离海平面垂 直高度为 1100 米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是45 ，然后沿平行于 AB 的方向水平飞行1.99 10 4 米到达点 D 处，在 D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是 60 ，求两海 岛间的距离AB. 4.一电线杆 PQ 立在山坡上， 从地面的点 A 看，测得杆顶端点 A 的仰角为 45 ，向前走 6m 到达点 B，又测得杆顶端点P 和杆底端点 Q 的仰角分别为 60 和 30 ， （1）求BPQ 的度数； （2）求该电线杆 PQ的高度（结果精确到1m） 5.如图，为了开发利
4、用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端 A、B 的距离，飞机以距海 平面垂直同一高度飞行，在点C 处测得端点 A 的俯角为 60 ，然后沿着平行于 AB 的方向 水平飞行了 500 米，在点 D 测得端点 B 的俯角为 45 ，已知岛屿两端 A、B 的距离 541.91 米，求飞机飞行的高度（结果精确到1 米，参考数据： 1.73， 1.41） 数学来源于生活，又回归于生活。 6 (2015 丹东 10 分)如图， 线段 AB ，CD 表示甲、 乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD 是 60 米某 人站在 A 处测得 C 点的俯角为37 ，D 点的俯角为48 (人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD
5、.(参考数 据： sin37 3 5，tan37 3 4， sin48 7 10，tan48 11 10) 7.如图，一楼房 AB 后有一假山，其斜坡 CD 坡比为 1：，山坡坡面上点 E 处有一休息 亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离 BC=6 米，与亭子距离 CE=20 米，小丽从楼房顶测 得点 E 的俯角为 45 （1）求点 E 距水平面 BC 的高度； （2）求楼房 AB 的高 （结果精确到 0.1 米，参考数据 1.414， 1.732） 数学来源于生活，又回归于生活。 8如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF3700 米，从飞机上观测 山顶目标 C 的俯
6、角是 45 ，飞机继续以相同的高度飞行300 米到 B 处，此时观测目标C 的俯角是50 ， 求这座山的高度CD.(参考数据： sin50 0.77， cos500.64， tan501.20) 9.（2015?荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南 方向撤退，红方在公路上的 B 处沿南偏西 60 方向前进实施拦截， 红方行驶 1000米到达 C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45 方向前进了相同的距离，刚 好在 D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处到公路的距离（结果不取近似值） 数学来源于生活，又回归于生活。 10（2015?达州）学习 “
7、利用三角函数测高 ” 后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与 中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下： （1）在中心广场测点C 处安置测倾器，测得此时山顶A 的仰角 AFH=30 ； （2）在测点 C 与山脚 B 之间的 D 处安置测倾器（ C、D 与 B 在同一直线上，且C、D 之 间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E 的仰角 EGH=45 ； （3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5 米，并测得 CD 之间的距离为 288米； 已知红军亭高度为12 米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB （取 1.732，结果保留整数） 11 （2015?河南）如图所示，某数
8、学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处 测得大树顶端B 的仰角是30 ，朝大树方向下坡走6 米到达坡底A 处，在 A 处测得大树顶端B 的仰角 是 48 ，若坡角 FAE=30 ，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin480.74，cos480.67， tan481.11， 1.73） 数学来源于生活，又回归于生活。 12 （2014?河南）在中俄 “ 海上联合 2014” 反潜演习中，我军舰A 测得潜艇 C 的俯角为 30 ，位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为 68 ，试根据以上数 据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度（结
9、果保留整数， 参考数据：sin680.9， cos680.4， tan682.5，1.7） 二 坡度、坡角问题 13如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角 BAE45 ，坝高 BE20 米汛期来临，为加大 水坝的防洪强度，将坝底从A 处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF 的坡角 F30 ，求 AF 的长 度 (结果精确到1 米，参考数据：21.414 ，31.732) 1 14(2014 山西 )如图，点A、B、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB， BC 表示连接缆车站 的钢缆，已知A，B， C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA ，BB， CC分别为110 米， 3
10、10 米， 710 米，钢缆AB 的坡度 i112，钢缆 BC 的坡度 i211，景区因改造缆车线路，需要从A 到 C 直线架设一条钢缆， 那么钢缆AC 的长度是多少米？(注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) 数学来源于生活，又回归于生活。 15 （2015?广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图，老师 测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i=1：10（即 EF：CE=1：10） ，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即 CE=35m）处的 C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为 ，已知 tan =，升旗台高AF=1m ，小明身高 CD=1.6m ，请帮
11、小明计算出旗杆AB 的高度 三方向角问题 16如图，小岛在港口 P的北偏西 60 方向，距港口 56海里的 A 处，货船从港口 P 出发， 沿北偏东 45 方向匀速驶离港口 P， 4小时后货船在小岛的正东方向 求货船的航行速度 （精 确到 0.1 海里/时，参考数据： 1.41， 1.73） 17某海域有A、B 两个港口， B 港口在 A 港口北偏西30 的方向上，距A 港口 60 海里有一艘 船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75 方向的 C 处求该船与B 港口之间的距离即CB 的长 (结果保留根号) 数学来源于生活，又回归于生活。 18.如图，要测量A 点
12、到河岸 BC 的距离，在B 点测得 A 点在 B 点的北偏东30 方向上，在C 点测 得 A 点在 C 点的北偏西45 方向上， 又测得 BC150 m求 A 点到河岸BC 的距离 (结果保留整数)(参 考数据：21.41 ，31.73) 19.(2013 年河南省 )我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划， 需对原水 库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到 176.6米，以抬高蓄水位，如 图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 BE，背水坡坡角68BAE， 新坝体的高为 DE ，背水坡坡角60DCE。 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.
13、(结果精确到 0.1 米，参考数据： sin680.93,cos680.37,tan682.50, 31.73） 数学来源于生活，又回归于生活。 答案 1考点 :解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 分析:（1）过点 A 作 AM EF 于点 M，过点 C 作 CNEF 于点 N设 CN=x，分别表示 出 EM、AM 的长度，然后在 RtAEM 中，根据 tanEAM=，代入求解即可； （2）根据（ 1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解 解： （1）过点 A 作 AM EF 于点 M，过点 C 作 CNEF 于点 N， 设 CN=x， 在 RtECN 中， ECN=45 ， EN=CN
14、=x， EM=x+0.71.7=x1， BD=5， AM=BF=5+x ， 在 RtAEM 中， EAM=30 =， x1=（x+5） ， 解得：x=4+3， 即 DF=（4+3） （米） ； （2）由（1）得： EF=x+0.7=4+0.7 4+3 1.7+0.7 9.8 10（米） 答：旗杆的高度约为10米 点评: 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形， 利用三角函数的知识求解 考点:解直角三角形的应用 数学来源于生活，又回归于生活。 2 分析:作 ADBC 交 CB 延长线于点 D， 线段 AD 即为文物在地面下的深度 设 AD=x 通 过解直角 ABD
15、求得 BD=；通过解直角 ACD 求得 CD=x，由此列出关于 x 的方程，通过方程求得AD 的长度最后通过解直角三角形ABD 来求 AB 的长度即可 解：作 ADBC 交 CB 延长线于点 D，线段 AD 即为文物在地面下的深度 根据题意得 CAD=30 ，ABD=56 设 AD=x 在直角ABD中，ABD=56， BD= 在直角ACD 中， ACB=30 ， CD=AD=x， x=+20 解得 x 18.97， AB= 23 答：从 B 处挖掘的最短距离为23 米 点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、 余弦概念及运算， 关键把实际问题转 化为数学问题加以计算 3 【思路分析 】
16、首先，过点A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BF CD 于点 F，易得四边形ABFE 为矩 形， 根据矩形的性质， 可得 ABEF， AEBF.由题意可知， AEBF1100200 900 米， CD1.99 104 米，然后分别在RtAEC 与 RtBFD 中，利用三角函数求得CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距 离 AB. 解： 如解图，过点 A 作 AECD 于点 E， 过点 B 作 BFCD， 交 CD 的延长线于点F.则四边形ABFE 为矩形， ABEF，AEBF. 由题意可知AEBF1100200900(米)，CD19900(米) 在 RtAEC 中， C45 ，AE
17、900(米)， 数学来源于生活，又回归于生活。 CE AE tanC AE tan45 900(米 )， 在 Rt BFD 中， BDF 60 ， BF900(米)， DF BF tanBDF 900 tan60 3003(米 )， ABEFCDDF CE199003003900(19000300 3)米 答：两海岛之间的距离AB 是(19000 3003)米 4.考点:解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 分析:（1）作 PQAB 交 AB 的延长线于 H，根据三角形的外角的性质计算； （2）设 PQ=xm，根据正、余弦的定义表示出QH、BH，根据等腰直角三角形的性质列式 计算即可 解：（1）
18、作 PQAB 交 AB 的延长线于 H， 由题意得， QBH=30 ，PBH=60 ， BQH=60 ，PBQ=30 ， BPQ=BQHPBQ=30 ； （2）设 PQ=xm， BPQ=PBQ，BQ=PQ=xm， QBH=30 ，QH= BQ= x，BH= x， A=45 ，6+x=xx， 解得 x=2+6 9 答：该电线杆 PQ的高度约为 9m 点评:本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、 熟记锐角 三角函数的定义是解题的关键 5.考点:解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 数学来源于生活，又回归于生活。 分析:过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD
19、 于点 F，设高度为 x 米，在 RtAEC 中可得 CE=，在 RtBFD 中有 DF=x，根据 AB=EF=CD+DF CE 列出方程，解方程可求得x 的值 解：过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F， 设高度为 x 米 ABCD， AEF=EFB=ABF=90 ， 四边形 ABFE 为矩形 AB=EF，AE=BF 由题意可知： AE=BF=x 米，CD=500 米 在 RtAEC 中， C=60 ， CE=（米） 在 RtBFD 中， BDF=45 ， DF=x（米） AB=EF=CD+DF CE，即 500+xx=541.91 解得：x=99 答：飞机行飞行
20、的高度是99 米 6 【思路分析 】本题考查三角函数的实际应用题中有角度没直角三角形，先考虑过点C 向 AB 作垂 线 CE 构造直角三角形，利用正切分别求得AB、AE，最后利用线段和差关系求解即可 解：过点 C 作 CEAB 交 AB 于点 E ， 则四边形EBDC 为矩形， BECD，CEBD 60 米 (2 分) 根据题意可得， ADB48 ， ACE 37 . 在 Rt ADB 中， tan48 AB BD ， 则 ABtan48 BD 11 10 60 66(米)；(5 分) 数学来源于生活，又回归于生活。 在 Rt ACE 中， tan37 AE CE， 则 AEtan37 CE
21、3 4 6045(米 )，(8 分) CDBEABAE664521(米)， 乙楼的高度CD 为 21 米 (10 分) 7.考点:解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 分析:（1）过点 E 作 EFBC 于点 F在 RtCEF 中，求出 CF=EF，然后根据勾股定 理解答； （2）过点 E 作 EHAB 于点 H在 RtAHE 中，HAE=45 ，结合（1）中结论得到 CF 的值，再根据 AB=AH+BH ，求出 AB 的值 解： （1）过点 E 作 EFBC 于点 F 在 RtCEF中，CE=20， EF 2+（ EF） 2=202， EF0， EF=10 答：点 E 距水平面 BC 的高度为
22、 10 米 （2）过点 E 作 EHAB 于点 H 则 HE=BF，BH=EF 在 RtAHE 中， HAE=45 ， AH=HE， 由（1）得 CF=EF=10（米） 又BC=6米， HE=6+10米， AB=AH+BH=6+10+10=16+10 33.3（米） 答：楼房 AB 的高约是 33.3 米 8 解：设 ECx， 在 Rt BCE 中， tanEBC EC BE ， 则 BE EC tanEBC EC tan50 5 6x(米)， 在 Rt ACE 中， tanEAC EC AE ， 数学来源于生活，又回归于生活。 则 AE EC tanEAC EC tan45 x(米)， AB
23、BEAE， 300 5 6xx， 解得： x1800(米)， 这 座 山 的 高 度CD DE EC AF CE 3700 1800 1900(米) 答：这座山的高度是1900 米 14 【思路分析 】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直 角三角形中求解如解图，过点A 作 AECC 于点 E，交 BB于点 F，过点 B 作 BD CC于点 D.分别 在 RtAFB 和 Rt BDC 中根据坡度求得AF，BD 的长度，再在Rt AEC 中，根据勾股定理求得AC 的长度 解：如解 图，过点A 作 AECC 于点 E，交 BB于点 F，过点 B 作 BDCC 于
24、点 D. 则 AFB， BDC 和 AEC 都是直角三角形，四边形AABF， BBC D 和 BFED 都是矩形 BFBBFBBBAA 310 110200(米)， CDCC DC CC BB710310400(米) i11 2，i211， AF2BF400(米 )，BDCD400(米) 又 FEBD400(米)，DE BF200(米 ) AEAFFE800(米)， CECDDE600(米) 在 RtAEC 中， ACAE 2CE2 800260021000(米) 答：钢缆AC 的长度为 1000 米 16.考点:解直角三角形的应用 -方向角问题 第 8 题解图 数学来源于生活，又回归于生活。
25、 分析:由已知可得 ABPQ，QAP=60 ，A=30 ，AP=56 海里，要求货船的航行速度， 即是求 PB 的长，可先在直角三角形APQ 中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求 出 PB 即可 解：设货船速度为x 海里/时， 4 小时后货船在点 B 处，作 PQAB 于点 Q 由题意 AP=56 海里， PB=4x 海里， 在直角三角形 APQ 中， APQ=60 ， 所以 PQ=28 在直角三角形 PQB 中， BPQ=45 ， 所以，PQ=PB cos45 =2x 所以，2x=28， 解得：x=7 9.9 答：货船的航行速度约为9.9 海里/时 17.解：设 MB x， DF CB
26、， CDF 45 ， CDF 是等腰直角三角形， DF CF.(1 分) EN、DM、 CB 分别垂直于AB，DF CB， 四边形ENMD、四边形DMBF 为矩形， ENDM BF，EDMN， CF DFBMx， BC4， ENBF4x， (3 分) ANABMNMB，MNDE1，AB 6， AN5x，(5 分) tanEAN EN AN ， EAN31 ， 4x 5x 0.6 ， 解得 x 5 2.(7 分) 数学来源于生活，又回归于生活。 即 DM 与 BC 的水平距离BM 的长为 5 2(米) (8 分) 18 【思路分析 】过点 A 作 ADBC 于点 D，设 ADx m用含 x 的代数式分别表示BD，CD.再根据 BDCDBC，列出方程并求解即可 解：过点A 作 ADBC 于点 D，设 ADx m. 在 Rt ABD 中， ADB90 ， BAD30 ， BDAD tan30 3 3 x.(3 分) 在 Rt ACD 中， ADC90 ， CAD 45 ， CDADx. BDCDBC， 3 3 xx150， x 75(33) 95. 即 A 点到河岸BC 的距离约为95 m(8 分)