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1、1 / 38 东南大学高数( 上) 至年期末考 试( 附答案 ) 2 / 38 作者： 日期： 个人收集整理，勿做商业用途 0 / 38 0310 级高等数学（ A） （上册）期末试卷 2003 级高等数学（ A） （上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4 分，共 16 分） 1设函数( )yy x由方程 yx t xdte 1 2 确定，则 0x dx dy （） . e2(D);1-e(C);e-1(B); 1)(eA 2曲线4 1 ln 2 x x xy的渐近线的条数为（） .0(D);3(C);2(B);1)(A 3设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy的图形如右图所示， 则导函数)
2、(xfy的图形为（） 4微分方程xyy2cos34的特解形式为（） .2siny)(;2sin2cosy)( ;2cosy)(;2cosy)( * * xADxBxxAxC xAxBxAA 二、填空题（每小题3 分，共 18 分） 1_)(lim 2 1 0 x x x xe 2若 )(cos 2 1 arctan xf e x y，其中f可导，则_ dx dy 3设, 0,0 0, 1 sin )( x x x x xf若导函数)(xf在0x处连续，则的取值范围是 _。 个人收集整理，勿做商业用途 1 / 38 4 若dt t t xf x2 0 3 2 4 )(， 则)(xf的单增区间为_
3、, 单减区间为_. 5曲线 x xey的拐点是_ 6微分方程044yyy的通解为_y 三、计算下列各题（每小题6 分，共 36 分） 1计算积分dx x x 2 3 2 )1 ( arctan 2计算积分dx x xx 5 cos sin 3. 计算积分dxex x 2 0 3 2 4. 计算积分 0 cos2x dx 5. 设)(xf连续，在0x处可导，且4)0(,0)0(ff，求 xx dtduuft x t x sin )( lim 3 0 0 0 个人收集整理，勿做商业用途 2 / 38 6. 求微分方程0)2(2 22 dxyxxydy的通解 四.（8 分）求微分方程 x xeyyy
4、223满足条件0,0 00xx yy的特解 五. （8 分）设平面图形D由xyx2 22 与xy所确定， 试求 D绕直线2x旋转一周所 生成的旋转体的体积。 个人收集整理，勿做商业用途 3 / 38 六. （7 分） 设质量均匀分布的平面薄板由曲线C: tty ttx 2 5 2 2 与x轴所围成，试求其质量m 七. （7 分）设函数)(xf在,aa上有连续的二阶导数，且0)0(f，证明：至少存在一 点,aa，使得)( 3 )( 3 f a dxxf a a 个人收集整理，勿做商业用途 4 / 38 2004 级高等数学（ A） （上）期末试卷 一. 填空题（每小题4 分，共 20 分） 1函
5、数 x xf 1 1 的间断点是第类间断点 . 2. 已知xF是xf的一个原函数 , 且 2 1x xxF xf, 则xf . 3. xxx xx dee1 1 1 2005 . 4.设tuuxf xt dd1 0 sin 1 4 , 则0f . 5.设函数0 1 d 2 3 x t t xf x x , 则当x时, 取得最大值 . 二. 单项选择题 ( 每小题 4 分, 共 16 分) 1.设当 0 xx时 ,xx ,都是无穷小0x, 则当 0 xx时 , 下列表达式中不一 定为无穷小的是 (A) x x 2 (B) x xx 1 sin 22 (C)xx1ln (D)xx 2.曲线 21
6、1 arctane 2 1 2 xx xx y x 的渐近线共有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 3.微分方程 x xyyy 2 e2的一个特解形式为y (A) x xbax 22 e (B) x ax 2 e (C) x bax 2 e (D) x xbax 2 e 4. 下列结论正确的是 (A) 若badc, 则必有 b a d c xxfxxfdd. (B) 若xf在区间ba,上可积 , 则xf在区间ba,上可积 . (C) 若xf是周期为T的连续函数 , 则对任意常数a都有 TTa a xxfxxf 0 dd. (D) 若xf在区间ba,上可积 , 则xf在ba
7、,内必有原函数. 三. (每小题 7 分, 共 35 分 ) 个人收集整理，勿做商业用途 5 / 38 1. 3 0 2 0 dcosln lim x ttt x x 2. 设函数xyy是由方程2e 22xy yyx所确定的隐函数, 求曲线xyy在点 2,0处的切线方程. 3.xxxxdcoscos 0 42 4. 1 3 d arctan x x x 个人收集整理，勿做商业用途 6 / 38 5.求初值问题 2 1 0, 10 sin yy xxyy 的解 . 四.(8分)在区间e, 1上求一点, 使得图中所示阴影部分绕 x轴旋转所得旋转体的体积最小. 五. (7 分 )设ba0, 求证 b
8、a ab a b2 ln. 1 e1 XO Y xyln 个人收集整理，勿做商业用途 7 / 38 六.(7分 )设当1x时, 可微函数xf满足条件 0d 1 1 0 x ttf x xfxf 且10f, 试证 : 当0x时, 有1e xf x 成立 . 七.(7分 ) 设xf在区间1, 1上连续 , 且0dtand 1 1 1 1 xxxfxxf, 证明在区间1, 1内至少存在互异的两点 21, , 使0 21 ff. 个人收集整理，勿做商业用途 8 / 38 2005 级高等数学（ A） （上）期末试卷 一填空题（本题共9 小题，每小题4 分，满分36 分） 1 2 2 0 6 0 sin
9、d lim x x tt x ； 2曲线 3 2 2(1) x y x 的斜渐近线方程是； 3设( )yy x是由方程lnlnyyx所确定的隐函数，则 d d y x ； 4设f在区间0,上连续，且 0 ( )sin( )df xxf xx，则 ( )f x； 5设 2 1,0 ( ) e ,0 x xx f x x ，则 3 1 (2)df xx； 6 2 sin d cos x x xx ； 7曲线lnyx相应于13x的一段弧长可用积分表示； 8已知 1 e x y与 2 2 e x y分别是微分方程0yayby的两个特解，则常数 a，常数 b； 9 0 ()0fx是曲线( )yf x以点
10、 00 (,()xf x为拐点的条件。 二计算下列各题（本题共4 小题，每小题7 分，满分28 分） 1设 22 0 ( )sind x f xtxtt，求 ( )fx 2 2 e1 d e4 x x x3 24 0 sinsindxxx x 个人收集整理，勿做商业用途 9 / 38 4 21 d 221 x xxx 三 （本题满分9 分） 设有抛物线 2 :(0,0)yabxab，试确定常数a、b的值， 使得 （1）与直线1yx相切；（2）与x轴所围图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积 最大。 四 （本题共2 小题，满分14 分） 1 （本题满分6分） 求微分方程 22 2e1 de d0 xx
11、 x yxy的通解。 个人收集整理，勿做商业用途 10 / 38 2（本题满分8 分） 求微分方程 2 2e x yyx满足初始条件 9 (0)2,(0) 4 yy的特 解。 五 （本题满分7 分） 试证： （1）设eu，方程 lnxxu在ex 时存在唯一的实根( )x u； （2）当u时， 1 ( )x u 是无穷小量，且是与 ln u u 等价的无穷小量。 六 （本题满分6 分） 证明不等式： 111 ln2111 ln21 3521 nn n ， 其中n是大于1的正整数。 个人收集整理，勿做商业用途 11 / 38 2006 级高等数学（ A） （上）期末试卷 一. 填空题（本题共9 小
12、题，每小题4 分，满分36 分） 1 2 0 0 e d lim (cos1) x t x xt xx ； 2 曲线 2 3 1xt yt 在 2t 对应的点处的切线方程为； 3 函数( )ln(1)f xxx在区间内严格单调递减； 4 设( )yy x是由方程ln1xyy所确定的隐函数，则(0)y； 5 5 1 22 24 1 11d 1 x xxxx xx ； 6设)(xf连续，且 2 0 1 (2)darctan 2 x tfxttx ，已知1)1 (f,则 2 1 ( )df xx； 7已知)(xyy在任意点x处的增量 2 1x xy y，当0x时，是x的 高阶无穷小，已知)0(y，则
13、_)1 (y； 8曲线 1 lneyx x 的斜渐近线方程是； 9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解 3 12 e ,e xx yy，则该方程为 . 二. 计算题（本题共4 小题，每小题7 分，满分28 分） 1计算不定积分 2 arccos d x x xx 2计算定积分 2 0 sindxxx 3计算反常积分 2 1 1 d 1 x x x 4设 31 ( )d 1 x t G xt t ，求 1 0 ( )dG xx 个人收集整理，勿做商业用途 12 / 38 三（本题满分7 分） 求曲线 ln cos 1 sin 2 xt yt 自 0t 到 4 t一段弧的长度。（第 3 页） 四
14、 （本题共2 小题，第1 小题 7 分，第 2 小题 9 分，满分16 分） 1求微分方程 2 sincotyyxyx的通解。 2求微分方程sinyyxx的特解，使得该特解在原点处与直线 3 2 yx相切。 个人收集整理，勿做商业用途 13 / 38 五 （本题满分7 分） 设1a，求积分 1 2 1 ( )e d x I axax的最大值。 六 （本题满分6 分） 设函数)(xf在4,2上存在二阶连续导数，且0)3(f，证明：至 少存在一点4, 2，使得 4 2 ( )3( )dff xx。 个人收集整理，勿做商业用途 14 / 38 2007 级高等数学（ A） （上）期末试卷 5 设 5
15、 ( ) 22 yy xx 是由方程 2 2 00 e dcos d0 yx t ttt 确定的隐函数， 则( )y x 的单调增加区间是，单调减少区间是； 6曲线 2 e x yx的拐点坐标是，渐进线方程是； 7 2222 lim 3123 n nnn nnnn ； 8 23 1 cos2cossindxxxx ； 二. 计算下列积分（本题共3 小题，每小题7 分，满分21 分） 10. 2 22 0 2dxxxx11arctan 1dxx 一. 填空题（本题共9 小题，每小题4 分，满分36 分） 1 2 1 0 lime x x x x； 2设 1 sin x yx，则dy； 3已知(3
16、)2f，则 0 (3)(3) lim sin 2 h fhf h ； 4对数螺线e 在 2 对应的点处的切线方程是； 9二阶常系数线性非齐次微分方程2sinyyx的特解形式为 *y. 12。 2 ecos d x x x 个人收集整理，勿做商业用途 15 / 38 三（ 13） （本题满分8 分） 设 2 0 e , ( ) 0 , x x x f x x x ， 2 2 1 e , 0 2 ( ) 10 , 2 x x F x x x （ ）问)(xF是否为)(xf在),(内的一个原函数？为什么？（2）求( )dfxx 四（ 14） （本题满分7 分） 设 2 sin() ( )d x x
17、xt f xt t ，求 2 0 ( ) lim x f x x . 五（ 15） （本题满分6 分） 求微分方程( cossin 2 )dd0yxxxy的通解 . 个人收集整理，勿做商业用途 16 / 38 六（ 16） （本题满分8 分） 设( )f x、( )g x满足( )( ) ,( )2e( ) x fxg xg xf x，且 (0)0,(0)2fg，求 2 0 ( )( ) d 1(1) g xf x x xx . 七（ 17） （本题满分8 分） 设直线) 10(aaxy与抛物线 2 yx所围成的图形面积为 1 S，它们与直线 1x所围成的图形面积为2S（1）试确定a的值，使1
18、2SS达到最小， 并求出最小值（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 八（ 18） （本题满分6 分） 设 1 2 ( )sind x x f xtt，求证：当0x时， 1 ( )f x x . 个人收集整理，勿做商业用途 17 / 38 2008 级高等数学（ A） （上）期末试卷 5二阶常系数线性非齐次微分方程 2 65e x yyy的特解形式是 * y； 6设是常数，若对0x，有 0 ln dln 2 x x t tx ，则； 8设( )f x是连续函数，且 0 ( )sin( )df xxf xx，则 0 ( )df xx； 二. 按要求计算下列各题（本题共5
19、小题，每小题6 分，满分30 分） 10 3 0 0 sin d lim (1cos ) x x t t t xx 11. 2 224 0 4(1) sin(1) dxxxxx 一. 填空题（本题共9 小题，每小题4 分，满分36 分） 1函数 1 1 ( )2 d (0) x F xt x t 的单调增加区间为； 2已知 2 0 6 0 arctan()d lim1 t t xaxx t ，则a； 3曲线 32 635yxxx的拐点是； 4曲线 3 2 3(2) x y x 的斜渐近线的方程是； 7 2 4 0 sindx x； 9设 2 1 ( )cos d x f xtt，则 1 0 (
20、 )df xx . 个人收集整理，勿做商业用途 18 / 38 12 已知( )fx的一个原函数为(1sin )lnxx，求( )dxfxx (0)(0),(0)(0),(0)(0)pfpfpf。 14。 4 0 1sin2 d 1sin2 x x x 三（ 15） （本题满分8 分） 求微分方程sin2e x yyx满足初始条件 0 1 x y， 0 0 x y的特解 . 13设 2 2 0 sin ( )2d ,( ) 1 x xt fxtp xaxbxc t ，求常数a、b、c，使得 个人收集整理，勿做商业用途 19 / 38 四 （16） （本题满分7 分）设函数f在区间0,)上连续，
21、且恒取正值， 若对(0,)x， f在0, x上的积分（平）均值等于(0)f与( )f x的几何平均值，试求( )f x的表达式 . 五（ 17） （本题满分7 分） 在xOy平面上将连接原点(0,0)O和点(1,0)A的线段OA（即 区间0,1）作n等分，分点记作,0 k k P n ，1,2,1kn ， 过 k P作抛物线 2 yx的切 线，切点为 k Q， （ 1）设三角形 kk PQ A的面积为 k S，求 k S； （2）求极限 1 1 1 lim n k n k S n 个人收集整理，勿做商业用途 20 / 38 六（ 18） （本题满分6 分） 试比较21与ln 1 2的大小，并给
22、出证明. （注：若通过 比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分） 七（ 19） （本题满分6 分） 设( )fx在区间0, 2上连续可导，(0)(2)0ff，求证： 2 0 02 ( )dmax( ) x f xxfx . 个人收集整理，勿做商业用途 21 / 38 2009 级高等数学（ A） （上）期末试卷 1函数 1 ( ) f x xx 的定义域是，值域是； 2设 ln ,0,1 ( )1 ,1 x xx f xx ax ，当a时，( )f x在 1x 处连续； 3曲线 2 2(1) x y x 的斜渐进线的方程是； 4 2 1 2 1 1dxxx ； 5函数 2 2 0 (1)e
23、 d x t ytt的极大值点是 x； 6 d (1) x xx ； 7设( )yy x是由 2 1 ed0 xy t xt 所确定的函数，则 0 d d x y x ； 8曲线族12ee xx xyCC（ 1C,2C为任意常数）所满足的微分方程是； 9 1 1 limsin n n k k nn . 二. 按要求计算下列各题（本题共5 小题，每小题6 分，满分30 分） 10 2 ln sin d sin x x x 11. 2 d (7)2 x xx 12 2 0 cos(sin )cos lim (1 cos ) x xx xx 13 0 d 2cos2 x x 个人收集整理，勿做商业用
24、途 22 / 38 14。 设 2 ( )arcsin(1)fxx，(0)0f，计算 1 0 ( )df xx. 三（ 15） （本题满分8 分） 求微分方程 2 2e x yyx满足初始条件(0)1y， 5 (0) 4 y的特解 . 四（ 16） （本题满分8 分） 设函数( )yfx在区间0,1上可导，在(0,1)内恒取正值，且 满足 2 ( )( )3xfxf xx，又由曲线 ( )yf x与直线1,0xy所围成的图形S的面积为 个人收集整理，勿做商业用途 23 / 38 2，求函数( )fx的表达式，并计算图形S绕y轴旋转一周所得旋转体的体积. 五（ 17） （本题满分6 分） 已知方
25、程 2 2 ln(1) 2 x xa在区间( 1,1)内存在两个互异的实 根，试确定常数a的取值范围 . 个人收集整理，勿做商业用途 24 / 38 六 （18） （本题满分6 分）设( )f x在区间0,1上非负、连续，且满足 2 0 ( )12( )d x fxf tt 证明：对0,1x，有( )1f xx 七（ 19） （本题满分6 分） 设, fCl l，( )f x在 0x 处可导，且(0)0f， （1）求证：(0, ),(0,1)xl，使得 00 ( )d( )d()() xx f ttf ttx fxfx （2）求极限 0 lim x . 个人收集整理，勿做商业用途 25 / 3
26、8 2010 级高等数学（ A） （上）期末试卷 一填空题（本题共9 小题，每小题4 分，满分3 6 分） 1 2 lim ()() x x x xaxb ； 2曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)处的切线方程是； 3曲线 3 2 2 1 x y x 的渐近线方程是； 4若曲线 32 1yxaxbx有拐点( 1,0)，则b； 5函数ln(12 )yx在0x处的n阶导数 ( ) (0) n y； 6设可导函数( )yy x由方程 2 2 00 edsind xyx t txtt确定，则 0 d d x y x ； 7 2 0 cosdxx x ； 8 1 21 d 1 x x xx ；
27、 9微分方程0xyy满足条件(1)1y的特解是. 二.( 本题共 4 小题，每小题7 分, 满分 28 分) 10求极限 2 0 (sinsin(sin)sin lim 1cos x xxx x .11求反常积分 2 1 1 d (1) x xx . 12求定积分 e 1 sin(ln )dxx. 13求不定积分 1 d sin 2 cos x xx . 个人收集整理，勿做商业用途 26 / 38 三(14) （本题满分7 分）设 sin ,0 2 ( ),0,( ) 0, 2 xx f xx xg x x ，分别求0 2 x与 2 x时积分 0 ( ) ()d x f t g xtt的表达式
28、 . 四 （15） （本题满分8 分）求由sin,0 2 yxx yxx 所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转的旋转体的体积. 五 （16） （本题满分 7分） 求微分方程322 e x yyyx满足初值条件(0)0y，(0)0y 的特解 . 个人收集整理，勿做商业用途 27 / 38 六 （17） （本题满分8 分） 设函数( )yy x由参数方程 2 2 (1) ( ) xtt t yt 所确定，其中( ) t 具有二阶导数，且 5 (1),(1)6 2 ，已知 2 2 d3 d4(1) y xt ，求函数( ) t. 七（ 18） （本题满分6 分） 设 , fC a b，,Mm分别是(
29、)f x在 , a b上的最大值和最小 值，证明：至少存在一点 , a b，使得： ( )d()() b a f xxMam b . 个人收集整理，勿做商业用途 28 / 38 答案： 特别说明： 以下内容仅供参考，其实解答题和证明题中，解法很多，并且有些解 法比下面提供的参考答案更简洁。 在一些参考答案后， 我写了些说明，有些没写。 还是希望同学们自己多动脑筋，多思考，多多地动手、动笔去推导去计算。在复 习阶段，相互间多讨论，多交流交流。别的同学有疑问向你求解释时，请耐心的 解答（大学时光很宝贵， 大学同学间的友情也弥足珍贵。每一个人都有困难的时 候，说不定什么时候， 就换作你自己要寻求别人
30、的帮助。这是我作为过来人的体 会） 。当然，问题确实很繁琐时，可以建议他直接找我讨论。谢谢大家。祝大家 复习愉快，考试取得各自理想的成绩，回家开开心心过大年。 2003 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 一、单项选择题（每小题4 分，共 16 分） 1 C 3 D 4 C 二、 （每小题3分，共 18 分） 1 1 2 e； 2 2(cos ) 21 2sin 1 fx x ffe x ；32； 4( 2,0)(2,)，(, 2)(0,2)；5 2 (2, 2)e；6 2 123 () x CCC x e 三、 （每小题6 分，共 36 分） 1 22 arctan1 11 xx C xx
31、 ； 2. 3 4 111 tantan 4cos124 xxC x ； 3. 213 22 e；4 3 ；52；6解为 22(ln | |)yxxC。 四、所求特解 22 22(2 ) xxx yeexx e. 五、 2 2 23 V . 六、 44 3 m. 七 、由 22 11 ( )(0)(0)( )(0)( ) 22 f xffxfxfxfx(在0 与x之间 ) 知 22 11 (0)( )( ) 22 ( ) aaa aaa fxfx dxff x dxx dx ； 又 因fC， 所 以f在 ,a a上存在最大值M和最小值m，于是 222 ( ) (, )mxfxMxxa a, 所
32、以 222 ( ) aaa aaa mx dxfx dxMx dx 323 22 ( ) 33 a a a mfx dxa M ，由推广的积 个人收集整理，勿做商业用途 29 / 38 分中值 定理知，, a a使得 232 ( )( ) 3 a a fx dxa f， 即 3 ( )( ) 3 a a a f xd xf Note：还有别的解法。如“变动的观点” ，构造函数( )( ) x a F xf t dt，原问题等价于证： , a a，使 3 ( )( ) 3 a F aF. 2004 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 一. （每小题4 分，共 20 分） 10,一；2 2 1x
33、 Cx ；3 1 e4 ； 4 1； 5 3 4 3 。 二. 单项选择题 ( 每小题 4 分, 共 16 分) 1 A; 3 D; 4C. 三. (每小题 7 分, 共 35 分 ) 1. 1 6 2.(略) 3. 2 4. 1 2 5.cossincos 2 x yxxxx 四.(8分 ) 2 1 e是旋转体的体积最小的点. 五.(7分 ) 提示： 设t a b , 原不等式等价于 2(1) ln,1 1 t tt t , 即等价于( )(1)ln2(1)0,1f ttttt。 （用函数单调性证明） Note：还有别的构造函数的方法，也有其它解法 六.(7分 ) 提示： 把所给方程转化为微
34、分方程，求解得 e ( ) 1 x C fx x ； 再用函数的单调性和定积分的性质即可。 七.(7分 ) 提示： 记 1 ( )( )d x F xf tt，再用 Rolle 定理。 Note：也有其它解法 2005 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 一11 3 ； 21 1 2 x； 3 1 (1ln)xy ； 4 2 sin 1 x ； 5 1 e 3 ； 60； 7 2 3 1 1 d x x x ； 81,2；9非充分非必要。 二 1 ( )sinfxxx 2 2 1e1 arctanln 14e 228 x x C 3 2 4 ln(12) 个人收集整理，勿做商业用途 30 /
35、 38 三 2 3 a， 3 4 b。 四 1 22 2 ee xx yCx；2 2 1(1) 1e1 24 x x x yx 五 （1）提示 ：设( )lnfxxxu，用零点定理及函数的单调性；（2）提示： 用夹逼定理。 六 设k为 正 整 数 ， 111 1, 212121 kxk kxk ， 三 边 积 分 得 1 111 d 212121 k k x kxk ，左边关于1,2,1kn相加得： 1 1111 dln21 352121 n xn nx ，右边关于1,2,kn相加得： 1 1 1111 1dln21 352121 n xn nx ，所以 111 ln2111ln21 3521
36、 nn n Note：也可以用数学归纳法+中值定理去证 2006 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 一. 1 2 3 ；237yx；3( 1,0)；4 2 e ；5 2 ；6 3 4 ；7 4 e；8 1 yx e ； 9430yyy。 二. 1. 2 arccosxC 2.43. 1 ln 2 2 4. 2 21 3 三 2 ln 12 4 S四 1. 222 cscsin 3 yCxx2. sincos 2 x yxxx 五 22 max 31 1ee 44 II 六证：0)3(f， 2 ( ) ( )(3)(3)(3) 2 f f xfxx，(2,4)，由于( )fx在4,2 上连续
37、，( )fx在 4,2上存在最大值M和最小值m，故 222 ( ) (3)(3)(3) 222 mfM xxx，从而 444 2 222 1 ( )d(3)(3)d( )(3) d 323 mM f xxfxxfxx, 即 4 2 3( )dmf xxM ，由介值定理知至少存在一点4,2，使得 4 2 ( )3( )dff xx Note：还有别的解法。参见03 年的第七题。 个人收集整理，勿做商业用途 31 / 38 2007 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 一. 1 1 2 e；2 1 s i n 2 1111 s i nc o sl nd x xxx xxxx ；3 1； 4 2
38、exy ； 5 35 , 22 ， 3 , 22 ； 6 2 1,e ，0y； 7 3 9 ；84 2； 9. cossinAxxBxx 二. 10. 5 8 ； 11 arctan 1ln22xxxxxC； 12。 2 1 e 2 三 (1)(xF不是)(xf在),(内的一个原函数，因为 1 (0)(00)0 2 FF ， )(xF在),(内不连续 . (2) 2 2 1 e,0 2 ( )d 11 ,0 22 x Cx f xx xCx 四 2 0 ( ) lim1 x f x x 五 si n e2(1si n) x yCx 六 由已知条件知( )( )2e x fxf x，解出( )s
39、incose x fxxx， 从而可求出 2 0 ( )( )1e d 1(1)1 g xf x x xx . Note：求积分时，可采取保持一个不动（比如 () 1 g x x 不动） ，然后让另一个等价变形（朝着 保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。 七 (1) 3 1 22 12 0 1 ( )( )( )()d()d 323 a a aa S aS aSaaxxxxaxx 122 62 S是最小值(2) 21 30 x V 八 提示 ：令 2 ut，则 2 2 22 (1) 3 1coscos(1)1cos ( )d 214 x x xxu f xu xx u
40、 2 2 (1) 3 111111 ( )d 214 x x f xu xxx u 2008 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 个人收集整理，勿做商业用途 32 / 38 一. 1 1 0, 4 ； 23； 3(2,5)； 4 14 33 yx； 5 2 e x Ax；6 2 e ；7. 3 4 ； 8 2 1 ；9. 1 sin1 2 二. 10. 2 3 ； 11. 12.sin( cos1sin)lnxxxxxC 13. 3 2 a, 0b,2c14. 1 ln 2 2 三 1 sincose 22 x x yxx 四 由题意得 0 1 ( )d(0)( ) x f ttff x x
41、 ，0x， 0 ( )d(0)( ) x f ttxff x ， 记( )f xy，则两端对x求导知 3 2 22 (0) yyy xxf ，解得 2 (0) ( ) 1(0) f f x Cfx 。 五. (1) 设(,) kkk Qxy，则由题意得 22 22 241 ,12 1 2 kkkk kkkkk xySy nnnnn (2) 211 1 2 2 0 11 111 lim2 lim12(1)d 6 nn k nn kk kk Sx xx nnnn 六 . 设 2 1 ( )ln(1) 2 fxxxx（或()ln(1)1fxxx） ，由函数单调性可得 21ln 12Note：也有别的
42、解法，而且解法很多 七 法 1： 222 2 0 000 ( )d( )d(1)(1) ( )(1)( )df xxf xxxf xxfxx 2 00202 1 d max( )max( ) xx xxfxfx 法 2: 212 001 ( )d( )d( )df xxf xxf xx 对 1 0 ( )d ,f xx( )(0)( )f xffx，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。 对 2 1 ( )d ,f xx( )(2)( )(2)f xffx， 再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。 法3: （ 函 数 的 观 点 ， 将 2 0 ( )df xx 是 某 个 函 数 在
43、 一 些 定 点 处 的 取 值 , 比 如 令 1 ()( ) x Fxft d t，将 ( )F x分别在 0 1x和 0 2x处一阶 Taylor展开（带Lagrange 余 项，即 2 0000 ( ) ( )()()()() 2 F F xF xFxxxxx,介于x和 0 x间） ，然后在所得两 式中都取1x，再做相应的运算。 Note：构造函数的方法也不是唯一的。 个人收集整理，勿做商业用途 33 / 38 2009 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 一. 1R Z，(1,)；213 11 22 yx42；50； 62arcsinxC； 7e 1；820xyyxy；9 2 .
44、二. 10 cotlnsincotxxxxC； 11. 3 ； 12. 1 3 ； 13. 3 ； 14. 1 42 三 22 111 ()(1)e 242 x yxxx四 2 ( )23f xxx， 1 23 0 17 223d 6 Vxxx 五 设 2 2 ( )ln(1) 2 x f xxa, 则 max (0)0ffa， min 1 ( 1)ln 20 2 ffa，故常数a的取值范围是： 1 ln 20 2 a。 六 令 0 ( )( )d x F xf tt 则 ( ) 1 12( ) Fx F x , 不等式两边对x积分 , 得12( )1F xx, 即 0 ( )12( )d12
45、( )1 x f xf ttF xx 七 (1)记 00 ( )( )d( )d xx F xf ttf tt，用Lagrange中值定理 (2) 由(1)得 00 2 ( )d( )d ()(0)()(0) xx f ttf tt fxffxf xxx ， 因此 00 2 000 ( )d( )d ( )() 2(0) limlimlim 2 xx xxx f ttf tt f xfx f xx 0 1( )(0)()(0) lim(0) 2 x f xffxf f xx . 由于(0)0f，所以 0 1 lim 2 x 。 2010 级高等数学（A） （上）期末试卷答案 一。填空题 ( 本
46、题共 9 小题，每小题4 分，满分36 分) 1e ab ；21yx；32yx；46；52(1)! n n； 61；74； 8 2 3 ；91xy. 二 ( 本题共 4 小题，每小题7 分, 满分 28 分) 个人收集整理，勿做商业用途 34 / 38 10 解 233 000 (sinsin(sin)sinsinsin(sin)sin1 lim2lim2lim 1cos(sin)3 xxt xxxxxtt xxt . 11 解 2 2 12222 11 111111 dd()lnln 2 (1)21212 x xx xxxxx . 12 解 ln e1 1 0 10 11 sin(ln )d
47、e sin de (sincos )(e(sin1-cos1)+1) 22 tx tt xxt ttt . 13 解 2 111111 ddcsc dtanseccsc d sin2 cos2sincos222 xxxxxx x xxxx 11 secln tan 222 x xC（或 11 secln csccot 22 xxxC）. 三(14) （本题满分7 分）解 00 ( ) ()d() ( )d xtu xx f t g xttf xu g uu， 当0 2 x时，因0ux，故0xu，于是 原式 00 0 ()sindcos( cossin )sin x xx xuu uxuuuuxx. 当 2 x时， 原式 2 0 2 ()sind()0d x xuu uxuu 22 00 cos( cossin )1xuuuux 所以， 0 sin ,0 2 ( ) ()d 1, 2 x xxx f t g xtt xx 四（ 15） （本题满分8 分）解 2 2 0 (1sin )d1 8 Axxx， 42 2222 22 00 (sin)d(1cos2 )d 2488 Vxxxxxxx 五（ 16） （本题满分7 分）解 2 12 ee(2)e xxx yCC