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1、三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例 1 已知：在 ABC中， AB 13，BC12，AC 5 求 ABC的外接圆的半径. 解： AB 13，BC 12，AC 5， AB 2BC2AC2， C 90， AB为 ABC的外接圆的直径， ABC的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 已知一角和它的对边 例 2 如图，在 ABC 中， AB 10， C100， 求 ABC外接圆 O的半径 . （用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形 . 解：作直径BD ，连结 AD
2、. 则 D 180 C 80， BAD 90 BD Dsin AB 80sin 10 ABC外接圆 O的半径为 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三 角形的外接圆的半径. 例 3 如图，已知，在ABC 中， AB 10， A70， B50 求 ABC外接圆 O的半径 . 分析：可转化为的情形解题. 解：作直径AD ，连结 BD. 则 D C 180 CAB BAC 60， DBA 90 AD Dsin AB 60sin 10 3 3 20 ABC外接圆 O的半径为3 3 10 . 已知两边夹一角 例 4 如图，已知，在ABC 中， A
3、C2，BC3， C60 求 ABC外接圆 O的半径 . 分析：考虑求出AB ，然后转化为的情形解题. 解：作直径AD ，连结 BD.作 AE BC ，垂足为E. 则 DBA 90， D C60， CE 2 1 AC 1，AE 3， BE BC CE 2，AB 22 BEAE 7 AB C O A B C O D AB C O D AB C O DE AD Dsin AB 60sin 7 21 3 2 ABC外接圆 O的半径为21 3 1 . 已知三边 例 5 如图，已知，在ABC 中， AC 13，BC 14，AB 15 求 ABC外接圆 O的半径 . 分析：作出直径AD ，构造 RtABD.
4、只要求出 ABC中 BC边 上的高 AE ，利用相似三角形就可以求出直径AD. 解：作直径AD ，连结 BD.作 AE BC ，垂足为E. 则 DBA CEA 90， D C ADB ACE AB AE AD AC 设 CE x,AC 2-CE2AE2 AB 2-BE2 13 2-x2152-(14-x)2 x=5, 即 CE 5 AE 12 15 12 AD 13 AD 4 65 ABC外接圆 O的半径为 8 65 . 二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形 例 6 已知：在 ABC 中， C90， AC b，BC a，AB c 求 ABC外接圆 O的半径 . 解：可证四边形ODCE 为
5、正方形 . 设 O的半径为r ， 则 CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ，(a -r)+(b-r)=c, r= 2 cba , 即 ABC外接圆 O的半径为 2 cba . 2、一般三角形 已知三边 例 7 已知：如图，在ABC 中， AC 13，BC 14，AB 15 求 ABC内切圆 O的半径 r. 分析：考虑先求出ABC的面积，再利用“面积桥”，从而 求出内切圆的半径. 解：利用例5 的方法，或利用海伦公式S)cs)(bs)(as( s( 其中 s= 2 cba ) 可求 出 S ABC84，从而 2 1 AB ?r+ 2 1 BC?r+ 2 1 AC?r=84, r=4 已知
6、两边夹一角 例 8 已知：如图，在ABC 中， cotB 3 4 ,AB5， BC 6 求 ABC内切圆 O的半径 r. 分析： 考虑先通过解三角形，求出 ABC的面积及 AC的长， 再利用“面积桥” ，从而求出内切圆的半径. 解：作 ABC的高 AD.解直角三角形可得AD 3，CD 2，AC 13 ， 因为 2 1 AB ?r+ 2 1 BC?r+ 2 1 AC?r= 2 1 BC? AD, 可求得 r= 6 1311 AB C O DE A B C O E D b c a A BC O E F D A BC O D 已知两角夹一边 例 9 已知：如图，在ABC 中， B 60， C45,BC6 求 ABC内切圆 O的半径 r.( 精确到 0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成. 总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求 出这个三角形的外接圆和内切圆的半径. A BC O D