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1、- 1 - 初中竞赛第五讲一元二次方程的整数整数解 在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它 将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活， 综合性强， 备 受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手， 运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数 (设 = 2 k)，通过穷举， 逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解 注：一元
2、二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知 识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关 【例题求解】 【例 1】若关于x的方程054)15117()9)(6( 2 xkxkk的解都是整数，则符合条件的整 数是的值有个 思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方 程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根 据问题的题设条件，看是否要分类讨论 【例 2】已知a、b为质数且是方程013 2 cxx的根，那么 b a a b 的值是 ( )
3、 A 22 127 B 22 125 C 22 123 D 22 121 思路点拨由韦达定理a、b的关系式，结合整数性质求出a、b、c的值 【例 3】 试确定一切有理数r ，使得关于x的方程01) 2( 2 rxrrx有根且只有整数根 思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论当0r时，由根与系数关系得 到关于 r 的两个等式，消去r，利用因式 (数)分解先求出方程两整数根 - 2 - 【例 4】当m为整数时，关于x的方程01)12() 12( 2 xmxm是否有有理根?如果有， 求出m的值；如果没有，请说明理由 思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数 设 = 2222 4) 12(
4、544) 12(4)12(nmmmmm(n为整数 )解不定方程，讨论m的 存在性 注：一元二次方程0 2 cbxax(a 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而 =acb4 2 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件 【例 5】 若关于x的方程0)13()3(2 2 axaax至少有一个整数根，求非负整数a的值 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因 a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程 - 3 - 学历训练 1已知关于x的方程012)1( 2 axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a有 2已知方程01999 2 mxx有两个质数
5、解，则m 3给出四个命题：整系数方程 0 2 cbxax (a0)中，若为一个完全平方数，则方程 必有有理根； 整系数方程0 2 cbxax(a0)中，若方程有有理数根，则为完全平方 数；无理数系数方程0 2 cbxax(a0)的根只能是无理数；若 a、b、c均为奇数， 则方程0 2 cbxax没有有理数根，其中真命题是 4已知关于x的一元二次方程0) 12( 22 axax(a为整数 )的两个实数根是 1 x、 2 x， 则 21 xx= 5设 rn 为整数，且40， 1 x 2 x0 (1)求证： 1 x0, 2 x0， 1 x0, 2 x 0； (2)求证：11bcb；(3)求b、 c所有可能的值 13如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程012 2 mxmx的根 ( m为整数 )， 这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在， 请说明理由 - 6 - 参考答案 - 7 -