勾股定理16种经典证明方法.pdf

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1、数学来源于生活，又回归于生活。 - 1 - 1 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 【证法 1】 （课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222 cba . 【证法 2】 （邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab 2 1 .把这四个直角三 角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线

2、上，C、G、D三点在一条直线上. Rt HAE Rt EBF, AHE = BEF . AEH + AHE = 90 o, AEH + BEF = 90 o. HEF = 180 o 90o= 90 o. 四边形 EFGH是一个边长为c 的 正方形 . 它的面积等于c 2. Rt GDH Rt HAE, HGD = EHA . HGD + GHD = 90o, EHA + GHD = 90o. 又GHE = 90o, DHA = 90o+ 90 o= 180 o. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 2 ba . 22 2 1 4cabba . 222 cba . 【证法 3

3、】 （赵爽证明） 以 a、b 为直角边（ ba） ， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. Rt DAH Rt ABE, HDA = EAB . HAD + HAD = 90o， EAB + HAD = 90o， ABCD是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. EF = FG =GH =HE = b a , DG C F A H E B a b c a b c a b c a b c b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a c

4、G D A C B F EH 数学来源于生活，又回归于生活。 - 2 - 2 a ba b c c AB C D E P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c HEF = 90 o. EFGH是一个边长为ba 的正方形，它的面积等于 2 ab . 22 2 1 4cabab . 222 cba . 【证法 4】 （1876 年美国总统Garfield证明） 以 a、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这两个直角三 角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. Rt EAD Rt CBE,

5、 ADE = BEC . AED + ADE = 90 o, AED + BEC = 90 o. DEC = 180o 90o= 90 o. DEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 2 1 c . 又DAE = 90o, EBC = 90 o, ADBC . ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 2 2 1 ba . 22 2 1 2 1 2 2 1 cabba . 222 cba . 【证法 5】 （梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形， 使 D、E、F 在一条直线上 . 过 C作 AC的延长线交DF于

6、点 P. D、E、F 在一条直线上, 且 Rt GEF Rt EBD, EGF = BED ， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90 ， BEG =180o 90o= 90 o. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c 的正方形 . ABC + CBE = 90 o. Rt ABC Rt EBD, ABC = EBD . EBD + CBE = 90 o. 即CBD= 90o. 又BDE = 90o， BCP = 90 o， BC = BD = a . BDPC是一个边长为a 的正方形 . 同理， HPFG 是一个边长为b 的正方形 .

7、 设多边形GHCBE 的面积为S，则 , 2 1 2 22 abSba 数学来源于生活，又回归于生活。 - 3 - 3 c c c ba c b a A B C E F P Q M N abSc 2 1 2 2 , 222 cba . 【证法 6】 （项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方 形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点 Q作 QP BC ，交 AC于点 P . 过点 B作 BM PQ ，垂足为M ；再过点 F作 FN PQ ，垂足为N. BCA = 90 o，QP BC

8、 ， MPC = 90o， BMPQ ， BMP = 90o， BCPM是一个矩形，即MBC = 90o. QBM + MBA = QBA = 90o， ABC + MBA = MBC = 90o， QBM = ABC ， 又BMP = 90o， BCA = 90 o，BQ = BA = c ， Rt BMQ Rt BCA . 同理可证RtQNF Rt AEF . 从而将问题转化为【证法4】 （梅文鼎证明）. 【证法 7】 （欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD . 过 C作 CLDE ， 交 AB于点 M

9、 ，交 DE于点 L. AF = AC ，AB = AD， FAB = GAD ， FAB GAD ， FAB的面积等于 2 2 1 a ， GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = 2 a . 同理可证，矩形MLEB的面积 = 2 b . 正方形 ADEB的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB的面积 222 bac ，即 222 cba . 【证法 8】 （利用相似三角形性质证明） 如图，在RtABC中，设直角边AC 、 BC的长度分别为a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C作 CD AB ，垂足是D. 在ADC和ACB中， ADC = AC

10、B = 90o， CAD = BAC ， ADC ACB . AD AC = AC AB ， 即 ABADAC 2 . 同理可证， CDB ACB ，从而有 ABBDBC 2 . ABD C a c b c b a c b a AB C D E F G H M L K 数学来源于生活，又回归于生活。 - 4 - 4 222 ABABDBADBCAC ，即 222 cba . 【证法 9】 （杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC ，AF交 GT于 F，AF

11、交 DT于 R . 过 B作 BP AF，垂足为P . 过 D作 DE 与 CB的延长线垂直，垂足为E，DE交 AF于 H. BAD = 90o， PAC = 90 o， DAH = BAC . 又DHA = 90o， BCA = 90 o， AD = AB = c ， Rt DHA Rt BCA . DH = BC = a，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt APB Rt BCA . 即 PB = CA = b ，AP= a，从而 PH = b a. Rt DGT Rt BCA , RtDHA Rt BCA . Rt DGT Rt DHA . DH

12、= DG = a ， GDT = HDA . 又DGT = 90o， DHF = 90 o， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90o， DGFH是一个边长为a 的正方形 . GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = b a . TFPB 是一个直角梯形，上底TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）. 用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 = abb 2 1 2 ， 985 SSS ， 8 2 43 2 1 SabbSS = 81 2 SSb .

13、 把代入，得 9881 2 21 2 SSSSbSSc = 92 2 SSb = 22 ab . 222 cba . 【证法 10】 （李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba） ，斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼 成如图所示形状，使A、E、 G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90 o， TBH = ABE . 又BTH = BEA = 90 o， BT = BE = b ， Rt HBT Rt ABE . HT = AE = a. GH = GT HT = b a. 又GHF + BHT = 90 o，

14、DBC + BHT = TBH + BHT = 90 o， GHF = DBC . 9 8 7 6 54 3 21 P Q R T H G F E D C B A a b c a b cc c M H Q R T G FE D C B A c b a 8 7 6 5 4 3 2 1 数学来源于生活，又回归于生活。 - 5 - 5 DB = EB ED = b a， HGF = BDC = 90o， Rt HGF Rt BDC . 即 27 SS . 过 Q作 QM AG ，垂足是M . 由 BAQ = BEA = 90 o，可知ABE = QAM ，而 AB = AQ = c ，所以 RtAB

15、E Rt QAM . 又 RtHBT RtABE . 所以 Rt HBT Rt QAM .即 58 SS . 由 Rt ABE Rt QAM ，又得 QM = AE = a ， AQM = BAE . AQM + FQM = 90o， BAE + CAR = 90o， AQM = BAE ， FQM = CAR . 又QMF = ARC = 90o， QM = AR = a ， Rt QMF Rt ARC . 即 64 SS . 54321 2 SSSSSc ， 61 2 SSa ， 873 2 SSSb ， 又 27 SS ， 58 SS ， 64 SS ， 87361 22 SSSSSba

16、 = 52341 SSSSS = 2 c ， 即 222 cba . 【证法 11】 （利用切割线定理证明） 在 Rt ABC中，设直角边BC = a，AC = b ，斜边 AB = c . 如图，以B为圆心 a 为半径作圆，交AB及 AB的延长线 分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. 因为 BCA = 90o，点 C在 B上，所以AC是 B 的切线 . 由切割线定理，得 ADAEAC 2 = BDABBEAB = acac = 22 ac ， 即 222 acb ， 222 cba . 【证法 12】 （利用多列米定理证明） 在 Rt ABC中，设直角边BC = a ，AC

17、 = b ，斜边 AB = c （如图） .过点 A作 AD CB ，过点 B作 BD CA ，则 ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 BDACBCADDCAB ， AB = DC = c，AD = BC = a ， AC = BD = b ， 222 ACBCAB ，即 222 bac ， 222 cba . 【证法 13】 （作直角三角形的内切圆证明） 在 Rt ABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边 AB = c . 作 RtABC的内切圆 O，切点分别为D、 E、F（如图）， 设 O的半径为r .

18、 AE = AF ，BF = BD，CD = CE， BFAFCDBDCEAEABBCAC a b a a BA C E D c b a c a b c A C BD c b r r r O F E A 数学来源于生活，又回归于生活。 - 6 - 6 = CDCE = r + r = 2r, 即 rcba2 ， crba2 . 22 2crba ， 即 2222 42crcrabba ， abS ABC 2 1 ， ABC Sab42 ， 又 AOCBOCAOBABC SSSS = brarcr 2 1 2 1 2 1 = rcba 2 1 = rccr2 2 1 = rcr 2 ， ABC

19、Srcr44 2 ， abrcr24 2 ， 222 22cababba ， 222 cba . 【证法 14】 （利用反证法证明） 如图，在RtABC中，设直角边AC 、 BC的长度分别为a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C作 CD AB ，垂足是D. 假设 222 cba ，即假设 222 ABBCAC ，则由 ABABAB 2 = BDADAB =BDABADAB 可知 ADABAC 2 ，或者 BDABBC 2 . 即 AD： AC AC ：AB ，或者 BD： BC BC ：AB . 在ADC和ACB中， A = A ， 若 AD：AC AC ：AB ，则 ADC ACB . 在C

20、DB和ACB中， B = B， 若 BD ：BC BC ：AB ，则 CDB ACB . 又ACB = 90o， ADC 90o， CDB 90o. 这与作法CD AB矛盾 . 所以， 222 ABBCAC 的假设不能成立. 222 cba . 【证法 15】 （辛卜松证明） AB D C a c b ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 2 c 2 b 2 a A A D D BB CC b a ba b a b a b a c c c c b a ab ab b ab a 数学来源于生活，又回归于生活。 - 7 - 7 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.

21、 作边长是 a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上 方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 abbaba2 222 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的 几个部分，则正方形ABCD 的面积为 22 2 1 4cabba = 2 2cab . 222 22cababba , 222 cba . 【证法 16】 （陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba） ，斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b 的正方形（ ba） ，把它们 拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在 EH = b 上截取 ED = a ，连结

22、DA 、DC ， 则 AD = c . EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = ab a = b . 又CMD = 90o， CM = a， AED = 90o， AE = b ， Rt AED Rt DMC . EAD = MDC ，DC = AD = c . ADE + ADC+ MDC =180 o， ADE + MDC = ADE + EAD = 90 o， ADC = 90o. 作 AB DC ， CB DA ，则 ABCD 是一个边长为c 的正方形 . BAF + FAD = DAE + FAD = 90 o， BAF= DAE . 连

23、结 FB，在 ABF和ADE中， AB =AD = c ，AE = AF = b ， BAF= DAE ， ABF ADE . AFB = AED = 90 o， BF = DE = a . 点 B、F、G、H在一条直线上 . 在 Rt ABF和 RtBCG 中， AB = BC = c，BF = CG = a ， Rt ABF Rt BCG . 5432 2 SSSSc ， 621 2 SSSb ， 73 2 SSa ， 76451 SSSSS ， 62173 22 SSSSSba = 76132 SSSSS = 5432 SSSS = 2 c 222 cba . A B C D E F G H M a b c a b c a c a b c 1 2 3 4 5 6 7