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1、- 1 - 抛物线 【三年高考】 1. 【 2017 课标 1，理 10】已知F为抛物线C：y 2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1， l 2，直线 l 1与C交于 A、B两点，直线l 2与C交于 D、E两点，则 |AB|+|DE| 的最小值为 A16 B14 C12 D10 【答案】 A 2. 【 2017 课标 II ，理 16】已知F是抛物线C: 2 8yx的焦点，M是C上一点，FM的延 长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。 【答案】 6 【解析】 如图所示， 不妨设点M位于第一象限， 设抛物线的准线与 x轴交于点 F，做MBl 与点B，NAl与点A，由抛物线的解析式可
2、得准线方程为2x，则2,4ANFF， 在直角梯形ANFF中，中位线 3 2 ANFF BM，由抛物线的定义有：3MFMB， 结合题意，有3MNMF，线段 FN的长度：336FNFMNM。 3. 【2017 北京，理18】已知抛物线C：y 2=2px 过点P（1，1）. 过点（ 0， 1 2 ）作直线l与抛 - 2 - 物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O 为原点 . （）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）求证：A为线段BM的中点 . 【解析】（）由抛物线C： 2 2ypx过点P（1，1） ，得 1 2 p. 所以抛物线C的方程为
3、 2 yx. 抛物线C的焦点坐标为（ 1 4 ，0） ，准线方程为 1 4 x. （）由题意，设直线l的方程为 1 2 ykx（0k） ，l与抛物线C的交点为 11 (,)M xy， 22 (,)N xy. 由 2 1 2 ykx yx ， 得 22 4(44)10k xkx . 则 12 2 1k xx k ，12 2 1 4 x x k . 因为点 P的坐标为（1， 1） ，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为 11 (,)xy. 直线ON的方程为 2 2 y yx x ，点B的坐 标为 21 1 2 (,) y y x x . 因为 21122112 11 22 2 2 y yy yy
4、 yx x yx xx 122112 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x x 1221 2 1 (22)() 2 kx xxx x 22 2 11 (22) 42 k k kk x 0，所以 21 11 2 2 y y yx x .故A为线段BM的中点 . 4. 【 2017 浙江， 21】如图，已知抛物线 2 xy，点A 1 1 () 2 4 ， 3 9 () 2 4 B，抛物线上的点 ) 2 3 2 1 )(,(xyxP过点B作直线AP的垂线，垂足为Q - 3 - （）求直线AP斜率的取值范围； （）求|PQPA的最大值 【解析】（）设直线AP的斜率为k，则 2 1 2 1 4
5、 1 2 x x x k， 13 22 x ，直线AP斜 率的取值范围是) 1 , 1( （）联立直线AP与BQ的方程 11 0, 24 93 0, 42 kxyk xkyk 解得点Q的横坐标是 ) 1(2 34 2 2 k kk xQ，因为 |PA|= 21 1() 2 kx =) 1(1 2 kk，|PQ|= 1 ) 1)(1( )(1 2 2 2 k kk xxk Q ，所以 |PA|PQ|= 3 ) 1)(1(kk 令 3 )1)(1()(kkkf，因为 2 ) 1)(24()( kkkf，所以f(k) 在区间) 2 1 , 1(上单 调递增，)1 , 2 1 (上单调递减，因此当k=
6、 1 2 时，|PQPA取得最大值 27 16 5. 【2016 高考新课标1 卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点 , 交C的准线于D、 E两点 .已知 |AB|=4 2,|DE|=2 5, 则C的焦点到准线的距离为 - 4 - (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】 B 【解析】如图, 设抛物线方程为 2 2ypx,AB DE交x轴于,C F点, 则2 2AC, 即A点 纵坐标为2 2, 则A点横坐标为 4 p , 即 4 OC p , 由勾股定理知 2222 DFOFDOr, 2222 ACOCAOr, 即 2222 4 (5)()(22)() 2 p p , 解得 4p, 即C的焦点到准线的距离为4, 故选 B. 6. 【 2016 高考浙江理数】若抛物线y 2=4x 上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 _ 【答案】 【解析】1109 MM xx 7. 【 2016 高考天津理数】设抛物线 2 2 2 xpt ypt ， （t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过 抛物线上一点A 作l的垂线，垂足为B. 设C（ 7 2 p,0 ） ，AF与BC相交于点E.若 |CF|=2|AF| ，且ACE的面积为 3 2，则p的 值为 _. 【答案】 6