河南省2020年中考数学模拟试卷(含答案).pdf

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1、2020 年河南省普通高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的） 1 8 的相反数是（） A 8BC8D 2“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮 食大约是210000000 人一年的口粮将210000000 用科学记数法表示为（） A2.1109B0.21109C2.1108D21107 3如图所示的几何体的主视图是（） A B C D 4在下列的计算中，正确的是（） Am3+m 2m5 Bm5 m 2m3 C（ 2m） 36m3 D（ m+1） 2

2、m2+1 5在学校举行 “阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85， 90，80，95，则这组数据的众数是（） A95B90C85D80 6九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚， 称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等两袋 互相交换1 枚后， 甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽略不计）问黄金、 白银每枚各重多少两？ 设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（） A B C D 7若关于 x

3、 的方程 x 2+xa+ 0 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值是（） A1B0C1D2 8如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，ABOC，DC 与 OB 交于点 E，则 DEO 的度数为（） A85B70C75D60 9如图在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上， 边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为 （1，3）， 将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在 D 点的位置， 且 AD 交 y 轴于点 E 那么点 D 的坐标为 （） ABCD 10如图，在 ABC 中， ABC60， C45，点 D，E 分别为边AB，AC 上的点，且DE BC，

4、BDDE 2，CE，BC动点 P 从点 B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿BD EC 匀速运动，运动到点C 时停止过点P 作 PQBC 于点 Q，设 BPQ 的面积为S，点 P 的运动时间为t，则 S关于 t 的函数图象大致为（） AB C D 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分） 11计算： 12将抛物线y 5x 2 先向左平移5 个单位再向下平移3 个单位，可以得到新的抛物线是： 13在一个不透明的纸箱里装有2 个红球、 1 个黄球、 1 个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从 纸箱里随机摸出1 个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1 个球，则两人摸到的球颜色不

5、同 的概率为 14如图， 在?ABCD 中，以点 A 为圆心， AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C，交 AD 于点 E， 延长 BA 与A 相交于点F若的长为，则图中阴影部分的面积为 15如图，矩形ABCD 中， AB4， AD6，点 E 为 AD 中点，点 P 为线段 AB 上一个动点，连接 EP， 将 APE 沿 PE 折叠得到 FPE， 连接 CE， CF， 当 ECF 为直角三角形时， AP 的长为 三、解答题（本大题共8 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16先化简，再求值：（x+y）（ xy）+y（x+2y）（ xy） 2，其中 x2+ ，y2 17

6、为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机 抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中 的信息，完成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为； （4）设该校共有学生2000 名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？ 18如图所示， 半圆 O 的直径 AB4，DEAB 于 E，DF AC 于 F，连接 CD，DB，OD （1）求证： CDF BDE； （2）当 AD时，四边形AODC 是菱形； （3）当 AD时，四边形AEDF 是正方

7、形 19某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A 处， 测得河的南岸边点B 处在其南偏东45方向， 然后向北走20 米到达点C 处，测得点 B 在点 C 的 南偏东33方向，求出这段河的宽度（结果精确到1 米，参考数据：sin33 0.54，cos33 0.84，tan33 0.65，1.41） 20如图，反比例函数 y （x0）的图象过格点（网格线的交点） P （1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形（不写画法） ，要求每个矩形均需满足下列两个条件： 四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点 P； 矩形的面积等于

8、k 的值 21小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息： 信息一：工人工作时间：每天上午8：0012：00，下午 14：0018：00，每月工作25 天； 信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表： 生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟） 1010350 3020850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50 元，每生产一件乙种产品得2.80 元 信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900 元，请根据 以上信息，解答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟； （2） 2018年 1

9、月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件， 则小王该月收入最多是多少元？ 此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？ 22问题 ：如图 ，在 Rt ABC 中， ABAC， D 为 BC 边上一点（不与点B，C 重合），将线段 AD 绕点A 逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC， DC，EC 之间满足的等量关系式 为； 探索 ：如图 ，在 RtABC 与 RtADE 中， ABAC，ADAE，将 ADE 绕点 A 旋转，使点D 落在 BC 边上，试探索线段AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用 ：如图 ，在四边形ABCD 中， ABC ACB ADC 45若B

10、D9，CD3，求 AD 的长 23如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x+c 与 x 轴交于 A（ 1，0）， B（3， 0）两点， 与 y 轴交于点C，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点M，使 BDM 的周长最小，求出点M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点 A，P，C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角 三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年河南省普通高中自主招生数学试卷（3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共

11、 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的） 18的相反数是（ ） A8BC8D 【分析】 根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案 【解答】 解： 8 的相反数是 8， 故选： C 【点评】 此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义 2“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮 食大约是210000000 人一年的口粮将210000000 用科学记数法表示为（） A2.1109B0.21109C2.1108D21107 【分析】 科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数确定n

12、的值时， 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对 值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数 【解答】 解：将 210000000 用科学记数法表示为：2.110 8 故选： C 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1 |a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值 3如图所示的几何体的主视图是（） A B C D 【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】 解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正 方形， 故选

13、： B 【点评】 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 4在下列的计算中，正确的是（） Am3+m 2m5 Bm5 m 2m3 C（ 2m） 36m3 D（ m+1） 2m2+1 【分析】 各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】 解： A、原式不能合并，不符合题意； B、原式 m3，符合题意； C、原式 8m 3，不符合题意； D、原式 m 2+2m+1，不符合题意， 故选： B 【点评】 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 5在学校举行 “阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85， 90，80，95，则这组数据的

14、众数是（） A95B90C85D80 【分析】 众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解 【解答】 解：数据90 出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90 故选： B 【点评】 考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 6九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚， 称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等两袋 互相交换1 枚后， 甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽略不计）问黄金、

15、 白银每枚各重多少两？ 设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（） A B C D 【分析】 根据题意可得等量关系： 9 枚黄金的重量11 枚白银的重量； （10 枚白银的重量 +1 枚黄金的重量）（1 枚白银的重量 +8 枚黄金的重量）13 两，根据等量关系列出方程组即 可 【解答】 解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： ， 故选： D 【点评】 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中 的等量关系 7若关于 x 的方程 x2+xa+0 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值是（） A 1B0C1D2 【分析】 根据根

16、的判别式即可求出a 的范围 【解答】 解：由题意可知：0， 14（a+）0， 解得： a1 故满足条件的最小整数a 的值是 2， 故选： D 【点评】 本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型 8如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，ABOC，DC 与 OB 交于点 E，则 DEO 的度数为（） A85B70C75D60 【分析】 由平行线的性质求出AOC120，再求出BOC 30，然后根据三角形的外角性 质即可得出结论 【解答】 解： ABOC， A60， A+AOC180， AOC120， BOC120 90 30， DEO C+BOC 45+3

17、0 75； 故选： C 【点评】 本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的 外角性质是解决问题的关键 9如图在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上， 边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为 （1，3）， 将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在 D 点的位置， 且 AD 交 y 轴于点 E 那么点 D 的坐标为 （） ABCD 【分析】 如图，过 D 作 DFAF 于 F，根据折叠可以证明CDE AOE，然后利用全等三角形 的性质得到OEDE，OACD1，设 OEx，那么CE3x，DEx，利用勾股定理即可求 出 OE 的长度，而利用已知条件可

18、以证明AEO ADF，而 ADAB3，接着利用相似三角形 的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了D 的坐标 【解答】 解：如图，过D 作 DF AF 于 F， 点 B 的坐标为（ 1，3）， AO 1，AB3， 根据折叠可知：CDOA， 而 D AOE90， DEC AEO， CDE AOE， OE DE，OACD 1， 设 OEx，那么 CE3x，DEx， 在 RtDCE 中，CE 2DE2+CD2， （ 3x）2 x 2+12， x， 又 DF AF， DF EO， AEO ADF ， 而 ADAB3， AECE3， ， 即， DF，AF， OF1， D 的坐标为（，） 故选： A

19、 【点评】 此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠 的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题 10如图，在 ABC 中， ABC60， C45，点 D，E 分别为边AB，AC 上的点，且DE BC，BDDE 2，CE，BC动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿BD EC 匀速运动，运动到点C 时停止过点P 作 PQBC 于点 Q，设 BPQ 的面积为S，点 P 的运动时间为t，则 S关于 t 的函数图象大致为（） AB C D 【分析】 根据题意易知道当P 在 BD 上由 B 向 D 运动时， B

20、PQ 的高 PQ 和底 BQ 都随着 t 的增 大而增大，那么SBPQ 就是 PQ 和 BQ 两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次函 数，然后根据它们的斜率乘积的正负性判别抛物线开口方向；当 P 在 DE 上有 D 向 E 运动时， 高 PQ 不变，底 BQ 随着 t 的增大而增大，则SBPQ 是一个一次函数，然后根据斜率的正负性判别 图象上升还是下降；当P 在 EC 上由 E 向 C 运动时高PQ 逐渐减小，底BQ 逐渐增大， S BPQ 的图象会是一二次函数，再根据PQ 和 BQ 两个一次函数的斜率乘积的正负性来判断抛物线开口 方向 【解答】 解： PQBQ 在 P、Q 运动过程

21、中BPQ 始终是直角三角形 SBPQPQ?BQ 当点 P 在 BD 上， Q 在 BC 上时（即 0st2s） BPt，BQPQ?cos60t，PQBP?sin60 t SBPQ PQ?BQ? t? t t 2 此时 SBPQ的图象是关于 t（0st2s）的二次函数 0 抛物线开口向上； 当 P在 DE 上， Q 在 BC 上时（即2st4s） PQBD?sin602，BQBD?cos60+（t 2） t1 SBPQ PQ?BQ?（ t1）t 此时 SBPQ的图象是关于t（2st4s）的一次函数 斜率 0 SBPQ随 t 的增大而增大，直线由左向右依次上升 当 P在 DE 上， P 在 EC

22、上时（即4st s） PQCE （t4）?sin45t （4st s），BQ BCCQBC CE （t4） ?cos45（t）t+ SBPQ PQ?BQ 由于展开二次项系数ak1?k2?（）?（） 抛物线开口向下， 故选： D 【点评】 本道题考查了图形动点分析能力与分段函数分析能力充分体现了数形结合的思想 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分） 11计算： 1 【分析】 原式利用负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值 【解答】 解：原式 12 1， 故答案为：1 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12将抛物线y 5x 2 先向左平移5

23、 个单位再向下平移3 个单位，可以得到新的抛物线是：y 5x250x128 【分析】 根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解 析式写出即可 【解答】 解：抛物线y 5x2先向左平移5 个单位长度，再向下平移3 个单位长度， 新抛物线顶点坐标为（5， 3）， 所得到的新的抛物线的解析式为y 5（x+5） 23， 即 y 5x2 50x128， 故答案为y 5x250x128 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的 变化求解更简便 13在一个不透明的纸箱里装有2 个红球、 1 个黄球、 1 个蓝球，这些球除颜色外

24、完全相同，小明从 纸箱里随机摸出1 个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1 个球，则两人摸到的球颜色不同 的概率为 【分析】 先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两人摸到的球颜色不同的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】 解：列表如下： 红1红2黄蓝 红 1红1红1红1红2红1黄 红 1蓝 红 2红2红1红2红2红2黄 红 2蓝 黄黄 红1 黄 红2黄黄黄蓝 蓝蓝 红1 蓝 红2蓝黄蓝蓝 由表格可知，共有16 种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色不同的情况有10 种， 所以两人摸到的球颜色不同的概率为， 故答案为： 【点评】 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法

25、展示所有等可能的结果求出 n， 再从中选出符合事件 A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率 14如图， 在?ABCD 中，以点 A 为圆心， AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C，交 AD 于点 E， 延长 BA 与A 相交于点F若的长为，则图中阴影部分的面积为 【分析】 求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的很显然 图中阴影部分的面积ACD 的面积扇形ACE 的面积，然后按各图形的面积公式计算即可 【解答】 解：连接AC， DC 是A 的切线， ACCD， 又 AB ACCD， ACD 是等腰直角三角形， CAD45， 又四边形ABCD

26、是平行四边形， AD BC， CAD ACB45， 又 AB AC， ACB B45， FAD B45， 的长为， ， 解得： r2， S 阴影 S ACD S 扇形ACE 故答案为： 【点评】 本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的 和差 15如图，矩形ABCD 中， AB4， AD6，点 E 为 AD 中点，点P 为线段 AB 上一个动点，连接 EP，将 APE 沿 PE 折叠得到 FPE，连接 CE，CF，当 ECF 为直角三角形时，AP 的长为 或 1 【分析】 分两种情况进行讨论：当CFE90时， ECF 是直角三角形；当CEF90时， ECF

27、是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可 【解答】 解：如图所示，当CFE90时， ECF 是直角三角形， 由折叠可得，PFE A90， AEFEDE ， CFP180，即点P，F， C 在一条直线上， 在 RtCDE 和 RtCFE 中， ， RtCDE RtCFE（HL）， CFCD4， 设 APFPx，则 BP4 x，CPx+4， 在 RtBCP 中， BP2+BC2 PC2，即（ 4x） 2+62（ x+4）2， 解得 x，即 AP； 如图所示，当CEF90时， ECF 是直角三角形， 过 F 作 FHAB 于 H，作 FQAD 于 Q，则 FQE D90， 又 FEQ

28、+CED 90 ECD +CED ， FEQ ECD， FEQ ECD， ，即， 解得 FQ，QE， AQ HF，AH， 设 APFPx，则 HPx， RtPFH 中， HP2+HF 2PF2，即（ x） 2+（ ） 2x2， 解得 x1，即 AP 1 综上所述， AP 的长为 1 或 【点评】 本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性 质以及勾股定理解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等本题有两 种情况，需要分类讨论，避免漏解 三、解答题（本大题共8 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16先化简，再求值：（x+y

29、）（ xy）+y（x+2y）（ xy） 2，其中 x2+ ，y2 【分析】 根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】 解：（ x+y）（ xy）+y（x+2y）（ x y） 2 x2y2+xy+2y2x2+2xyy2 3xy， 当 x2+，y2时，原式 3（ 2+）（ 2） 3 【点评】 本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方 法 17为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机 抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列

30、两幅统计图，请根据图中 的信息，完成下列问题： （1）学校这次调查共抽取了100名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为36； （4）设该校共有学生2000 名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？ 【分析】 （1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得； （2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形； （3）用 360乘以“戏曲”人数所占百分比即可得； （4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得 【解答】 解：（ 1）学校本次调查的学生人数为1010%100 名， 故答案为： 100； （2）“民乐”的人数为10020

31、%20 人， 补全图形如下： （3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360 10% 36， 故答案为： 36； （4）估计该校喜欢书法的学生人数为200025% 500 人 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得 到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接 反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体的思想 18如图所示，半圆O 的直径 AB4，DEAB 于 E，DF AC 于 F，连接 CD，DB，OD （1）求证： CDF BDE； （2）当 AD2时，四边形AODC 是菱形； （3）

32、当 AD2时，四边形AEDF 是正方形 【分析】 （1）根据角平分线的性质，可得DF 与 DE 的关系，根据圆周角定理，可得DC 与 DB 的关系，根据HL，证明即可； （2）根据菱形的性质，可得 OD 与 CD，OD 与 BD 的关系， 根据等边三角形的性质，得到 DBA 的度数，根据正弦的定义计算即可； （3）根据圆周角定理，可得ODAB，根据勾股定理，可得答案 【解答】 （1）证明：， CAD BAD，又 DEAB 于 E，DF AC 于 F， DE DF， ， BD CD， 在 RtBED 和 RtCFD 中， ， RtBEDRtCFD （HL）； （2）四边形AODC 是菱形时， O

33、DCDDBOB， DBA60， AD ABcos DBA4sin60 2， 故答案为： 2； （3）当 ODAB，即 OD 与 OE 重合时，四边形AEDF 是正方形， 由勾股定理，得 AD 2， 故答案为： 2 【点评】 本题考查的是角平分线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及等边三角形 的判定和性质、正方形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、圆周角定理是解题的关 键 19某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度， 在河的北岸边点 A处， 测得河的南岸边点B 处在其南偏东45方向， 然后向北走20 米到达点C 处，测得点 B 在点 C 的 南偏东33方

34、向，求出这段河的宽度（结果精确到1 米，参考数据：sin33 0.54，cos33 0.84，tan33 0.65，1.41） 【分析】 延长 CA 交 BE 于点 D，得 CDBE，设 ADx，得 BD x 米， CD（ 20+x）米，根据 tanDCB 列方程求出x 的值即可得 【解答】 解：如图，延长CA 交 BE 于点 D， 则 CDBE， 由题意知，DAB45， DCB33， 设 ADx 米， 则 BDx 米， CD（ 20+x）米， 在 RtCDB 中，tan DCB， 0.65， 解得 x37， 答：这段河的宽约为37 米 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，作出辅

35、助线构造直角三角形是解题的关 键 20如图，反比例函数y（x0）的图象过格点（网格线的交点）P （1）求反比例函数的解析式； （2）在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形（不写画法） ，要求每个矩形均需满足下列两个条件： 四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点 P； 矩形的面积等于k 的值 【分析】 （1）将 P点坐标代入y ，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可 【解答】 解：（ 1）反比例函数y（x0）的图象过格点P（2，2）， k 224， 反比例函数的解析式为y； （2）如图所示： 矩形 OAPB、矩形 OCDP 即

36、为所求作的图形 【点评】 本题考查了作图应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反 比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键 21小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息： 信息一：工人工作时间：每天上午8：0012：00，下午 14：0018：00，每月工作25 天； 信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表： 生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟） 1010350 3020850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50 元，每生产一件乙种产品得2.80 元 信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资

37、两部分构成，小王每月的底薪为1900 元，请根据 以上信息，解答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟； （2） 2018年 1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件， 则小王该月收入最多是多少元？ 此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？ 【分析】 （1）设生产一件甲种产品需x 分，生产一件乙种产品需y 分，利用待定系数法求出x， y 的值 （2）设生产甲种产品用x 分，则生产乙种产品用（25860x）分，分别求出甲乙两种生产多 少件产品 【解答】 解：（ 1）设生产一件甲种产品需x 分，生产一件乙种产品需y 分 由题意得：， 解这个方程组得：，

38、 答：生产一件甲产品需要15 分，生产一件乙产品需要20 分 （2）设生产甲种产品共用x 分，则生产乙种产品用（258 60x）分 则生产甲种产品件，生产乙种产品件 w 总额1.5 +2.8 0.1x+ 2.8 0.1x+16800.14x 0.04x+1680， 又60，得 x900， 由一次函数的增减性，当x900 时 w 取得最大值，此时w 0.04900+16801644（元）， 则小王该月收入最多是1644+19003544（元）， 此时甲有60（件）， 乙有：555（件）， 答：小王该月最多能得3544 元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555 件 【点评】 本题考查了一次函数和

39、二元一次方程组的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解 22问题 ：如图 ，在 Rt ABC 中， ABAC， D 为 BC 边上一点（不与点B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转90得到 AE， 连接 EC， 则线段 BC， DC， EC 之间满足的等量关系式为BC DC+EC； 探索 ：如图 ，在 RtABC 与 RtADE 中， ABAC，ADAE，将 ADE 绕点 A 旋转，使点D 落在 BC 边上，试探索线段AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用 ：如图 ，在四边形ABCD 中， ABC ACB

40、ADC 45若BD9，CD3，求 AD 的长 【分析】 （1）证明 BAD CAE，根据全等三角形的性质解答； （2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到BDCE，ACE B，得到 DCE90，根据勾 股定理计算即可； （3）作 AE AD，使 AEAD，连接 CE，DE，证明 BAD CAE，得到 BD CE 9，根据勾 股定理计算即可 【解答】 解：（ 1）BCDC+EC， 理由如下：BAC DAE 90， BAC DAC DAE DAC，即 BAD CAE， 在 BAD 和 CAE 中， ， BAD CAE， BD CE， BCBD+CDEC+CD， 故答案为： BCDC+EC； （2）

41、 BD2+CD 22AD2， 理由如下：连接CE， 由（ 1）得， BAD CAE， BD CE， ACE B， DCE90， CE2+CD 2 ED2， 在 RtADE 中， AD 2+AE2ED2，又 ADAE， BD2+CD 2 2AD2； （3）作 AEAD，使 AEAD，连接 CE，DE， BAC+CAD DAE+CAD， 即 BAD CAE， 在 BAD 与 CAE 中， ， BAD CAE（SAS ）， BD CE9， ADC45， EDA45， EDC90， DE 6 ， DAE90， AD AEDE 6 【点评】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性

42、质，掌握全等三 角形的判定定理和性质定理是解题的关键 23如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax 2+2x+c 与 x 轴交于 A（ 1，0）， B（3， 0）两点， 与 y 轴交于点C，点 D 是该抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式； （2）请在 y 轴上找一点M，使 BDM 的周长最小，求出点M 的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点 A，P，C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角 三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设交点式ya（ x+1）（ x3），展开得到2a2，然后求出a 即可得到抛物线 解析

43、式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式； （2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（ 1，4），作 B 点关于 y 轴的对称点B，连接 DB 交 y 轴于 M，如图 1，则 B（ 3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小， 则此时 BDM 的周长最小，然后求出直线DB的解析式即可得到点M 的坐标； （3）过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点P，如图 2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数 设直线 PC 的解析式为yx+b， 把 C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为yx+3， 再解方程组得此时 P 点坐标；当过点A 作 AC 的垂线交抛

44、物线于另一点P 时，利 用同样的方法可求出此时P 点坐标 【解答】 解：（ 1）设抛物线解析式为y a（x+1）（ x3）， 即 yax22ax3a， 2a2，解得 a 1， 抛物线解析式为y x2+2x+3； 当 x0 时， y x 2+2x+33，则 C（0， 3）， 设直线 AC 的解析式为ypx+q， 把 A（ 1，0）， C（0，3）代入得，解得， 直线 AC 的解析式为y3x+3； （2） y x2+2x+3（ x 1） 2+4， 顶点 D 的坐标为（ 1，4）， 作 B 点关于 y 轴的对称点B，连接DB交 y 轴于 M，如图 1，则 B（ 3，0）， MBMB， MB+MDMB

45、+MDDB，此时MB+MD 的值最小， 而 BD 的值不变， 此时 BDM 的周长最小， 易得直线DB的解析式为yx+3， 当 x0 时， y x+33， 点 M 的坐标为（ 0，3）； （3）存在 过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点P，如图 2， 直线 AC 的解析式为y3x+3， 直线 PC 的解析式可设为yx+b， 把 C（0，3）代入得b3， 直线 PC 的解析式为yx+3， 解方程组，解得或，则此时P 点坐标为（，）； 过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点P，直线 PC 的解析式可设为yx+b， 把A（1，0）代入得 +b0，解得b ， 直线 PC 的解析式为yx， 解方程组，解得或，则此时P 点坐标为（，）， 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（，）或（，）， 【点评】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性 质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两 函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分 类讨论的思想解决数学问题