三角函数与解三角形-2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典.pdf

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1、2019年新课标全国卷（ 1、2、3 卷）理科数学备考宝典 9三角函数与解三角形 一、 2018 年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 20112018 年新课标全国（1 卷、 2 卷、 3 卷）理科数学分类汇编9三角函数与解三角形 一、考试大纲 1任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 . (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式， 能画出y = sin x ,y=cosx,y= tanx的图像 ,了解三角函数的周期

2、性. (3)理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等 ), 理解正切函数在区间, 22 内的单调性 . (4)理解同角三角函数的基本关系式： 22 sincos1xx， sin tan cos x x x . (5)了解函数y =Asin(x+)的物理意义；能画出y = Asin(x+)的图像 ,了解参数A, , 对函数图像 变化的影响 . (6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 3正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 4应用：能够运用正弦定理、余弦定理

3、等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、新课标全国卷命题分析 新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三 角形，一般是1 小 1 大，或者3 小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。三角函数求值、三 角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。解三 角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定 理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“ 边转角 ”“角转边 ” 三、典型高考试题讲评 题型 1 三角函数的定义

4、、同角三角函数的基本关系 例 1 （2016 新课标，理5）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin 2 （） A. 64 25 B. 48 25 C. 1D. 16 25 解析： 2 2 222 cos4sincos14tan64 cos2sin 2 25 cossin1tan ，故选 A. 【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切. 题型 2 三角函数的恒等变换 例 2 （2018 新课标，理4）若 1 sin 3 ，则cos 2（） A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 解析： 227 cos212sin1 99 . 故选 B. 例 3 （2015 新课标， 2）sin2

5、0 cos10cos160 sin10（） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 解析：sin20 cos10cos160 sin10sin 20 cos10cos20 sin10sin30，选 D. 题型 3三角恒等变换与三角函数的值域 例 4 (2018 新课标，理16)已知函数xxxf2sinsin2)(，则)(xf的最小值是. 【答案】 2 33 解析： 方法一 ：( )2sinsin 22sin2sincos2sin(1cos )f xxxxxxxx ， 所以 222223 ( )4sin(1cos )4(1cos)(1cos )4(1cos ) (1cos )f xxxx

6、xxx 4 344(1cos )(1cos )(1cos )(33cos )27 (1cos ) (33cos ) 3344 xxxx x x ， 所以函数( )f x 的值域为 3 3 3 3 , 22 ，所以( )f x 的最小值为 3 3 2 方法二： 23 ( )2sinsin 22sin2sincos2sin(1cos )4sincos2cos8sincos 22222 xxxxx f xxxxxxxx 322222 3(sincos)3sincoscoscos 222222 xxxxxx 4 2222 4 3sincoscoscos 3 2222 44 xxxx ， 33 33 3

7、 sincos, 162216 xx 3 3 2sinsin 2 2 xx . 方法三：xxxf2cos2cos2)()1cos2)(1(cos2xx 0)(xf 3 2 3 2kxk，函数)(xf在) 3 2, 3 2(kk单调递增； 0)(xf 3 2 3 5 2kxk，函数)(xf在) 3 2, 3 5 2(kk单调递减； 3 2kx时，函数)(xf有最小值， 即) 3 2()( min kfxf) 3 2(2sin) 3 2sin(2kk 2 33 . 题型 4 三角函数的图形变换 例 5 （2017 全国 1 理 9）已知曲线 1 cosCyx：， 2 2 sin 2 3 Cyx ：

8、，则下面结论正确的是（）. A.把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 2 C B.把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 2 C C.把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 2 C D.把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 2 C 解析：首先曲线 1 C， 2 C统一为一三角函数名，可将 1: cosCyx

9、用诱导公式处理 coscossin 222 yxxx 横坐标变换需将 1变成2，即 1 1 2 sinsin 2sin2 224 C yxyxx 上各坐短到原的倍点横标缩来 2 sin 2sin2 33 yxx 注意的系数，左右平移需将 2提到括号外面，这时 4 x 平移至 3 x ， 根据 “ 左加右减 ” 原则， “ 4 x ” 到“ 3 x ” 需加上 12 ，即再向左平移 12 故选 D. 【解题技巧】关于 yAsin( x+) 函数图像由ysinx 的图像的变换，先将ysinx 的图像向左 (或右 ) 平移 | |个单位，再将其上的横坐标缩短( 1) 或伸长 (01) 或缩 短(0A

10、1) 到原来的A 倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是| |个单位，而是 | |个 单位，原则是保证x 的系数为1，同时注意变换的方法不能出错 题型 5 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 例 6 （2017 新课标， 6）设函数 cos 3 fxx ，则下列结论错误的是（）. Afx的一个周期为2Byfx的图像关于直线 8 3 x对称 Cfx的一个零点为 6 xDfx在 , 2 单调递减 解析：函数 cos 3 fxx的图像可由cosyx向左平移 3 个单位得到， 如图可知，fx在 , 2 上先递减后递增，D选项错误 .故选 D. - 6 x y O 例 7 （201

11、6 新课标，理7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴 为（） A() 26 k xkZB() 26 k xkZ C () 212 k xkZD() 212 k xkZ 解析： 平移后图像表达式为 2sin 2 12 yx，令 2 + 122 xk，得对称轴方程： 26 Z k xk， 故选 B 题型 6 三角函数性质的综合应用 例 8（2016 全国乙理 12） 已知函数 ( )sin()0, 2 fxx ， 4 x为( )f x的零点， 4 x 为( )yf x图像的对称轴，且( )f x在 5 18 36 ，上单调，则的最大值为（）. A.1

12、1 B.9 C. 7 D. 5 解析：选B. 方法1：因为x - 4 为函数f(x) 的零点， x 4 为 y f(x) 图像的对称轴，所以 2 kT 2 + T 4 (kZ，T 为周期 )，得 T 2 2k+1 (kZ) 又 f(x) 在( 18 ，5 36 )上单调，所以T 6 ，k11 2 ， 又当 k5 时， 11， - 4 ， f(x)在( 18， 5 36 )上不单调； 当 k4 时， 9， 4 ， f(x)在( 18， 5 36 )上单调，满足题意； 故 9，即 的最大值为9. 方法2：由 题 意 知 ： 1 2 + 4 + + 42 k k 则21k， 其 中 kZ ， ( )

13、f x在 5 , 18 36 单 调 ， 5 ,12 3 618122 T ，接下来用排除法：若 11, 4 ，此时 ( )sin 11 4 f xx ，( )f x 在 3 , 18 44 递 增 ， 在 3 5 , 44 36 递 减 ， 不 满 足( )f x在 5 , 18 36 单 调 ； 若 9, 4 ， 此 时 ()si n9 4 fxx，满足( )f x 在 5 , 18 36 单调递减故选B 题型 7 解三角形、正余弦定理 例 9 （2018 新课标， 6）在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC，5AC，则 AB =（） A 4 2B30C29D 2 5 解析： 因为

14、2 cos2cos1 2 C C，所以 2 53 cos21 55 C ， 由余弦定理可知： 222 2cosABACBCAC BC C ， 222 3 5125 132 5 AB，故4 2AB 题型 8 三角函数与解三角形的综合应用 例 10 （2017新课标， 17）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC 的周长 解析：（1）ABC面积 2 3sin a S A 且 1 sin 2 SbcA， 2 1 sin 3sin2 a bcA A ， 223

15、sin 2 abcA，由正弦定理得 223 sinsinsinsin 2 ABCA，由sin0A得 2 sinsin 3 BC （2）由（ 1）得 2 sinsin 3 BC ， 1 coscos 6 BC ， ABC， 1 coscos cossinsinCcoscos 2 ABCBCBBC， 又0A， 60A， 3 sin 2 A， 1 cos 2 A，由余弦定理得 222 9abcbc 由正弦定理得sin sin a bB A ，sin sin a cC A ， 2 2 sinsin8 sin a bcBC A 由得 33bc ， 333abc ，即ABC周长为 333 2011 年20

16、18 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编 9三角函数与解三角形 一、选择题 （ 2018 新课标， 6 ）在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC，5AC，则 AB=（ ） A 4 2B30C29D 2 5 （ 2018 新课标，理4）若 1 sin 3 ，则 cos2 （） A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 （ 2018 新课标， 理 9）ABC的内角 ABC，的对边分别为a，b，c ，若ABC的面积为 222 4 abc ， 则C（） A 2 B 3 C 4 D 6 （2017 新课标， 9）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2 3 )，则下面结正

17、确的是（） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 （2017 新课标， 6）设函数 cos 3 fxx ，则下列结论错误的是（）. Afx的一个周期为2Byfx

18、的图像关于直线 8 3 x对称 Cfx的一个零点为 6 xDfx在 , 2 单调递减 （2016 新课标， 12）已知函数) 2 ,0)(sin()(xxf， 4 x为)(xf的零点， 4 x为 )(xfy图像的对称轴，且)(xf在) 36 5 , 18 (单调，则的最大值为（） A11 B9 C7 D5 （2016 新课标，7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移 12 个单位长度， 则平移后图象的对称轴为（） A () 26 k xkZ B () 26 k xkZ C () 212 k xkZD() 212 k xkZ （2016 新课标， 9）若 3 cos() 45 ，则 sin

19、 2=（） A 7 25 B 1 5 C 1 5 D 7 25 （2016 新课标， 5）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin 2（） A. 64 25 B. 48 25 C. 1D. 16 25 （2016 新课标， 8）在ABC中， 4 B， BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cosA（ ） A. 3 10 10 B. 10 10 C. 10 10 D. 3 10 10 （2015 新课标， 2）sin 20 cos10cos160 sin10（） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 （2015 新课标， 8）函数( )f x=cos()x的部分图象如图所示，则(

20、 )f x的单调递减区间为（） A 13 (,), 44 kkkZB 13 (2,2), 44 kkkZ C 13 (,), 44 kkkZ D 13 (2,2), 44 kkkZ （2014 新课标， 6）如图， 圆 O 的半径为1，A 是圆上的定点， P 是圆上的动点， 角x的始边为射线 OA， 终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表 示为x的函数( )f x，则y=( )f x在0,上的图像大致为（） （2014 新课标， 8）设(0,) 2 ，(0,) 2 ，且 1sin tan cos ，则（） A.3 2 B.2 2 C.3 2 D.2 2 （2

21、014 新课标， 4）钝角三角形ABC 的面积是 1 2 ，AB=1，BC=2 ，则 AC=（） A5 B5C2 D1 （2012 新课标， 9）已知0，函数( )sin() 4 f xx在（ 2 ，）上单调递减，则的取值范围 是（） A 1 2 ， 5 4 B 1 2 ， 3 4 C （0， 1 2 D （0，2 （2012 新课标， 9）已知0，函数) 4 sin()(xxf在 ), 2 ( 单调递减，则的取值范围是（） A. 1 5 , 2 4 B. 1 3 , 2 4 C. 1 (0, 2 D. (0,2 （ 2011 新课标，11）设函数( )sin()cos()(0,) 2 f x

22、xx的最小正周期为，且 ()( )fxf x，则 （ A）( )f x在(0,) 2 单调递减（B）( )f x在 3 (,) 44 单调递减 （ C）( )f x在(0,) 2 单调递增（D）( )f x在 3 (,) 44 单调递增 （2011 新课标， 5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则 cos2=（） A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 （2011 新课标， 5） 已知角 的顶点与原点重合， 始边与 x 轴的正半轴重合， 终边在直线y=2x 上， 则 cos2 =（） A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 （ 2011 新课

23、标，11）设函数( )sin()cos()(0, |) 2 f xxx的最小正周期为，且 ()( )fxfx，则（） A( )fx在(0, ) 2 单调递减B( )f x在 3 (,) 44 单调递减 C( )f x在(0, ) 2 单调递增D( )f x在 3 (,) 44 单调递增 二、填空题 （ 2018 新课标，理16）已知函数xxxf2sinsin2)(，则)(xf的最小值是. （ 2018 新课标，理15）函数 cos 3 6 fxx在0，的零点个数为 _ （2018 新课标，理15）已知 sincos1， cossin0 ，则 sin_ （2017 新课标， 14）函数 2 3

24、sin3cos 4 fxxx（0, 2 x ）的最大值是 （2016 新课标， 13） ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos 4 5 A， 1 cos 5 3 C，a = 1， 则 b = . （ 2016 新课标，14）函数sin3cosyxx 的图像可由函数sin3cosyxx 的图像至少向右平移 _个单位长度得到. （2015 新课标， 16）在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围 是. （2014 新课标， 16）已知, ,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，a=2， 且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积

25、的最大值为. （2014 新课标， 14）函数( )sin(2 )2sincos()f xxx的最大值为 _. （2013 新课标， 15）设当 x 时，函数f(x) sin x2cos x 取得最大值，则cos _. （2013 新课标， 15）设为第二象限角，若 1 tan() 42 ，则sincos_. （2011 新课标， 16）在 ABCV 中，60 ,3BAC，则 2ABBC的最大值为 三、解答题 (2018 新课标，理17)在平面四边形ABCD中， o ADC90， o A45，2AB，5BD. （1）求ADBcos； （ 2）若22DC，求BC. （2017 新课标， 17）

26、ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC 的周长 （2017 新课标， 17）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知 2 sin()8sin 2 B AC （1）求cos B； （2）若6ac, ABC面积为 2，求.b （2017 新课标， 17）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知sin3cos0AA，2 7a， 2b （1）求c；（ 2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积 （2016 新课标， 17）ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，已知cAbBaC)coscos(cos2 （）求C； （）若7c，ABC的面积为 2 33 ，求ABC的周长