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1、1 专题 26 含参不等式的存在性与恒成立问题 【高考地位】 含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不 等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解 决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空 题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】 方法一判别式法 使用情景：含参数的二次不等式 解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式； 第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论； 第三步得出结论 . 例 1 设 22)( 2 mxxxf，当)
2、, 1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围 . 1 2 2 0)1( 0 m F解得23m。 综上可得实数m的取值范围为)1 , 3. 【点评】一般地，对于二次函数),0()( 2 Rxacbxaxxf, 有1）0)(xf对Rx恒成立 0 0a ；2）0)(xf对Rx恒成立 0 0a . 例 2 若 fx 为二次函数，-1 和 3 是方程04xxf的两根，10f. 2 （1）求 fx 的解析式； （2）若在区间1,1上，不等式2fxxm有解，求实数m的取值范围 . 【答案】（1） 2 1fxxx； （2）,5m. （2）在区间1 , 1上，不等式2fxxm有解， 2 31mxx在区间1
3、,1上有解， 故只需m小于函数 2 31g xxx在区间1 ,1上的最大值， 由二次函数可知当1x时，函数g x取最大值5, 实数m的取值范围为5， 考点： 1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题. 【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考 3 查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为 max mg x来求参数m的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系 来解题 . 【变式演练1】已知函数) 1(lg 22 axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。 【答案】
4、), 3 1 ()1,(. 【解析】由题设可将问题转化为不等式0)1( 22 axax对Rx恒成立，即有04) 1( 22 aa 解得 3 1 1aa或, 所以实数a的取值范围为), 3 1 ()1,(. 【变式演练2】已知p： 1 x和 2 x是方程 2 20xmx的两个实根， 不等式 2 12 53 |aaxx对任意实 数 1,1m 恒成立；q：不等式 2 210axx有解，若p为真，q为假，求a的取值范围 【答案】1a 当0a时，显然有解， 当0a时， 2 210axx有解， 4 当0a时， 2 210axx有解， 440a，10a， 不等式 2 210axx有解时1a， q假时a的范围
5、为1a， 由可得a的取值范围为1a 考点：命题真假性的应用 方法二分离参数法 使用情景：对于变量和参数可分离的不等式 解题模板：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步先求出含变量一边的式子的最值； 第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论. 例 3 已知函数 2 lnfxkxx，若0fx在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是（） A 1 ,e e B 11 , 2e e C 1 , 2e D 1 , 2e 【答案】 D 考点：函数的恒成立问题 【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导 数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题 和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒 成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键含参不等式分离参数后的形式因题、