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1、数学 高二数学竞赛班二试讲义 第 1 讲多项式的运算与整除 班级姓名 一、知识点金 1设 n 是非负整数，表达式 1 110 nn nn a xaxa xa，其中 i aF（F可以是复数集 C，实数集R，有理数集Q，整数集Z） ，称作系数为F的一元多项式。这样的一元多项 式的集合记作 F x。 i a 为i次项的系数，若0ia，则 n n a x为多项式的首项， n a 为首项系数，n为多项式的次 数，记作deg( )degnfxf。若( )f x与( )g x中同次项的系数相等，则( )( )f xg x。 2 F x中的多项式可作加、减、乘运算。设 0 ( ) n i i i f xa x
2、 ， 0 ( ) m i i i g xb x ，则 01 1110 0 ( ) ( ), m n i iirsiiii irs i f x g xc x ca ba ba ba ba b 3带余除法： 设( ),( ) f xg xF x，且( )0g x，则存在 F x中多项式( )q x与( )r x， 使得( )( ) ( )( )f xg x q xr x，其中( )r x或者为零，或者degdegrg；并且商式( )q x和 余式( )r x由这些条件唯一确定。 4仿照数论中的带余除法可求得( ),( ) f xg xF x的最大公因式( )d x，记作 ( )( ),( )d x
3、f xg x。存在( ),( ) xxF x，使得( )( )( )( )( )f xxg xxd x 5当( ),( )1f xg x时，则称( )f x与( )g x互素。 裴蜀等式： 若( )f x与( )g x互素，则存在( ),( )xx，使得( )( )( )( )1f xxg xx。 6设( ) p xF x，且( )p x不能分解为F上两个正次数多项式的积，则称( )p x是 F x中 不可约多项式，或在 F上不可约；否则称( )p x 在F上可约。 7唯一分解定理： F x中任一个正次数的多项式( )f x可分解为 F x中有限个首项系数为 1 的不可约多项式与F中常数之积。
4、 8若两个多项式( )f x与( )g x的同次幂的系数均关于模p同余， 则称( )f x和( )g x对模p 同余，或模p恒等，记作( )( )(mod)f xg xp。 9设p是一个素数，( ) f xZ x，则有( )()(mod) pp fxf xp 证明：因为 p是一个素数，由费尔马小定理，有(mod) p xxp，则(mod) p ii aap， 又 1 1 kk pp kCpC，所以| k p p kC，又( ,)1k p，所以| k p p C。 设 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xaZ x 11 110110 ( )()()() pnnppn pknp
5、knk nnnpnn fxa xaxa xaa xCa xaxa xa 11 110110 ()() npn pnp nnn axa xaa xaxa xa (1) 110 ()(mod) n pnppp nn a xaxa xaf xp 数学 注： 反复用( )()(mod) pp fxf xp可得( )()(mod) kk pp fxf xp 二、例题分析 例 1将多项式 42 323xxx表示为两个次数不等的整系数多项式的平方差。 例 1解：设 42222 323()()xxxxaxbcxd，则 424322222 3232(2)(22)xxxxaxabcxabcd xbd 由多项式相等
6、的定义得出， 2222 20,23,222,3aabcabcdbd， 可解出0,2,1,1abcd，即 2 ( )2,( )1f xxg xx 例 2求出所有满足 22 ()( )f xfx的实系数多项式( )f x。 例 2解：设 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xaR x ，其中0na。我们证明 110 0 n aaa。假设(0,1,1) i a in不全为0，设kn是使0 k a的最大下 标，由 22 ()( )f xfx，得 2222 1010 () nknk nknk a xa xa xaa xa xa xa ， 比较 n k x 的系数，得出02 nka a，这
7、与0na，0ka矛盾！因此上述的断言正确，即 ( ) n n f xa x，又 2 nn aa，则1na，所以( ) n f xx 例 3设0n是整数，证明：多项式 212 (1) nn xx被 2 1xx整除 例 3对n归纳，当0n时结论显然成立。设结果在1n时成立，即 2 1xx整除 211 (1) nn xx，则（用归纳假设） 212 (1) nn xx 2211212 (1) (1)(1) nnnn xxxxxx 221121 (1) (1)(1) nnn xxxxxx被 2 1xx整除。 即结论对n也成立。 例 4设n为正整数， 证明： 21 2222321 (1)(1)(1)(1)
8、1 nn xxxxxxxx 例 4 22 222222 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 1 nn x xxxxxxxx x 11 1 22321 2321 1(1)(1) 1 11 nn n xxxxxx xxxx xx 例 5设 432 ( )32f xxxxx。求多项式( ) n fx中 3 x项的系数。 例 5 432432432 ( )(32)(32)(32) n n fxxxxxxxxxxxxx 个 由多项式乘法的定义易知， 3 x有三种方式产生：其一是上式右边一个因式中的 3 x与其余因 式的常数项相乘，这共产生了n个 3 x；其二右边一个因式中的 2 x，另
9、一个因式中的x及其 余因式的常数项相乘，这共产生(1)n n个 3 x；其三右边三个因式中的x及其余因式的常数 数学 项相乘，这共产生 3 n C个 3 x。 所以 3 x项的系数为 1233 23 (1) 22 nnn n nn nC。 三、同步检测 1设 7 ( )1f xx， 3 ( )1g xxx，求( )f x被( )g x除得的商式和余式。 1商式是 42 1xxx，余式是 2 22x。 2在 R x中，将 43 1xxx表示为两个不同次数的多项式的平方差。 2解：设 43222 1()()xxxxaxbcxd，则 434322222 12(2)(22)xxxxaxabcxabcd
10、 xbd 由多项式相等的定义得出， 2222 21,20,221,1aabcabcdbd， 可解出 13 ,1,0 22 abcd，即 4322213 1(1)() 22 xxxxxx 3设(2) ( )( )|( ),( ) SxxxxxxZ x。证明：不存在( )d xS，使S中所 有多项式被( )d x整除。 3注意S中多项式的常数项均是偶数，如果S中存在所说的( )d x，当常数项为0 时，则 ( ) |d xx，当常数项不为0 时，则又有( )| 2d x，这是不可能的。 4 （ i）设( ),( ) f xg xZ x，p是素数。证明：若( ) ( )0(mod)f x g xp，
11、则 ( )0(mod)f xp或( )0(mod)g xp。 （ii ） 若m是合数，则存在( ),( ) fx g xZ x， 使得( )0(mod)f xm，( )0(mod)g xm， 但( ) ( )0(mod)f x g xm。 4 （ i）如果结论不对，可设( ),( )f xg x模p的次数分别为n和m，则( ) ( )f x g x中 n m x 的 系数不被p整除，从而( ) ( )0(mod)fx g xp。 （ii ）设mab，,a b均是大于1 的整数，则( )f xax与( )g xbx，均有 ( )0(mod)f xm，( )0(mod)g xm， 但显然 2 (
12、) ( )0(mod)f x g xabxm 数学 5试确定两个多项式 23 100 (1)xx与 23100 (1)xx中，哪一个的 20 x的系数较大。 5设 23100 ( )(1)f xxx， 23 100 ( )(1)g xxx，由于 2020 ()xx，故( )f x与( )g x 中 20 x的系数，分别与()fx及()gx中 20 x的系数相同。因 23 100 ()(1)fxxx是非 负系数的多项式，其展开式中诸 20 x的系数均为1，设共有n个 20 x项，则()fx中 20 x的系 数为n；而在 23 100 ()(1)gxxx的展开式中 20 x项的个数也为n，诸 20
13、 x的系数为1， 又易知必有 1， 因此()gx 中 20 x的系数小于n。 从而( )f x中 20 x的系数大于( )g x中 20 x的 系数。 6(1990 年巴尔干数学奥林匹克）研究由等式 2222 0122 (2) nn n aa xa xaxxxnx 所确定的多项式，证明： 2 122 (1)(552) 24 nnn n nnn aaa 6当nk时，先计算 ka ，比较两端k次项的系数，得 1 (1)2 (2)()(1) 1 k akkrkrk 1 (1)2 (2)()(1) (1)kkrkrkkk 222 12(1)12(1) kkk 2222 12(1)12(1)kkkkk 3 1 (1)(1)(21)(1) (1) 266 k k kk kkkk k kC 所以 3334334 013414412 0 00 n knnnn k aaaaCCCCCCC 在中令1x，得 222 422 2 0011 (1) (12)() 2 nnnn kkknk kkknkn n n aaaCan 所以 2 24 1222 (1)(1)(552) () 224 nnnn n nn nnn aaaC