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1、- 1 - 推理与证明 【三年高考】 1. 【 2017 课标 II ，文 9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师 说，你们四人中有2 位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁 看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A.乙可以知道两人的成绩 B.丁可能知道两人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】 D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的 结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D. 2. 【 2017 北京，文1
2、4】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （）男学生人数多于女学生人数； （）女学生人数多于教师人数； （）教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_ 该小组人数的最小值为_ 【答案】 6,12 【解析】设男生数，女生数，教师数为, ,a b c，则2, , ,cabc a b cN，第一小问： max 846abb， 第二小问： min 3,635,412.cabababc 3. 【 2016 高考新课标2 文数】有三张卡片，分别写有1 和 2，1 和 3，2 和 3. 甲，乙，丙三 人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后 说：“我与乙的卡片上相
3、同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的 数字不是1”， 丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_. 【答案】 1 和 3 【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1 和 3，乙的卡片上数字为2 和 3，丙卡片上数字 为 1 和 2. 4. 【2016 高考山东文数】观察下列等式： - 2 - 2224 (sin)(sin)1 2 333 ； 22222344 (sin)(sin)(sin)(sin)23 55553 ； 22222364 (sin)(sin)(sin)(sin)34 77773 ； 22222384 (sin)(sin)(sin)(sin
4、)45 99993 ； 照此规律， 2222232 (sin)(sin)(sin)(sin) 21212121 n nnnn _ 【答案】 4 1 3 nn 【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是 4 3 ，接下来是和项数有关的两项的乘积，即 1n n，故答案为 4 1 3 nn 5. 【2015 高考陕西，文16】观察下列等式： 1 11 22 1 11111 23434 1 11111111 23456456 据此规律，第n个等式可为 _. 【答案】 11111111 1 234212122nnnnn 【2017 考试大纲】 1. 合情推理与演绎推理 (1) 了解合情推理的含义, 能利
5、用归纳和类比等进行简单的推理, 了解合情推理在数学发现中 的作用 . (2) 了解演绎推理的重要性, 掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单推理. (3) 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. - 3 - 2. 直接证明与间接证明 (1) 了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点. (2) 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点. 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明 与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面 面
6、的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命 题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及 和渗透，但单独出题的可能性较小. 【2018 年高考复习建议与高考命题预测】 推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般 包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索 和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法 是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过 程，要很好地掌握其原理并灵活运
7、用. 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何 与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化 归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能 力，表 述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强 选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题 型，并且经常作为压轴题出现. 预测 2018 年高考可能会有题目用到推理证明的方法. 复习建 议： 推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理 的解题思路 . 【2018 年高考考
8、点定位】 高考的考查：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明等内容，其中推理中的合情推理、 演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、 解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何 等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小； 【考点 1】合情推理与演绎推理 - 4 - 【备考知识梳理】 1. 合情推理 (1) 定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜 想的推理叫做合情推理 (2) 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推
9、出该类事物的全部对象具有这些特征 的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理； 归纳推理的分类 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 a. 数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与 序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等； b. 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的分类: 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类
10、比方法 a. 类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解； b. 类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求 解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键； c. 类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题 的求解中，注意知识的迁移 2. 演绎推理 (1) 定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理演绎推理 的特征是：当前提为真时，结论必然为真. (2) 模式：三段论 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 (3) 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理 【规律方法技巧】 1. 归纳推理与类比推理之区别：(1) 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理在进 行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出