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1、1 第 21题函数零点的性质问题 I 题源探究黄金母题 【例 1】求函数( )ln26f xxx的零点的个数 【答案】 1 【解析】fx的定义域为 0, ,2ln24603ln3660ff由零点 存在性定理知fx有零点又 1 20,fxfx x 在0,上是单调递增函数，fx只有一个零点 精彩解读 【试题来源】 人教版 A版必修 1P88例 1 【母题评析】 本题考查了零点存在性定理、 函数零点个数的判断 【思路方法】 判断函数是否存在零点可用零 点存在性定理或利用数形结合法而要判断 函数有几个零点，还需要借助函数的单调 性 II 考场精彩真题回放 【例 2】 【2017 高考山东卷】已知当0,
2、1x时，函数 2 1ymx的图象与 yxm的图象有且只有一个交 点，则正实数m的取值范围是（） A0,12 3, B0,13, C0,22 3, D0, 23, 【答案】 B 【解析】当01m时， 1 1 m ， 2 (1)ymx单调递减， 且 22 (1)(1) ,1ymxm，yxm单调递增，且 ,1yxmmm，此时有且仅有一个交点；当1m 时， 1 01 m ， 2 (1)ymx在 1 ,1 m 上单调递增，所以要 有且仅有一个交点，需 2 (1)13mmm，故选 B 【例 3】 【2016 高考天津卷】已知函数f（x） = 2 (4,0, log (1) 1 3 ,0 3) a xaxa
3、 xx x （a0，且a1）在 R上单调递 减，且关于x的方程|( ) |2f xx恰好有两个不相等的实数 解，则a的取值范围是（） A 2 0, 3 B 2 3 , 3 4 【命题意图】 本题主要考查分段函数的零点 问题本题能较好的考查考生分析问题、 解决问题的能力，以及数形结合、转化与化 归能力等 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常 基本以选择题或填空题的形式出现，难度较 大 【难点中心】 已知函数有零点求参数取值范 围常用的方法和思路 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参 数的不等式，再通过解不等式确定参数范 围； (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求 函数值域问题加以
4、解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一 平面直角坐标系中，画出函数的图象，然 后数形结合求解 2 C 1 23 , 3 34 D 1 23 , 3 34 【答案】 C 【解析】由( )f x在R上递减可知 340, 13 31,01,34 a a aa ， 由方程|( )|2f xx恰好有 两个不相等的实数解，可知 1 32,12a a ， 12 33 a， 又 3 4 a时，抛物线 2 (43)3yxaxa与直线 2yx相切，也符合题意，实数a的去范围是 1 23 , 3 34 ，故选 C 【例 4】【2016 高考山东卷】 已知函数 2 , 24 , x xm f x xmxm
5、 xm 其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三 个不同的根，则m的取值范围是 _ 【答案】3, 【解析】画出函数图象如下图所示： 由图所示，要fxb有三个不同的根，需要红色部分图象 在深蓝色图象的下方，即 222 24,30mmmmmm， 解得3m 【命题意图】 本题主要考查二次函数函数的 图象与性质、 函数与方程、 分段函数的概念， 考查学生分析问题与解决问题的能力 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常 基本以选择题或填空题的形式出现，难度较 大，往往是高中数学主要知识的交汇题 【难点中心】 解答这类问题的关键在于能利 用数形结合思想，通过对函数图象的分析， 转化得到代
6、数不等式本题能较好的考查考 生数形结合思想、转化与化归思想、基本运 算求解能力等 III理论基础解题原理 函数零点、方程的根、函数图象交点的相互转化： 有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： 3 （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是 否存在零点； （2）方程的根：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析 的函数，为作图做好铺垫； （3）函数图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间 三者转化：函数 fx 的零点方程 0fx 的根 方程变形 方程g
7、x h x 的根函数g x与 h x的交点 IV题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性较强，难度较大 【技能方法】 1已知函数有零点求参数取值范围常用的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 2此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图 象； （2）确定变量
8、范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围； （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值 【易错指导】 对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数fx在, a b上连续；（2）满足0fafb 上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解 另外需要注意的是： （1）若函数fx的图象在 0 xx与x轴相切，则零点 0 x通常称为不变号零点； （2）函数的零点不是点，它是函yfx数与x轴的交点的横坐标，是方程0fx的根 V举一反三触类旁通 考向 1 函数零点所在区间的判断 【例 1】 【2018 豫西南部分示范高中高三第一学期联考】函数 2 2 lnf
9、xx x 的零点所在的区间为（） A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 【答案】 B 【解析】由题干知道原函数是增函数，故可以根据零点存在定理得到： 4 1 10 ,2ln2ln2ln0 2 ffe，故两点存在于1,2上，故选 B 【例 2】 【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知函数 (0),ln x fxxx xg xxe h xxx的零点分别为 123 ,x xx，则 A 123 xxx B 213 xxx C 231 xxx D 312 xxx 【答案】 C 【解析】根据函数yx分别与,ln x yx yeyx图像交点，可知选C 【跟踪练习】 1 【 2018 河南省天一大联考】函数的零点位于区间（） A B C D 【答案】 C 【解析】，所以由零点存在定理得零点位于区间，选 C 2 【 2018 湖北部分重点中学上学期第一次联考】函数e43 x fxx的零点所在的区间为（） A 1 ,0 4 B 1 0, 4 C 1 1 , 4 2 D 1 3 , 2 4 【答案】 C 考向 2 由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围 【例 3】 【2018 四川绵阳高三第一次诊断性考试】已知是函数的零点，是函数 的零点，且满足，则实数的最小值是（）