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1、1 专题 04 函数的零点与方程的根的解题方法 一命题陷阱： 1复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱） 2函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱） 3. 函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱） 4. 函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱） 5. 函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱） 6. 方程的根的求解问题 7. 分段函数的零点问题 8. 零点问题中新定义问题 9. 零点与导数、数列等的综合 二、陷阱典例及训练 1复合函数陷阱（忽视定义域陷阱） 例 1. 已知函数 ,1 1,1 2 lnx x fx x x ，若1F xff xm有两个零点 12 ,x x，则 12 x
2、x的取值范围 是（） A. 42ln2, B. e, C. ,42ln2 D. ,e 【答案】 D 【解析】如图， 所以0fx，令1tfx，则1t， 又1F xffxm有两个零点， 则ln0f tmtm有解，则存在解 0 1t， 2 又 120 1fxfxt， 【陷阱防范措施】注意复合函数性质的使用，并注意定义域限制 练习1. 设函数 4 310 log0 x x fx xx ， ， , 若关于 x的方程 2 230fxafx恰好有六个不同的 实数解 , 则实数a的取值范围为（） A. 2 32 2 32， B. 3 2 32 2 ， C. 3 , 2 D. 2 32, 【答案】 B 【解析】
3、 作出函数 4 31,0 log,0 x x fx x x 的图象如图，令fxt，则方程 2 230fxafx化为 2 230tat，要使关于x的方程 2 230fxafx，恰好有六个不同的实数根，则方程 2 230fxafx在1,2内 有 两 个 不 同 实 数 根 ， 2 2 2 2120 2 12 2 12130 22230 a a a a ， 解 得 3 3 2 32, 2 a实数a的取值范围是 3 2 32, 2 ，故选 B. 【思路总结】已知函数有零点( 方程有根 ) 求参数取值范围的三种常用的方法：(1) 直接法：直接根据题设条 件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
4、；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数 值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后 数形结合求解一是转化为两个函数,yg xyh x的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象， 其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为,ya yg x的交点个数的图象的交点个数问题 . 练习 2已知函数 0 1 0 k x fxx lnxx ， ， ，若关于x的方程0ffx 有且只有一个实数解，则实数k的 取值范围为（） A. 1 00， B. 00 1， C. 1 00 1， D. 11， 【答案】 A 作出函数f （x）的图象，由图象知当x0
5、 时，1f xlnx（ ）有一个解， 则等价为当x0 时， f （x）= 1 k x =1 无解，即若k0，满足 1 k x =1 无解， 若 k 0，则函数f （x）= 1 k x 在 x0 时为增函数，则函数的最大值为0fk（ ）， 此时只要满足1k，即10k ，即可， 综上实数k 的取值范围是（1，0）（ 0，+） ，故选： A 4 【思路总结】 ：本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决 本题的关键利用数形结合以及分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度 练习 3 设函数 2 ( )3 x f xxe，若函数 2 6 16 G xfxafx e 有 6 个不同的零点， 则实数a的取值 范围是（） A. 33 826 , 3ee B. 33 426 , 3ee C. 3 8 , e D. 3 26 , 3e 【答案】 A 故答案为A。 练习4. 已知 x x fxxR e ，若关于x的方程 2 10fxmf xm恰好有 4 个不相等的实数