三角恒等变换和解三角形题型总结.pdf

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1、三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 ： sinsincoscossinsin22sincos 令 22 22 2 2 2 coscoscossinsincos2cossin 2cos112sin tantan1+cos2 tancos 1tantan2 1cos2 sin 2 2tan tan2 1tan 令 如（1）下列各式中，值为 1 2 的是A、1515sincosB、 22 1212 cossinC、 2 22 5 122 5 tan. tan. D、 130 2 cos （答：C）； （2）命题 P：0tan( AB )，命题 Q：0t

2、an AtanB，则 P是 Q 的 A、充要条件B、充分不必要条件 C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答： C）； （3） 已知 3 5 sin()coscos()sin， 那么2cos的值为_ （答： 7 25 ） ； （4） 13 1080sinsin 的值是_ （答：4）； (5) 已知 0 tan110a，求 0 tan50的值（用 a 表示）甲求得的结果是 3 13 a a ，乙求得的结 果是 2 1 2 a a ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 _ （答：甲、乙都对） 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 是：一角二名三结构。 即首先观察角与 角之间

3、的关系，注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的 关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 : （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、 两角与其 和差角的变换 . 如()()，2()()， 2()()，2 2 ， 222 等）， 如（1） 已知 2 tan() 5 ， 1 tan() 44 ，那么tan() 4 的值是_ （答： 3 22 ）； （2）已知0 2 ，且 1 29 cos()， 2 23 sin()，求cos()的 值（答： 490 729 ）；（3）已知,为锐角，sin,cosxy

4、， 3 cos() 5 ，则y与 x的函数关系为 _ （答： 2343 1(1) 555 yxxx） (2) 三角函数名互化 ( 切化弦) ， 如（1）求值sin 50 (13 tan10 )（答：1）； （2）已知 sincos2 1,tan() 1cos23 ，求tan(2 )的值（答： 1 8 ） (3) 公式变形使用 （tantantan1tantan。 如 （1） 已知 A、 B 为锐角， 且满足tan tantantan1ABAB ， 则cos()AB_ （答： 2 2 ）； (2) 设ABC中，33tan Atan Btan Atan B， 3 4 sinAcosA，则此 三角形

5、是_三角形（答：等边） (4) 三角函数次数的降升 (降幂公式： 2 1cos2 cos 2 ， 2 1cos2 sin 2 与升幂公式： 2 1cos22cos， 2 1cos22sin)。如(1) 若 3 2 (,)，化简 1111 2 2222 cos为_ （答：sin 2 ）；（2）函数 2 55 3f (x)sinxcosxcos x 5 3 2 ( xR )的单调递增区间为 _ （答： 5 1212 k,k(kZ )） (5) 式子结构的转化 ( 对角、函数名、式子结构化同 )。如（1）tan(cossin) sintan cotcsc （答：sin）；（2）求证： 2 1tan

6、1 sin 2 1 2sin1 tan 22 ；（3）化简： 42 2 1 2cos2cos 2 2tan()sin () 44 xx xx （答： 1 cos2 2 x） (6) 常值变换主要指“ 1”的变换（ 22 1sincosxx 22 sectantancotxxxx tansin 42 等），如已知tan2，求 22 sinsincos3cos（答： 3 5 ）. (7) 正余弦“三兄妹sincos sin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”， 如（1）若 sincosxxt，则sincosxx_（答： 2 1 2 t ) ，特别提醒：这里2,2t；（2） 若 1 (0, )

7、,sincos 2 ，求tan的值。（答： 47 3 ）；（3）已知 2 sin22sin 1tan k () 42 ，试用k表示sincos的值（答：1k）。 3、 辅助角公式中辅助角的确定 ： 22 sincossinaxbxabx(其中角所在的象 限由 a, b的符号确定，角的值由tan b a 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 如（1）若方 程sin3 cosxxc有实数解，则c的取值范围是 _. （答： 2,2 ）；（2）当函数 23ycosxsin x取 得 最 大 值 时 ，tanx的 值 是 _(答 ： 3 2 ) ； （ 3 ） 如 果 sin2cos()fxxx是奇函数

8、，则tan= ( 答 ： 2) ； （ 4 ） 求 值 ： 20sin64 20cos 1 20sin 32 22 _( 答：32) 4、求角的方法 ：先确定角的范围， 再求出关于此角的某一个三角函数 （要注意选择，其标准有 二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若 ,(0, )，且tan、tan是方程 2 560xx的两根，则求的值_ （答： 3 4 ）；（2） ABC中，3sin4cos6,4sin3cos1ABBA ，则 C_ （答： 3 ）；（3）若02且0sinsinsin，0coscoscos， 求的值（答： 2 3 ）. 5、. 三角

9、形中的有关公式 ： (1) 内角和定理 ：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补， 任意两半角和与第三个角的半角总互余 .锐角三角形三内角都是 锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方 . (2) 正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ( R 为三角形外接圆的半径 ). 注意： 正弦定理的 一些变式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin 22 ab iiABC RR 2 c R ；2sin ,2 sin,2siniiiaRA bRB bRC；已知三角形两边一对角，

10、求解三角形 时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 . (3) 余弦定理： 222 222 2cos ,cos 2 bca abcbcAA bc 等，常选用余弦定理鉴定三角 形的形状. (4) 面积公式 ： 111 sin() 222 a SahabCr abc（其中r为三角形内切圆半径） . 如 ABC中，若CBABA 22222 sinsincoscossin，判断ABC的形状（答：直角三角 形）。 特别提醒：（ 1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性： ,sin()sin,sincos 22 ABC ABCABC；（2）求解三角形中含有边角混合关系 的问题时，常运用正弦定

11、理、余弦定理实现边角互化。 如 （1）ABC中， A、 B 的对边分别是ab、， 且A=6064, a, b，那么满足条件的ABCA、 有一个解B、有两个解C、无解 D、不能确定（答：C）； （2）在ABC中，AB 是sinAsinB成立的 _ 条件（答：充要）； （3） 在ABC中，112(tan A)(tan B )， 则 2 log sinC_ （答： 1 2 ） ； (4) 在ABC 中，a,b,c分别是角 A、B、C 所对的边，若( abc )(sin Asin B3sinC )a sin B，则 C_ （答：60）；（5）在ABC中，若其面积 222 4 3 abc S，则C=_（

12、答： 30）；（6）在ABC中，601A, b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径 是 _（答： 2 39 3 ）； （ 7） 在 ABC 中， a、 b、 c 是角A 、 B 、 C的对边， 2 1 3,cos,cos 32 BC aA则= ， 22 bc的最大值为（答： 1 9 3 2 ;）； （8）在 ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（答：0 6 C）；（9）设 O 是锐角三角形 ABC的 外 心 ， 若75C， 且,AOBBOCCOA的 面 积 满 足 关 系 式 3 AOBBOCCOA SSS，求A（答：45） 两角和与差的三角函数 例 1求2sin50

13、+sin10(1+3tan10)80sin2 2 的值. 解：原式= 80sin2 10cos 10sin3 110sin50sin2 =80sin2) 10cos 10sin310cos 10sin50sin2( =10cos2 10cos 10sin 2 3 10cos 2 1 10sin250sin2 =10cos2 10cos 40sin10sin2 50sin2 =60sin2210cos2 10cos 60sin2 =.6 2 3 22 变式训练 1：(1)已知( 2 ,)，sin= 5 3 ,则 tan( 4 )等于（） A. 7 1 B.7 C. 7 1 D.7 (2) sin

14、163sin223 +sin253 sin313 等于（） A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 解：(1)A (2)B 例 2. 已知 ( 4 ， 4 3 )， (0， 4 ),cos( 4 ) 5 3 ，sin( 4 3 ) 13 5 ，求 sin( )的值 解： 4 4 3 2 ( 4 3 , 4 ) (0,1sin 3 1 1x) 4 (0, 2 ) 4 3 ( 4 3 , ) sin( 4 ) 5 4 cos( 4 3 ) 13 12 sin( )cos 2 ( ) cos( 4 )( 4 3 ) 65 56 变式训练 2：设 cos （ 2 ）= 9 1 ，sin

15、 （ 2 ）= 3 2 ，且 2 ，0 2 ， 求 cos （+ ）. 解： 2 ，0 2 ， 4 2 ， 4 2 2 . 故由 cos （ 2 ）= 9 1 ，得 sin（ 2 ）= 9 54 . 由 sin（ 2 ）= 3 2 ，得 cos （ 2 ）= 3 5 .cos 2 =cos （ 2 ）（ 2 ） =cos()cos()sin()sin() 2222 = 1524 5 9339 7 5 27 cos（+ ）=2cos 2 2 1= 2 7 5 2 27 -1= 729 239 . 例 3. 若 sinA= 5 5 ,sinB= 10 10 ,且 A,B 均为钝角 ,求 A+B 的

16、值. 解A、B 均为钝角且 sinA= 5 5 ,sinB= 10 10 ， cosA=-A 2 sin1=- 5 2 =- 5 52 ， cosB=-B 2 sin1=- 10 3 =- 10 103 ， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB = 5 52 10 103 - 5 5 10 10 = 2 2 又 2 A, 2 B, A+B 2 由知， A+B= 4 7 . 变式训练 3：在ABC 中，角 A、B 、C 满足 4sin 2 2 CA - cos2B= 2 7 ,求角 B 的度数. 解在ABC 中，A+B+C=180 , 由 4sin 2 2 CA -cos2B=2

17、 7 , 得 4 2 )cos(1CA -2cos 2B+1= 2 7 , 所以 4cos 2B-4cosB+1=0. 于是 cosB= 2 1 ,B=60 . 例 4化简 sin 2 sin 2 +cos 2 cos 2 - 2 1 cos2 cos2 . 解方法一（复角单角，从“ 角” 入手） 原式=sin2 sin 2 +cos 2 cos 2 - 2 1 (2cos 2 -1) (2cos 2 -1) =sin 2 sin 2 +cos 2 cos 2 - 2 1 (4cos 2 cos 2 -2cos 2 -2cos 2 +1) =sin 2 sin 2 -cos 2 cos 2 +

18、cos 2 +cos 2 - 2 1 =sin 2 sin 2 +cos 2 sin 2 +cos 2 - 2 1 =sin 2 +cos 2 - 2 1 =1- 2 1 = 2 1 . 方法二（从“ 名” 入手，异名化同名） 原式=sin2 sin 2 +(1-sin 2 ) cos 2 - 2 1 cos2 cos2 =cos 2 -sin 2 (cos 2 -sin 2 )- 2 1 cos2 cos2 =cos 2 -sin 2 cos2- 2 1 cos2 cos2 =cos 2 -cos22cos 2 1 sin 2 = 2 2cos1 -cos2)sin21( 2 1 sin 2

19、2 = 2 2cos1 - 2 1 cos2= 2 1 . 方法三（从“ 幂” 入手，利用降幂公式先降次） 原式= 2 2cos1 2 2cos1 + 2 2cos1 2 2cos1 - 2 1 cos2 cos2 = 4 1 (1+cos2 cos2-cos2-cos2)+ 4 1 (1+cos2 cos2+cos2+cos2)- 2 1 cos2 cos2= 2 1 . 方法四（从“ 形” 入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin sin-cos cos)2+2sin sin cos cos- 2 1 cos2 cos2 =cos 2( +)+ 2 1 sin2 sin2- 2

20、1 cos2 cos2 =cos 2( +)- 2 1 cos(2+2) =cos 2( +)- 2 1 2cos 2( +)-1= 2 1 . 变式训练 4：化简： （1）2sin x 4 +6cosx 4 ; (2） 4 sin 4 tan2 1cos2 2 2 . 解（1）原式=22xx 4 cos 2 3 4 sin 2 1 =22xx 4 cos 6 cos 4 sin 6 sin =22cosx 46 =22cos(x-12). （2）原式= 2 2 cos1 tan1 tan1 2cos = )2sin1 ( 2sin1 2cos 2cos =1. 二倍角的正弦、余弦、正切 例

21、1. 求值： 140cos40cos2 )40cos21(40sin 2 解：原式 80cos40cos 80sin40sin )2060cos()2060cos( )2060sin()2060sin( 3 变式训练 1： ) 12 sin 12 (cos (cos 12 sin 12 )（） A 2 3 B 2 1 C 2 1 D 2 3 解：D 例 2 已知 为锐角，且 2 1 tan，求 2cos2sin sincos2sin 的值. 解： 为锐角 2cos2sin sincos2sin 2coscossin2 ) 1cos2(sin 2 cos 1 2 tan1 4 5 变式训练 2：

22、化简： ) 4 (sin) 4 ta n(2 1cos2 2 2 解：原式 ) 4 (cos ) 4 cos( ) 4 sin(2 2cos 2 1 例 3已知xxxxfcossinsin3)( 2 ； (1) 求) 6 25 (f的值；(2) 设 2 3 4 1 ) 2 (),0(f，求 sin 的值 解：（1） 2 3 6 25 cos 2 1 6 25 sin 0 6 25 cos 6 25 sin 6 25 cos3) 6 25 ( 2 f （2）xxxf2sin 2 1 2 3 2cos 2 3 )( 2 3 4 1 2 3 sin 2 1 cos 2 3 ) 2 ( a f 16s

23、in224sin 110 解得 8 531 sin 0sin),0(2故 8 531 sin 变式训练 3：已知 sin( 6 ) 3 1 ，求 cos(2 3 2 )的值 解：cos( 3 2 2)2cos 2( 3 )1 2sin 2( 6 ) 1 9 7 例 4已知 sin 2 2 sin2 cos cos2 1， (0， 2 )，求 sin 、tan 的值 解：由已知得 sin 22 sin2 cos 2cos 2 0 即(sin2 2cos) (sin2cos)0 cos 2 (1 sin ) (2sin 1)0 (0， 2 ) cos 0 sin 1 2sin 1 sin 2 1

24、tan 3 3 变式训练 4：已知 、 、r 是公比为 2 的等比数列)2 ,0(，且 sin 、sin 、sinr也成等比数列， 求 、 、r 的值 解： 、 、r 成公比为 2的等比数列 2 ，r4 sin 、sin 、sinr成等比数列 12cos2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2r 即01cos2cos2 2 ，解得 cos 1或 2 1 cos 当 cos 1时，sin 0与等比数列首项不为零矛盾故 cos 1 舍去 0 2 cos2 2 sin xx 当 2 1 cos时，20,2 3 2 2或 3 2 2 3 8 , 3 4 , 3

25、 2 r 或 3 16 , 3 8 , 3 4 r 简单的三角恒等变换 例 1： 不查表求值 2cos10sin20 cos20 = 例 2：已知 （1）求xtan的值； （2）求 xx x sin) 4 cos(2 2cos 的值 解析：（1）由0 2 cos2 2 sin xx , 2 2 tan x ， 3 4 21 22 2 tan1 2 tan2 tan 2 2x x x （2） 原式 xxx xx sin)sin 2 2 cos 2 2 (2 sincos 22 xxx xxxx sin)sin(cos )sin)(cossin(cos x xx sin sincos 1cot x

26、 31 ()1 44 【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手 . 例 3. (福建省师大附中 2008年高三上期期末考试 ) 设向量(cos,sin),(cos,sin)ab ，0,且若 4 5 a b， 4 tan 3 ， 求tan的值。 【解题思路】先进行向量计算 ,再找角的关系 . 解析: 4 coscossinsin 5 4 cos() 5 0 34 tan()tan7 43 tantan() 34 1tan() tan24 1() 43 ab 又0 3 sin(-)=- 5 3 tan(-)=- 4 4 又tan= 3 【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型 , 这类题往往

27、是先进行向量运算 ,再进行三角变换 、例 4(2007四川 )已知 0, 14 13 )cos(, 7 1 cos且 2 , () 求2tan的值.（）求. 【解题思路】由同角关系求出tan再求ta n2；又结合角的范围定角。 解析（）由 1 cos,0 72 ，得 2 214 3 sin1 cos1 77 sin4 37 tan4 3 cos71 ，于是 22 2tan2 4 38 3 tan2 1 tan47 14 3 （）由0 2 ，得0 2 又 13 cos 14 ， 2 2 133 3 sin1 cos1 1414 由得：cos cos coscossinsin 1134 33 31

28、 7147142 ,所以 3 【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以 及计算能力。 例题 5：（08 湖北卷 16） 已知函数 117 ( ),( )cos(sin)sin(cos ),( ,). 112 t f tg xx fxxfxx t （）将函数( )g x化简成sin()AxB（ 0A ， 0，0,2)）的形式； （）求函数( )g x的值域 . 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的 化简变形和运算能力 .（满分 12 分） 解：（） 1sin1cos ( )cossin 1sin1co

29、s xx g xxx xx 22 22 (1 sin )(1 cos ) cossin cossin xx xx xx 1sin1cos cossin. cossin xx xx xx 17 ,coscos , sinsin , 12 xxxxx 1sin1cos ( )cossin cossin xx g xxx xx sincos2xx 2 sin2. 4 x （）由 17 12 x，得 55 . 443 x sint在 53 , 42 上为减函数，在 35 , 23 上为增函数， 又 5535 sinsin,sinsin()sin 34244 x（当 17 , 2 x ）， 即 2 1sin()222sin()23 424 xx， 故 g(x)的值域为 22, 3 . 例 6：:证明 tan 3x 2 tan x 2 2sin x cos xcos2 x