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1、中考数学第二讲二次函数综合问题 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数， 可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机 联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以 编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系， 是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出 现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，
2、可以进行纯粹的 代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形 的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些 综合问题 . 1.代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数 的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式cbxaxy 2 )0(c中有三个参数cba,. 解题的关键在于：通过三个 独立条件“确定”这三个参数. 例 1 已知，满足 1且，求的取值范围 . 分析：本题中，所给条件并不足
3、以确定参数ba,的值，但应该注意到：所要求的结论不是2f的确 定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和4)1(2f当成两个独立 条件，先用1f和1f来表示ba,. 解：由baf 1，baf1可解得： )1() 1( 2 1 ),1()1( 2 1 ffbffa（*） 将以上二式代入，并整理得 2 )1( 2 1 22 xx f xx fxf, 1312fff. 又，2)1(1f, 1025f. 例 2 设，若，, 试证明：对于任意 ，有. 分析：同上题，可以用1,1,0fff来表示cba,. 解：cfcbafcbaf0,1,1, 0),1()1( 2 1 ),0211( 2
4、1 fcffbfffa, 2 22 10 2 1 2 1xf xx f xx fxf. 当01x时， . 4 5 4 5 ) 2 1 ( 1 )1( 22 1 22 10 2 1 2 1 2 2 2 22 2 22 2 22 x xx x xxxx x xxxx xf xx f xx fxf 当10x时， 2 22 10 2 1 2 1xf xx f xx fxf 2 22 1 22 x xxxx )1 ( 22 2 22 x xxxx . 4 5 4 5 ) 2 1 ( 1 2 2 x xx 综上，问题获证. 1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式 . 21 xxxxay 例
5、设 二 次 函 数， 方 程的 两 个 根满 足 . 当时，证明. 分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数xxf的 表达式，从而得到函数)(xf的表达式 . 证明：由题意可知)()( 21 xxxxaxxf. a xxx 1 0 21 , 0)( 21 xxxxa, 当时，xxf)(. 又 ) 1)()()( 211211 axaxxxxxxxxxaxxf, , 011, 0 221 axaxaxxx且 1 )(xxf, 综上可知，所给问题获证. 例 4 已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间(1， 0)内，另一根在区间
6、(1，2)内，求 m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 命题意图本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点 技巧与方法设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 解(1)条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间 (1， 0)和(1，2)内，画出示意图， 得 6 5 , 2 1 , 2 1 056)2( , 024) 1( , 02) 1( , 012)0( m m Rm m m
7、f mf f mf 2 1 6 5 m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 10 , 0 ,0) 1( ,0)0( m f f .01 ,2121 , 2 1 , 2 1 m mm m m 或 1.3紧扣二次函数的顶点式 , 4 4 2 2 2 a bac a b xay对称轴、最值、判别式显合力 例 5 已知函数 x z a xf 2 2)(。 （1）将)(xfy的图象向右平移两个单位，得到函数)(xgy，求函数)(xgy的解析式； （2）函数)(xhy与函数)(xgy的图象关于直线1y对称，求函数)(xhy的解析式； 21-1o y x 1o y x （3）设)()
8、( 1 )(xhxf a xF，已知)(xF的最小值是m且72m，求实数a的取值范围。 解： (1); 2 22 2 2 x x a xfxg (2) 设 xhy 的图像上一点 yxP, ，点 yxP, 关于1y的对称点为 yxQ2 , ，由点Q 在 xgy的图像上，所以 y a x x 2 2 2 2 2 ， 于是, 2 22 2 2 x xa y 即; 2 22 2 2 x x a xh （3）2 2 )14( 2 4 11 )()( 1 )( x x a a xhxf a xF. 设 x t2，则2 14 4 4 )( t a t a a xF. 问题转化为：722 14 4 4 t a
9、 t a a 对0t恒成立 . 即 0147 4 4 2 att a a 对0t恒成立 . （* ） 故必有0 4 4 a a . （否则，若0 4 4 a a ，则关于t的二次函数147 4 4 )( 2 att a a tu开口向下， 当t充分大时，必有0tu；而当0 4 4 a a 时，显然不能保证（* ）成立 . ），此时，由于二次函数 147 4 4 )( 2 att a a tu的 对 称 轴0 8 4 7 a a t， 所 以 ， 问 题 等 价 于0 t ， 即 014 4 4 47 0 4 4 a a a a a ， 解之得：2 2 1 a. 此 时 ，014,0 4 4 a
10、 a a ， 故2 14 4 4 )( t a t a a xF在 a aa t 4 ) 14(4 取 得 最 小 值 214 4 4 2a a a m满足条件 . 2. 数形结合 二次函数0)( 2 acbxaxxf的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、 凹凸性等 . 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易. ，形象直观 . 2.1 二次函数的图像关于直线 a b x 2 对称，特别关系 a b xx 21 也反映了二次函数的一种对 称性 . 例6 设 二 次 函 数， 方 程的 两 个 根满 足 . 且函数的图像关于直线对称，证明：. 解：由题意cxbaxxx
11、f)1( 2 . 由方程的两个根满足, 可得 , 1 2 1 0 21 a x a b x且 a b xx a b 2 1 2 1 21 , a b aa b xx a b 2 11 2 1 2 1 21 ， 即 1 x a b ，故. 2.2 二次函数)(xf的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数nm,使得 nm且0)()(nfmf在区间nm,上，必存在0)(xf的唯一的实数根. 例 7 已知二次函数 )0,(1)( 2 aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为 1 x和 2 x. （1）如果42 21 xx，设函数)(xf的对称轴为 0 xx，求证：1
12、 0 x； （2）如果2 1 x，2 12 xx，求b的取值范围 . 分析：条件42 21 xx实际上给出了xxf)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上 述图像特征去等价转化. 解：设1) 1()()( 2 xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为 1 x和 2 x. （1）由0a及42 21 xx，可得 0)4( 0)2( g g ，即 03416 0124 ba ba ，即 ,0 4 3 2 24 ,0 4 3 2 33 aa b aa b 两式相加得1 2a b ，所以，1 0 x; （2）由 aa b xx 4 ) 1 ()( 22 21 , 可得1)1(12 2 ba. 又0
13、 1 21 a xx，所以 21,x x同号 . 2 1 x，2 12 xx等价于 1) 1(12 20 2 21 ba xx 或 1)1(12 02 2 12 ba xx , 即 1)1(12 0)0( 0)2( 2 ba g g 或 1)1(12 0)0( 0)2( 2 ba g g 解之得 4 1 b或 4 7 b. 2.3 因为二次函数0)( 2 acbxaxxf在区间 2 ,( a b 和区间), 2 a b 上分别单调， 所以函数xf在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(xf在闭区间上的最大 值必在区间端点或顶点处取得. 例 8 已知二次函数， 当时，有， 求
14、证：当 时，有. 分析：研究)(xf的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参 数cba,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1 (f，)1(f，)0(f，这样做的好处有两 个：一是cba,的表达较为简洁，二是由于01和正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地 利用条件来达到控制二次函数范围的目的. 要考虑xf在区间 7 , 7 上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑xf在区间端点和 顶点处的函数值. 解：由题意知：cbafcfcbaf) 1(,)0(,)1(， )0(),1()1 ( 2 1 ),0(2)1() 1( 2 1 fcf
15、fbfffa， 2 22 1)0( 2 )1( 2 )1 (xf xx f xx f. 由时，有，可得, 1) 1(f,11f10f. 7)0(3)1(1303113)2(fffffff, 7)0(3) 1(3103131)2(fffffff. （1）若 2,2 2a b ，则xf在2,2上单调，故当2, 2x时， )2(, )2(max()( max ffxf 此时问题获证 . （2）若2,2 2a b ，则当2,2x时， ) 2 , )2(, )2(max()( max a b fffxf 又72 4 11 21 4 ) 1()1 ( 2 0 2242 2 ff a b f b a b c
16、 a b c a b f， 此时问题获证 . 综上可知：当时，有. 巩固练习 1 若不等式 (a2)x2+2(a2)x40),若 f(m)0, 则实数 p 的取值范围是 _ 4 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有 f(2+x)=f(2x),若 f(12x2)0,则 f(0)0,而 f(m)0,m(0,1),m10, f(m 1)0 答案A 3 解析只需 f(1)=2p23p+90 或 f(1)=2p2+p+10 即 3p 2 3 或 2 1 p1 p(3, 2 3 ) 答案( 3， 2 3 ） 4 解析由 f(2+x)=f(2x)知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， |12x22| |1+2xx22|, 2x0 答案 2x0