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1、数学来源于生活，又回归于生活。 1 反比例函数讲座 1.反比例函数中K 的几何意义： 如图所示，过双曲线 )0( k k x y 上任一点 ),(yxP 作 x 轴、 y 轴的垂 线 PM、PN,垂足为 M、N，所得矩形PMON 的面积 S=PMPN=|y|x|. ,y x k | kSkxy，。 这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，所得到的矩形的 面积为常数 |k|。这是系数k 几何意义 ,明确了 k 的几何意义， 会给解题带 来许多方便。 例 1：如图所示，直线l 与双曲线)0( k yk x 交 A、B 两点， P是 AB 上 的 点 ， 试 比 较 AOC的 面 积S
2、1， BOD的 面 积S2 ， POE的 面 积S3的 大 小：。 例 2：如图， P、C 是函数 x 4 y（x0）图像上的任意两点，过点P作 x 轴的垂线PA,垂足为 A， 过点 C 作 x 轴的垂线CD,垂足为 D， 连接 OC 交 PA 于点 E， 设 POA 的面积为S1,则 S1= , 梯形 CEAD 的面积为S2，则 S1与 S2的大小关系是S1 S2, POE 的面积 S3和梯形 CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3. 例题 1 图例题 2 图例题 3图 例 3：如图所示， 点 A(x 1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线)0x( k x y上,且 x2-x1=4,y
3、1-y2=2;分别过点A、 B 向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为C、D、E、F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形FOCG 的面积 为 2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为。 题型精选 1.如图， A、B 为双曲线 x 12- y上的点， AD x 轴于 D,BCy 轴于点 C，则四边形ABCD的面积 为。 2.如图已知双曲线)0(k x k y经过直角三角形OAB 斜边 OA 的中点 D， 且与直角边AB 相交于 点 C，若点 A 的坐标为（ -6，4）,则 AOC 的面积为。 3. 如图，已知点A、B在双曲线)0x( k x y上， AC x 轴于点 C，BD
4、y 轴与点 D，AC与 BD交 数学来源于生活，又回归于生活。 2 于点 P ， P是 AC的中点，若ABP 的面积为3，则 k= 。 第 1 题第 2 题第 3 题 4. 如 图 ， 在x轴 的 正 半 轴 上 依 次 截 取 112233445 OAA AA AA AA A， 过 点 1234 AAAAA、分 别 作x轴 的 垂 线 与 反 比 例 函 数 2 0yx x 的 图 象 相 交 于 点 12345 PPPPP、 、 、，得直角三角形 1112233344455 OPAA P AA P AA P AA P A2、， 并设其面积分别 为 12345 SSSSS、，则 5 S的值为
5、 y x O P1 P2 P3 P 4 P5 A1 A2 A3 A4 A5 2 y x 5. 如图，已知双曲线)0x( k x y经过矩形OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E， （1）若四边 形 OEBF 的面积为4，则 k= ； （ 2）若梯形 OEBA 的面积为9，则 k= 。 6.如图，已知双曲线)0( k yk x 经过直角三角形OAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边AB 相交与 点 C。若 OBC 的面积为3，则 k= 。 练习： 1. 反 比 例 函 数 x k y 1 与 一 次 函 数)1(xky只 可 能 是（） （ A）（ B）（C）（D） 第 4 题 第
6、5 题 第 5 题第 6 题 数学来源于生活，又回归于生活。 3 y x O A D M C B 2. 正比例函数kxy和0aaxy的图象与反比例函数0k x k y的图象分别相交于A 点和C点.若AOBRt和CODRt的面积分别为 1 S和 2 S,则 1 S与 2 S的关系是（） 2 y x x y O P1 P2 P3 P4 1 2 3 4 第 2 题图第 3 题图 3. 在反比例函数 2 y x （0x）的图象上， 有点 1234 PPPP， ，它们的横坐标依次为1，2，3， 4分别过这些点作x轴与y轴的 垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 123 SSS，则 123 SS
7、S 4、如图 ,已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B 在函数0,0 xk x k y的图象上， 点nmP,为其双曲线上的任一点，过点P分别作x轴、y 轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形 OABC不重合部分的面积为S (1) 求B点坐标和k的值； (2) 当 2 9 S时，求P点坐标； (3) 写出S关于m的函数关系式 5、已知：如图，正比例函数yax的图象与反比例函数 k y x 的图象交于点3 2A， （ 1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （ 2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值 大于正比例函数
8、的值？ （ 3）M mn，是反比例函数图象上的一动点，其中03m，过点M 作直线MNx轴，交y轴于点B；过点A作直线ACy轴交x轴于点 C， 交直线MB于点D 当四边形OADM的面积为6 时，请判断线段BM 与DM的大小关系，并说明理由 数学来源于生活，又回归于生活。 4 y x C B A D O 2、反比例函数与一次函数的综合题 例 1、如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数 1 k y x 的图象上一点， ABx 轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数 2 yaxb的图象经过 A、C两点，并将y轴于点 02D， 若 4 AODS （ 1）求反比例函数和一次函数的解析式； （ 2）
9、观察图象，请指出在y轴的右侧，当 1 2 yy时，x的取值范围 例 2、如图，已知 ( 4)An，(24)B， 是一次函数ykxb的图象和反比例函数 m y x 的图象的两个交点 (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积； (3) 求方程 0 x m bkx的解（请直接写出答案）； (4) 求不等式0 x m bkx的解集（请直接写出答案）. 数学来源于生活，又回归于生活。 5 x y O B A C D 练习： 1、一次函数y=kx+b 图象与反比例函数y= m x 的图象交于点A（2，1）， B（ 1，n）两点。 （ 1）求反比例函数的
10、解析式（2）求一次例函数的解析式（3）求 AOB 的面积 2、如图，直线bkxy与反比例函数 x k y （x 0）的图象 相交于点A、点 B，与 x 轴交于点C，其中点 A 的坐标为 （ 2，4） ， 点 B 的横坐标为4. （ 1）试确定反比例函数的关系式； （ 2）求 AOC 的面积 . 如图所示 ,已知 ABC 为等边三角形 ,D为 BC 上一点 ,以 AD 为边作 ADE=60 ,DE 与ABC 的外角平分线 CE 交于点 E，连接 AE。 （1）试判断 ADE 的形状，并证明你的结论。 （2）若将 D 改为直线 BC 上任意一点，其余的条件不变，前面的结论是否发生 变化？请证明你的结论，自己画出变化后的图形。