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1、应用数学习题集 第三章积分及其应用 一.选择题 1若)(xF和)(xG都是)(xf的原函数，则dxxGxF)()( 是( C )。 A、零；B、常数；C、一次函数；D 、不一定。 2已知在 (a,b)内，)( )( xgxf，那么 ( A ) 不一定成立。 A、)()(xgxf；B、)()(xdgxdf； C、Cxgxf)()(；D、dxxgddxxfd)( )( 。 3已知在 (a,b)内dxxgdxxf)( )( ，那么 ( A )不一定成立。 A、)()(xgxf；B、)()(xdgxdf； C、)( )( xgxf；D、dxxgddxxfd)( )( 。 4x 的原函数是（D ） 。
2、A 1 ；B 2 x；C 2 2 1 x；D Cx 2 2 1 。 5Sinx的原函数是（D ） 。 A cosx ；B cosx ；C cosx+C；D cosx+C。 6dxx)(ln= （B ） 。 A lnx ；B lnx+C；C lnxdx；D x 1 。 7dxx)(tan= （B ） 。 A tanx；B tanx+C；C tanxdx；D sec 2x 。 8设)(xF是)(xf在某区间内的一个原函数，C 是任意常数，则（C ）也是)(xf的原函数。 A )(CxF；B )(xCF；C CxF)(；D )(xCF。 9若)()( xfxF，则（B ）成立。 (02-03电大试题
3、 ) A.CxfdxxF)()( ；B.CxFdxxf)()(； C.CxfdxxF)()(；D.CxFdxxf)()( 。 10 dx x x 2 2 1 = （B ） 。 A x+arctanx+C；B x-arctanx+C； C 2x+arctanx+C；D x 2 arctanx+C 。 11 若C x dxxf 2 sin)(，则)( xf（B ） 。 A 2 sin 4 1x ；B 2 sin 4 1x ；C 2 cos 2 1x ；D 2 cos 2 1x 。 12 若 b a dxxf)(存在，则下列关系中错误的是（C ） 。 A b a dxxf)(=- a b dxxf)
4、(；B b a dxxf)(= b a duuf)(； C a a dxxf)(=0 ；D a a dxxf)(=0 。 13 以下结论错误的是（A ） 。 A 若 a a dxxf0)(，则 f(x) 必是奇函数；B b c b a c a dttfdttfdttf)()()(； C b a a b dxxfdxxf0)()(；D 若 f(x) 是-a,a上的偶函数，则 a a a dxxfdxxf 0 )(2)(。 14 设eedxxf x )(，则dxxxf)( D )。 A、Cxe x )1(；B、Cxe x )1(； C、Cxe x )1(；D、Cxe x )1(。 15 设CxFd
5、xxf)()(，则dxefe xx )( C ) 。 A、CeF x )(；B、CeF x )(；C、CeF x )(；D、CeF x )(。 16 积分和式 n i ii xf 1 )(决定于（C ）所给的条件： A、)(xf和,ba；B、 i 取法与 i x分法； C、)(xf、,ba、 i取法与i x分法；D、)(xf和 i x分法。 17 设)(xf在,ba上连续，则)()(abfdxxf b a 中，的取法为（B ） ： （积分中值定理） A、ba；B、ba；C、a；D 、b。 18 下列积分中不可直接使用Newton-Leibniz公式的是（A ） 。 A 1 1 1 dx x ；
6、B 1 0 2 10dx x ；C 1 1 2 )3(x dx ；D 2 1 )13(dxx 。 19 下列积分中不可直接使用Newton-Leibniz公式的是（C ） 。 A 1 1 2x dx ；B dx x 2 1 2 1 ；C 0 tanxdx；D 0 )cos(sindxxx。 20 / 0 )( x dttf=（D） ： A、0； B、)()0(xff； C、)(xf；D、)(xf。 21 1 1 |dxx= （B ） 。 A 2 ；B 1 ；C 0 ；D 2。 22 2 0 |sin|dxx（C ） 。 A 0 ；B 2 ；C 4 ；D 4。 23 若 2 1 0 dxe ax
7、 ，则 a= （C ） 。(02-03电大试题 ) A.1 B. 2 1 C.2 D.-1 。 24 由曲线)(xfy和直线 x=a ，x=b及 y=0所围成的平面图形的面积为（D ） 。 A b a dxxf)( ；B b a dxxf)( ；C |)(| b a dxxf ；D b a dxxf| )(| 。 二.填空题： 1函数)(xf的一个原函数)(xF的图象叫做函数)(xf的一条积分曲线。 2)(xF是)(xf的一个原函数，若)(xF的图象是一条抛物线，那么)(xf的图象是一条直线。 3不定积分dxxf)(中，被积表达式是dxxf)(。 4不定积分dxxg)(中，被积函数是)(xg。
8、 5因为0)(Cd，所以dx0= C 。 6设)(xF、)(xG都是)(xf在区间 (a,b) 内的原函数，若 3 )(xxF，则)(xG=Cx 3 。 7设)(xF、)(xG都是)(xf在区间 (a,b) 内的原函数，则)()(xGxF= C 。 8用分部积分法求xdxln时，若设xuln，则公式中v= x 。 9用分部积分法求xdxx arctan时，若设xuarctan，则公式中v= 2 2 1 x。 10 dx x ex 2 1 =Ce x 1 。 11 )(xdex x =Cxe x )1(。 12 2 1x xdx =Cx )1ln( 2 12 。 13 dx x xf 2 cos
9、 )(tan =Cxf)(tan。 14 曲线xysin在,0上和 x 轴围成图形的面积用定积分可表示为 0 sin xdx。 15 曲线xycos在,上和 x 轴围成图形的面积用定积分可表示为 2 2 cosxdx。 16 若 2 2 m dx，则m= 4 。 17 若m0 ，且1 1 1 dx x m ，则m=e。 18 1 4 1 dx x = 3 1 。 19 0 2 1x dx = 2 。 20 0 dxe x = 1 。 21 若 2 0 sin)( x tdtxf，则)( xf= 2 sin2xx。 三、解答题： 1求不定积分dx e e x x 1 1 2 。 解： Cexxe
10、x e ee x e e xx x xx x x d)1(d 1 )1)(1( d 1 1 2 。 2求不定积分dx x xx 2 lnln1 。 解：Cxxxxxxx x xx 322 2 ln 3 1 ln 2 1 ln)lnd()lnln1(d lnln1 。 3求不定积分dxa nmx 。 解：C am a nmxa m xa nmx nmxnmx ln )(d 1 d。 4求不定积分xdxe x cos sin 。 解：Cexexxe xxxsinsinsin )sind(dcos。 5求不定积分 dxex x2 。 解：)d2()(dd 222 xxeexexxex xxxx )d
11、(2)(d2 22 xexeexexex xxxxx Cxxexexeex xxxx )22()(d22 22 6求不定积分xdxe x cos。 解： xxexexexxe xxxx dsinsin)(sinddcos xxexexexcexe xxxxx dcoscossin)osd(sin 所以， xxe x dcos Cxxe x )cos(sin 2 1 。 7计算不定积分dxxx)1sin(。 解： xxxxxxxxxd)1cos()1cos()1cos(dd)1sin( Cxxxxxxx)1sin()1cos()1 (d)1cos()1cos(。 8如果函数)(xf的一个原函数是
12、 x xsin ，试求 dxxxf)( 。 解 ： 设 函 数)(xf的 一 个 原 函 数 是)(xF， 则 x x xF sin )(， 2 sincos )( x xxx xf。 所 以 ， Cxxx x CxFxxfdxxfxxfdxxxf)sin2cos( 1 )()()()()( 。 9计算函数 x x ttx sin cos 2 d)1 ()( 的导数。 解： x x x x ttttttx sin 0 2 0 cos 2 sin cos 2 d)1 (d)1(d)1 ()( xx tttt sin 0 2 cos 0 2 d)1(d)1( 所以，xxxxxxx 3322 cos
13、sincos)sin1(sin)cos1()( 。 10 求极限 0 lim x 2 0 2 darctan 1 x tt x 。 解： 2 0 2 0 0 0 darctan 1 lim x x tt x 型0arctanlim 2 2arctan lim 0 2 0 x x xx xx 。 11 计算定积分 0 d|cos|xx。 解： 2 2 0 2 2 00 dcosdcosdcosdcosd|cos|xxxxxxxxxx 2) 10()01(sinsin 2 2 0 xx。 12 计算定积分x x x e d ln1 1 。 解： 2 3 ln 2 1 ln)ln(d)ln1(d l
14、n1 1 2 11 e ee xxxxx x x 。 13 计算定积分 2 0 22 d4xxx。 解：设txsin2，则ttxdcos2d。 当0x时，0t；当2x时， 2 t。于是 ttttxxxdcos2)sin2(4)sin2(d4 2 0 22 2 0 22 2 0 2 0 2 2 0 22 d 2 4cos1 4d2sin4dcossin16t t ttttt 2 0 2 0 4sin 2 1 2d)4cos1(2tttt 14 计算定积分 1 2 1 12 dxe x 。 解：设tx12，则)1( 2 1 2 tx，ttxdd。 当 2 1 x时，0t；当1x时，1t。于是 1d
15、 1 0 1 0 1 2 1 12tttx etettedxe。 15 计算定积分 1 1 d|xex x 解： 1 0 0 1 1 1 ddd|xxexxexex xxx e exeexe xxxx 2 2 1 0 0 1 。 16 计算广义积分 e x xx d ln 1 2 。 解：11 ln 1 limln)ln(dlnd ln 112 2 b xxxx xx b e ee 。 17 计算广义积分： 22 2 xx dx 。 解： 1 2 1 222 )1(1 )1( ) 1(1 )1( )1(1 )1( 12x xd x xd x xd xx dx 22 | )1arctan(| )
16、1arctan( 1 1 xx 18 计算广义积分：dxtdtx x 0 sin。 解：dxxxdxtdtx x sin 2 1 sin 2 0 ， 由被积函数xxxfsin)( 2 在),(内是奇函数，可知， 0sin 0 dxtdtx x 。 19 计算曲线 3 xy与 3 xy所围成的平面图形的面积。 解：画草图：如右所示。因为曲线所围成图形关于原点成中 心 对称，所以只算第一象限面积即可。 求交点：解方程组 3 3 xy xy ，可得曲线的三个交点为 )1,1(M，)0,0(O，) 1,1(N。 算面积：取x为积分变量，则曲线所围成的平面图形的面积为 1 4 1 4 3 2)(2 1
17、0 4 3 4 1 0 33 xxdxxxA 20 求由曲线 2 xy和直线xy2所围成的平面图形面积。 解 ： 作 图 如 右 ， 以x为 积 分 变 量 。 解 方 程 组 xy xy 2 2 得 4 2 , 0 0 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为0，2。 所以，所求平面图形面积为： A= 3 4 3 1 )2( 1 0 32 2 0 2 xxdxxx（平方单位） 。 21.求由曲线 2 xy和xy所围成的平面图形面积。 解：作图如右，以x为积分变量。解方程组 xy xy 2 得 1 1 , 0 0 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为0 ，1 。 所以，
18、所求平面图形面积为： A= 3 1 3 1 3 2 )( 1 0 3 2 3 1 0 2 xxdxxx（平方单位）。 22 求由曲线 2 xy和直线32xy所围成的平面图形面积。 解 ： 作 图 如 右 ， 以x为 积 分 变 量 。 解 方 程 组 32 2 xy xy 得 9 3 , 1 1 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为-1，3。 所以，所求平面图形面积为： A= 3 22 3 1 3)32( 3 1 32 3 1 2 xxxdxxx（平方单位） 。 23 求由曲线 2 xy和直线6xy所围成的平面图形面积。 解 ： 作 图 如 右 ， 以x为 积 分 变 量 。 解
19、 方 程 组 6 2 xy xy 得 4 2 , 9 3 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为-3，2。 所以，所求平面图形面积为： A= 6 1 13 3 1 6 2 1 )6( 2 3 32 2 3 2 xxxdxxx 24. 求由曲线 2 xy和直线6xy所围成的平面图形面积。 解 ： 作 图 如 右 ， 以x为 积 分 变 量 。 解 方 程 组 6 2 xy xy 得 9 3 , 4 2 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为-2，3。 所以，所求平面图形面积为： A= 6 1 18 3 1 6 2 1 )6( 3 2 32 3 2 2 xxxdxxx（平方
20、单位） 。 25. 由曲线32 2 xxy和直线3xy所围成的平面图形面积。 解 ： 作 图 如 右 ， 以x为 积 分 变 量 。 解 方 程 组 3 32 2 xy xxy 得 6 3 , 3 0 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为0，3。 所以，所求平面图形面积为 33 22 00 3 23 0 (323)(3) 319 232 Axxxdxxxdx xx 26. 求由曲线 2 xy和 2 2xy所围成的平面图形面积。 解：作图如右，以x为积分变量。解方程组 xy xy 2 2 得 1 1 , 1 1 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为-1，1。 所以，所
21、求平面图形面积为： A= 3 8 3 2 2)2( 1 1 3 1 1 22 xxdxxx。 27. 求由直线0y和曲线1 2 xy所围成的平面图形 绕x轴一周旋转而成的旋转体体积。 解：作图如右，以x为积分变量 . 解方程组 0 1 2 y xy 得 0 1 , 0 1 2 2 1 1 y x y x ， 从而得积分区间为-1， 1。 所以，所求旋转体体积：V= 15 16 3 2 5 1 ) 12(1 1 1 35 1 0 24 2 1 1 2 xxxdxxxdxx 28. 求由直线32xy和曲线 2 xy所围成的平面图形绕x轴一周旋转而成的旋转体体积。 解：作图如右， 以x为积分变量。
22、解方程组 32 2 xy xy 得 9 3 , 1 1 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为-1，3。 所以，所求旋转体体积： V= dxxxxdxxx 3 1 4.2 3 1 2 2 2 412932 = 3 1 56 5 1 3 4 69 3 1 532 xxxx （立方单位） 29. 求由直线2xy和曲线 2 xy所围成的平面图形绕x轴一周旋转体积。 解：作图如右，以x为积分变量。解方程组 2 2 xy xy 得 1 1 , 4 2 2 2 1 1 y x y x ， 从而得积分区间为-2 ， 1 。 所以，所求旋转体体积： V= dxxxxdxxx 1 2 42 1 2 2 2 2 442 = 5 2 14 5 1 3 1 24 1 2 532 xxxx（立方单位） 30 求由曲线 2 xy和2 22 yx所围成的平面图形绕x轴一周 旋转而成的旋转体体积。 解：作图如右，以x为积分变量。解方程组 2 22 2 yx xy 得 1 1 , 1 1 2 2 1 1 y x y x ，从而得积分区间为-1，1。 所以，所求旋转体体积： V= 15 44 5 1 3 1 22 1 1 53 1 1 42 xxxdxxx