人教版初中数学竞赛专题复习《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案.pdf

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1、第 26 章离散量的最大值和最小值问题 26.1.1* 某个篮球运动员共参加了10 场比赛， 他在第 6、第 7、第 8、第 9 场比赛中分别得了23、14、 11 和 20 分，他的前9 场比赛的平均分比前5 场比赛的平均分要高，如果他的10 场比赛的平均分超过 18 分，问：他在第10 场比赛中至少得了多少分？ 解析设前 5 场比赛的平均得分为x，则前 9 场比赛的平均得分为 523141120568 99 xx 由题设知 568 9 x x ， 解得17x所以前5 场最多得分是 5 17184 （分） 再设他第 10 场比赛得了y分，那么有 84681810180y， 解得28yy28

2、故他第 10 场比赛得分29 分 另一方面，当他在第6、第 7、第 8、第 9、第 10 场比赛中分别得了23、14、11、20 和 29 分，前 5 场 总得分为 84 分时，满足题意 所以，他在第10 场比赛中至少得了29 分 评注在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构 造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题 26.1.2* 从任意n个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12 的倍数，求n的最小 值 解析任取 13 个不同的整数，它们除以12 所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12

3、 的 倍数 又 l，2， 12 这 12 个数，其中没有两个数的差为12 的倍数 综上所述，至少需任取13 个数才能满足题意 26.1.3* 从 1，2，3， 20 中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的 奇数倍 解析从 1，2， 20 中取 7，8， 20 这 14 个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍 把 1，2， 20 分成如下14 组：1 ，3，9，2 ，6，18 ，4 ，12 ，5 ，15 ，7 ，f8 ，10 ，11 ， 13 ，14 ，16 ，17 ，19 ， 20 ，从中任取15 个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小 数的奇数倍 26.1.4*

4、如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100 个小伙子中，如果某人不 亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子问100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？ 解析取 100 个小伙子是这样的一种特殊情况他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体 重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100 个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100 个 26.1.5* 代数式 rvzrwysuzswytuxtvx中， r 、s、t、u、v、w、x、y、 z 可以分别取1 或者 1 （1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值 解析（1）因为 11111110 mo

5、d2rvzrwysuzswytuxtvx， 所以，此代数式的值为偶数 （2）原式uy srtx uvz rvsu ，要使原式取得最大值，则 s与 r 取 1 与1，u与v取 l 与 1但是，若 r 与v的取值相同（ 1 或1） ，则s与u的取值也相同，有0rvsu若 r 与v的取值不 同则s与u的取值也不同，也有0rvsu 所以，原式的最大值为4这时取1s，1r，1u，1v，1wytx 26.1.6* 一个三位数除以43，商是a余数是 b （a、 b都是整数），求 ab的最大值 解析由带余除法可知： 43ab一个三位数 因为 b 是余数，它必须比除数小，即b 42根据式考虑到等式右边是一个三位

6、数，为此a不超过 23 （因为 24431000） 当23a时， 因为 4323+10999， 此时 b为 10 当2a时， 可取余数42b， 此时 4322+42 998 故当22a，42b时， ab值最大，最大值22+4264 从 1，2， 1001 这 1001 个正整数中取出n个数，使得这n个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值 解析设正整数a被取出，则2a，3a，5a，7a都不能被取出而1a，4a，6a三者 中至多只能有一个被取出 所以连续 8 个整数a，1a，2a，a3，a4，5a，6a，7a中至多有两个数被取出，而 10018125+1，所以n2125+1251 又 1，

7、5，9， 1001 这 251 个数满足题设条件所以n的最大值为251 26.1.8* 从 1， 2， 205 共 205 个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任 意三个数a、 b 、c（ abc ） ，都有 abc 解析首先， 1，14，15， 205 这 193 个数，满足题设条件 事实上， 设a、 b 、c（ abc ）这三个数取自1，14，15，205，若1a，则 abbc ；若1a， 则14152100ab 另一方面，考虑如下12 个数组： （2，25，225） ， （3， 24，3 24） ， （13， 14，1314） ， 上述这 36 个数互不相等，且其中最小

8、的数为2，最大的数为13 141821，则 1212 11xxxx， 且 22 2222 121221121122xxxxxxxx 所以，当 1 x1 时，可以把 1 x 逐步调整到1，这时， 222 1240 xxx将增大； 同样地， 可以把 2 x ， 3 x ， 39 x逐步调整到1，这时 222 1240 xxx将增大于是，当 1 x ， 2 x ， 39 x均为1， 40 19x时， 222 1240 xxx取得最大值，即 2222 39 11119400A 个 若存在两个数 i x 、 j x ，使得2 140 ji xxij，则 2 2 2222 1121 ijijjiij xx

9、xxxxxx， 这说明在 1 x ， 2 x ， 39 x， 40 x中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l，较大的数减1，这 时， 222 1240 xxx将减小 所以，当 222 1240 xxx取到最小时， 1 x ， 2 x ，40x。中任意两个数的差都不大于 1不难算出， 当 1222 1xxx， 232440 2xxx时， 222 1240 xxx取得最小值，即 222222 2218 11122294B 个个 故494AB 26.1.11* 从 1，2， 9 中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部）， 它们的和能被10 整除，求”的最小值 解析当4n

10、时，数 1，3，5，8 中没有若干个数的和能被10 整除 当5n时，设 1 a ， 2 a ，5a 是 1，2， 9 中的 5 个不同的数若其中任意若干个数，它们的和都 不能被 10 整除， 则 1 a ， 2a ，5a 中不可能同时出现 1 和 9；2 和 8；3 和 7；4 和 6于是 1 a ， 2a ， 5 a 中必定有一个数是5 若 1 a ， 2 a ， 5 a 中含 1，则不含9于是不含4（ 4+l+510） ，故含 6；于是不含 3（3+6+1 10） ， 故含 7；于是不含2（2+1+7 10） ，故含 8但是 5+7+820 是 10 的倍数，矛盾 若 1 a ， 2 a

11、， 5 a 中含 9，则不含1于是不含6（6+9+5 20） ，故含 4；于是不含 7（7+4+9 20） ， 故含 3；于是不含8（8+9+3 20） ，故含 2但是 5+3+210 是 10 的倍数，矛盾 综上所述，n的最小值为5 26.1.12* 把 1，2， 30 这 30 个数分成 k 个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一 个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求k 的最小值 解析首先，考虑数6，19，30，因为 6+19 2 5 ，6+30 2 6 ，19+30 2 7 ，所以，这3 个数必须属于 3 个不同的小组，于是k 3 另一方面，可以把1，2， 30 这

12、 30 个数分成如下3 个小组，使得它们满足题设条件： 1 A3 ，7，11，15， 19，23，27，4，8，16，24） ， 2 A1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18， 26， 3 A2 ，10， 12，20，22，28，30， 由于完全平方数除以4 的余数只能是0 或者 1，容易验证 1 A 、 2 A 、3A 满足题设条件 26.1.13* 从1，2，3， 2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？ 解析首先，对于任意自然数女，k ， k ，1k，2k，7k中至多取2 个，使得它们的差不 为质数 事实上， 只需考虑集合1，2，3，4，5，6

13、，7，8 把它分成3 组：5A，B1 ，3，6，8） ，C2， 4，7） 集合B或 C 中任意两数之差均为质数，故B、 C 中最多只能取一个若5 取出，则B中 1 或 6 可取出对于1，5， C 中不能取出数了；对于5，6， C 中也不能再取出数了若5 不取出，则B、 C 中最多各取一个，至多为2 个 综上所述， k ，1k，2k，7k中至多取2 个，它们的差不为质数从而 1，2，3，2000 中至多可取500 个 又对于 4，42， 4500 这 500 个数，其中任意两个数的差为4 的倍数，不是质数 因此，最多可取500 个数满足要求 26.1.14* 有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过

14、任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其 中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿 一条不过顶点的直线将其剪成两部分如此下去，若最后得到了34 个 62 边形和一些多边形的纸片， 则至少要剪多少刀？ 解析根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次， 使得各部分的内角和增加360 ， 于是，经过忌次分割后，可得（k1）个多边形，这些多边形的内角和为（1360k 因为这（1k）个多边形中有34 个 62 边形它们的内角和为 346221803460180 ， 其 余 多 边 形 有13433kk（ 个 ） ， 而 这 些 多 边 形 的

15、 内 角 和 不 少 于33180k 所 以 1360346018 0331 80kk，解得 k 2005 当我们按如下的方式剪2005 刀时，可以得到符合条件的结论先从正方形上剪下一个三角形，得到一 个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到 2 个三角形和一个六边形如此下去， 剪了 58 刀后，得到58 个三角形和一个62 边形再取出33 个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又 可得到 33 个三角形和33 个四边形，对这33 个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58 刀，便得到 33 个 62 边形和 3358 个三角形于是共剪了58+33+33582005（刀） 评注我们也是

16、先估计k （剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给 了一个具体的剪法注意，这个具体的剪法是必不可少的另外，本题中估计女的下界，用的是“算 两次”方法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面另一方面结合两个方面，可以得 到一个等式， 或者不等式， 进而得到我们需要的结果 “算两次” 是解最大值和最小值问题的有力工具 26.1.15* 某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6 道已知每道试 题恰有500 名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：该 市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？ 解析首先，易

17、知每位学生至多答对了4 道题 事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对6 题若有一位学生答对5 题，由题意知，所 有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有500 个学生答对的题设矛盾 若有一位学生答对了4 题，不妨设答对了第l、2、3、4 题，则没有一位学生同时答对第5 题和第 6 题， 否则将与题意矛盾因为答对第5 题与第6 题的学生各有1500 人，这样，学生人数至少为 500+500+11000 人 若每位学生至多答对了3 题，由于全部学生答对题数的总和为50063000 题， 所以学生人数至少有： 300031000 人 下面的例子说明1000 人是可能的 答对下列问题

18、的人数各有100 人： （1，2，3） ， （ 1，3，4） ， （1，4，5） ， （1，5，6） （ 1，2，6） ， （2， 4，6） ， （2，3， 5） ， （2，4，5） ， （34，6） ， （3，5， 6） 综上所述，至少有1000 人参加了这次数学邀请赛 26.1.16* 一座大楼有4 部电梯 每部电梯可停靠三层（不一定是连续三层，也不一定停最底层） 对 大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？ 解析设大楼有n层，则楼层对有 1 2 n n ， 每部电梯停3 层，有 32 3 2 个层次，所以 1 43 2 n n 所以5n当5n时，四部电梯停靠

19、楼层分别为（1，4，5） ， （24，5） ， （ 3，4，5） ， （1， 2，3） 综上所述，大楼至多有5 层 26.1.17* 10 个学生参加n个课外小组 每一个小组至多5 个人；每两个学生至少参加某一个小组； 任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中证明：n的最小值为6 解析设 10 个学生为 1 S ， 2 S ， 10 S ，n个课外小组为 1 G ， 2 G ， n G 首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 1 S ， 由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其他9 个学生都与他在同一组出现，于是这一

20、组就 有 10 个人了，矛盾 若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 1 S 恰好参加 1 G 、 2 G ，由题设，对于这两组，至少有两个学 生，他们没有参加这两组，于是他们与 1 S 没有同过组，矛盾 所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是n个课外小组 1 G ， 2 G ， n G 的人数之和不小于3 1030 另一方面。每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组 1 G ， 2 G ， n G 的人数不超过5n ，故 530n， 所以n6 下面构造一个例子说明6n是可以的 112345 ,GSSSSS， 212678 ,GSSSSS， 3136910 ,GSSSSS， 424791

21、0 ,GSSSSS， 535789 ,GSSSSS， 6456810 ,GSSSSS 容易验证，这样的6 个课外小组满足题设条件 所以，n的最小值为6 26.1.18* 2006 个都不等于119 的正整数 1 a ， 2 a ，2006a排列成一行数，其中任意连续若干项之 和都不等于119，求 122006 aaa的最小值 解析首先汪明命题：对于任意119 个正整数 1 b ， 2 b ， 119 b其中一定存在若干个（至少一个，也可 以是全部）的和是119 的倍数 事实上，考虑如下119 个正整数 1 b ， 12 bb ， 12119 bbb， 若中有一个是119 的倍数，则结论成立 若

22、中没有一个是119 的倍数，则它们除以119 所得的余数只能为1，2， 118 这 118 种情况所 以，其中一定有两个除以119 的余数相同，不妨设为 1i b b 和 1 1119 j bbij，于是 1 119| ij bb ， 从而此命题得证 对于 1 a ， 2 a ， 2006 a中的任意119 个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119 的倍数， 又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2119，又因为200616119+102，所以 122006 162381023910aaa 取 1192381504120aaa ，其余的数都为1 时，式等号成立 所以， 12

23、2006 aaa的最小值为3910 26.1.19* 设n是大于 2 的整数，将2，3，n这1n个数任意分成两组，总可以在其中一组中 找到数a， b ，c（可以相同） ，使得 b ac 求n的最小值 解析当 16 21n 时，把 2， 3。，n分成如下两组： 2 ，3， 8 2 ， 8 2 +1， 16 2一 1 和4 ， 5， 8 2 1 在数组 2，3。 8 2 ， 8 2 +1， 16 21 中，由于 3 3 199， 所以，除了某排能安排8 所学校的 7 25+15190 名学生外，其余每排只能安排7 所学校的学生，11 个横排总共只安排了8+10 778 个学校的学生， 矛盾 评注首

24、先，猜出答案是12（利用本题的解法不难想到）然后，证明12 排是可以的，再构造实例说 明 11 排不行 这种“先猜后证” 的方法对于解离散量最值问题非常有效另外注意，本题中的“构造” 不是唯一的，渎者可以自己再构造一个例子 26.1.28* 平面上有7 个点，它们之间可以连一些线段，使 7 个点中的任意三点必存在两点有线段相 连问至少要连多少条线段？证明你的结论 解析首先，证明需连的线段条数大于或等于9 下面分 4 种情形讨论 （1）若 7 个点中，存在1 个点不与其他点连线，由题设，剩下的6 个点必每两点都有连线，此时，至 少要连半一15 条线段 （2） 若 7 个点中，有 1 个点只连出1

25、 条线段，则其余 5 个点必每两点都有连线，此时， 至少有 54 111 2 条线段 （3）若每一个点至少连出2 条线段，且有1 个点恰好连出2 条线段，不妨设这点为A，连出的 2 条线 段为AB、 AC ，则不与点A相连的 4 个点每两点都必须连线，要连 43 6 2 条线段而点B连出的线 段至少 2 条，故除BA外，至少还有1 条，所以，此时至少要连6+2+19 条线段 A B C （4）若每一个点至少连出3 条线段，则至少要连73210 条线段 综上可知，图中的线段数大于或等于9 如图给出了构造的一个例子，即说明9 条线段是可以的综上所述，最少要连9 条线段 D G E F 26.1.29* 8 8的国际象棋棋盘中最多能放几个不重叠的“十字架”形？ 解析如图所示，在棋盘中标好数字，易知十字架形的中央格，只能从标上数的小方格中选择显然， 在标 1 的 33 棋盘中，最多只能容纳2 个中央格，其余类推，故十字架形至多8 个不难构造例子 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4