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1、专题十三角函数与数列大题 （一）命题特点和预测： 分析近 8 年全国卷数列与三角函数大题，发现三角函数与数列大题都是放在17 题位置且每 年只考一个， 8 年 5 考利用正余弦定理解三角形或平面图形问题，3 年考数列，主要考查等差 数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、求数列通项及数列求和，试题难度为基础 题，2019 年仍将在数列与解三角形二者中考一题，主要考查等比数列、等差数列的定义、通 项公式、前 n 项和公式、求数列通项及数列求和或利用正余弦定理解三角形，难度为基础题 （二）历年试题比较： 年份题目 2018 年 【 2018 新课标 1，理17】在平面四边形中，. （ 1）
2、求 ； （ 2）若，求 . 2017年 【 2017 新课标 1，理 17】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为 2 3sin a A . （ 1）求 sin Bsin C; （ 2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求 ABC 的周长 . 2016 年【 2016 高 考 新 课 标 理 数1】ABC的 内 角A， B， C的 对 边 分 别 为a， b， c， 已 知 （ 1）求 C； （ 2）若的面积为 3 3 2 ，求ABC的周长 2015 年 【 2015 高考新课标1，理 17】 n S为数列 n a的前n项和 .已知 n a0， 2 n
3、n aa=43 n S. （ 1）求 n a 的通项公式； （ 2）设 1 1 n nn b a a ,求数列 n b的前n项和 . 2014 年 【 2014 课标，理17】已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a，0 n a， 其中为常数， （ 1）证明：； （ 2）是否存在，使得 n a为等差数列？并说明理由. 2013 年 【 2013 课标全国 ，理 17】如图，在 ABC 中， ABC90 ，AB3，BC1， P 为 ABC 内一点， BPC90 . (1)若 PB 1 2 ，求 PA； (2)若 APB150 ，求 tan PBA. 2012 年 【 2012 全国，理1
4、7】已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角A， B，C 的对边， acosC3asinC bc0 (1)求 A； (2)若 a2， ABC 的面积为3，求 b，c 2011 年【 2011 全国新课标，理17】 等比数列 an的各项均为正数，且 2a1 3a21， 2 323 9aa a . (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列 1 n b 的前 n 项和 【解析与点睛】 （2018） （17） 【解析】（1）在中，由正弦定理得. 由题设知，所以. 由题设知，所以. （2）由题设及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 点睛：该题
5、考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式 以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中 寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果. （2017年）【解析】 （1）由题知 由正弦定理得， 由 sin0A 得. （2）由（ 1）得， 又 0A， 60A， 3 sin 2 A ， 1 cos 2 A 由余弦定理得 由正弦定理得， 由 得 33bc ，即 ABC 周长为 333 【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使 用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化
6、为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形 问题常见的一种考题是“ 已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围” 或者 “ 已知一条边的长 度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值” ，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系， 建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具 体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. （2016年）【解析】（1）由正弦定理及 得， ， 即， 即， 因为 C0 ，所以 0sinC ， 所以 2 1 cosC ，所以 3 C . （2）由余弦定理得： 6ab 5ab ABC周长为 【名师点睛】三角形中的三角变
7、换常用到诱导公式, , 这是常用的结论, 另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式, 常考 虑对其实施“边化角”或“角化边”. （2015年） 【解析】（1）当1n时， 因为0 n a，所以 1 a=3， 当2n时， =4 n a， 即， 因为0 n a，所以 1nn aa=2， 所以数列 n a是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 所以 n a=21n； （2）由（ 1）知， n b=， 所 以 数 列 n b 前n项 和 为= = 11 646n . （2014年）【解析】 （ 1 由题设， 两式相减得， 由于 1 0 n a，所以 （2） 由题设， 1 1a，可得 2 1a
8、， 由 （ I） 知， 3 1a 令， 解得4 故，由此可得， 21n a 是首项为1，公差为4 的等差数列，； 0 因为 B AC， 所以3sinAsinCcosAsinCsinC0 由于 sinC0 ，所以 又 0 A ，故 3 A (2) ABC 的面积，故 bc4而 a2b2 c2 2bccosA，故 b2c28 解得 bc2 （2011年）【解析】：(1)设数列 an的公比为q.由 2 326 9aa a得 22 34 9aa，所以 2 1 9 q.由条件可知q0， 故 1 3 q. 由 2a13a21 得 2a13a1q 1，所以 1 1 3 a. （三）命题专家押题 题号试题 1
9、. 在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列 . （1）若，求角的值； （2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围. 2. 已知数列是公差不为零的等差数列，且存在实数满足，. （1）求的值及通项； （2）求数列的前项和. 3. 已知数列满足. （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立， 求实数的取值范围 4. 已知数列是正项等比数列，,数列满足条件. () 求数列、的通项公式； () 设 ,记数列的前 项和. 求 ； 求正整数，使得对任意，均有. 5. 已知数列中，且 （1）并证明是等比数列； （2）设，求数列的前项和 6 中角，的对边分别为，己如. （1）求的值
10、： （2）若，求的面积 . 7 已知是的内角，分别是角的对边 .若 . （1）求角的大小； （2）若，的面积为，为的中点，求 8 已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角A， B， C 的对边，且acos Casin Cbc0. (1)求 A； (2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B，AD ，求 ABC 的面积 9 如图，在中，是边上一点，. （1）求的长； （2）若，求的面积 . 10 如图，在四边形中，连接. （）求的值； （）若，求的面积最大值 . 【详细解析】 1.【解析】（1）， 又成等比数列，得，由正弦定理有， ，得，即， 由知，不是最大边，. （2）外接圆的面积为，的
11、外接圆的半径， 由余弦定理，得，又， ，当且仅当时取等号，又为的内角， 由正弦定理，得. 的面积， ，. 2.【解析】（1）设等差数列的公差为， 由 得 ， -得， 又因为，解得； 将代入 可得，即， 又因为， 所以. （2）由（ 1）可得， 所以 . 3.【解析】 (1)由题意得， 所以得 由, 所以（） ， 相减得， 得也满足上式 . 所以的通项公式为. (2)数列的通项公式为 是以为首项 ,公差为的等差数列 , 若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值 , 所以 解得 所以实数的取值范围是 4.【解析】（1）设数列是正项等比数列的公比为，因为， 所以有，所以 （2）因为， 所以，
12、， 令， 由于比变化的快，所以，得， 即,递增而递减，是最大， 即当时，对任意，均有. 5.【解析】（1）由题意知，当时， 当时， 数列是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（ 1） ，可知： ， ， -，可得： ， 6.【解析】（1）因为， 所以 化简得 即 因在中，则 从而 由正弦定理，得 所以 （2）由（ 1）知，且，所以 因为，所以 即 所以 所以 所以 的面积为 7.【解析】（1）由 得 由正弦定理，得，即 所以 又，则 （2）因为，所以. 所以为等腰三角形，且顶角. 因为 所以. 在中， 所以 解得. 8.【解析】 (1)acos Casin Cb c0，由正弦定理得sin Aco
13、s Csin Asin C sin Bsin C， 即 sin Acos Csin Asin C sin(A C)sin C， 又 sin C 0，所以化简得sin Acos A1，所以 sin(A 30 ). 在 ABC 中， 0 A180 ，所以 A 30 30 ，得 A60 . (2)在ABC 中，因为cos B，所以 sin B. 所以 sin C sin(AB) . 由正弦定理得，. 设 a7x，c5x(x 0)，则在 ABD 中， AD 2AB2BD2 2AB BDcos B， 即 25x2 49x 22 5x 7x ，解得 x1，所以 a7， c5， 故 SABC acsin B10. 9.【解析】（1）在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 因为， 所以. （2）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为，. 所以， 解得，所以. 所以. 10.【解析】（1）在中，由正弦定理得， ， ， 为锐角， （2）在中， . 在中，由余弦定理得， ，当且仅当时等号成立， ， ， 即面积的最大值为