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1、2019北京卷 (文科数学 ) 1.A12019 北京卷 已知集合 A=x|-11,则 A B=() A.(-1,1) B.(1,2) C.(-1,+ ) D.(1,+ ) 1.C解析 A= x|-1 1,A B=(-1,+ ). 2.L42019 北京卷 已知复数 z=2+i,则 z= () A.B.C.3 D.5 2.D解析 z= 2+i,z=|z| 2 =2 2 +1 2=5. 3.B32019 北京卷 下列函数中 ,在区间 (0,+ )上单调递增的是 () A.y= B.y=2-x C.y=lox D.y= 3.A解析 易知 y=在区间 (0,+ )上单调递增 ,故选 A. 4.L12
2、019 北京卷 执行如图 1-1 所示的程序框图 ,输出的 s 值为() 图 1-1 A.1 B.2 C.3 D.4 4.B解析 由程序框图可得 ,k= 1,s=1,s= - =2,1 3 不成立 ,执行循环体 ; k=2,s= - =2,2 3 不成立 ,执行循环体 ; k=3,s= - =2,3 3 成立,结束循环 ,输出 s=2. 5.H6 2019北京卷 已知双曲线-y2=1(a0)的离心率是,则 a=() A.B.4 C.2 D. 5.D解析 因为双曲线-y2=1(a0)的离心率为,所以 e= =,所以 a2= ,所以 a= . 6.A2,B4 2019 北京卷 设函数 f(x)=c
3、os x+bsin x(b 为常数 ),则“ b=0”是“f(x)为偶函数”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.C解析 若 b=0,则 f(x)=cos x,所以 f(x)是偶函数 ; 若 f(x)是偶函数 ,则 cos(-x)+bsin( -x)=cos x+bsin x 对 x R 恒成立 ,即 bsin x=0 对 x R 恒成立 ,所以 b=0. 综上,“ b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件 . 7.B72019 北京卷 在天文学中 ,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1= lg
4、 , 其中星等为 mk的星的亮度为Ek(k=1,2) .已知太阳的星等是 -26.7,天狼星的星等是 -1.45,则太阳与天狼星的亮度的 比值为() A.10 10.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10 -10.1 7.A解析 若太阳的星等 m1=-26.7,天狼星的星等 m2=-1.45,则 m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25.因为 m2-m1= lg,所 以 lg=10.1,所以=10 10.1. 8.C2,C6,C8 2019 北京卷 如图 1-2,A,B 是半径为 2 的圆周上的定点 ,P 为圆周上的动点 , APB 是锐角 ,大小为 .图 中阴影区域的面积的
5、最大值为() 图 1-2 A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 8.B解析 设圆的圆心为O,连接 OA,OB,AB,设弦 AB 的中点为 D,连接 OD(如图所示 ).依题意得 ,圆 O 的半径 R=2,由正弦定理知=2R,所以 AB= 4sin . 因为 AOB= 2 ,所以图中劣弧AB 所对的弓形面积S弓形=S扇形AOB-SAOB= 2 22- 22sin 2 =4 -2sin 2 . 欲求阴影区域面积的最大值,只需求点 P 到弦 AB 的距离 d 的最大值 . 因为 OD=-=-=2cos ,d R+OD , 所以阴影区域面积的最大值为 S弓形+ AB
6、(R+OD )=4 -2sin 2 + 4sin (2+2cos )=4sin +4. 9.F2,F3 2019北京卷 已知向量 a=(-4,3), b=(6,m),且 a b,则 m= . 9.8解析 因为 a=(-4,3),b=(6,m),a b,所以 -4 6+3m=0,解得 m=8. 10.E52019 北京卷 若 x,y 满足- - 则 y-x 的最小值为,最大值为. 10.-3 1解析 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分. 由 - 得即 B(2,3).设 k=y-x,当直线 k=y-x 经过点 B(2,3)时,k 取得最大值 ,即为 1;当直线 k=y-x 经 过点 A(2,
7、-1)时,k 取得最小值 ,即为 -3.所以 y-x 的最小值为 -3,最大值为 1. 11.H3,H4,H7 2019 北京卷 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.则以 F 为圆心 ,且与 l 相切的圆的方程 为. 11.(x-1)2+y2=4解析 因为抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0), 准线为 l:x=-1,所以焦点到准线的距离为2,所以所求圆 的半径为 2,所以所求圆的方程为 (x-1)2+y 2=4. 12.G2,G7 2019 北京卷 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图1-3 所示.如果网格纸上小正 方形的边长为 1,那么该几何体的体积为.
8、图 1-3 12.40解析 由三视图可得 ,该几何体是一个棱长为4 的正方体割去一个底面为直角梯形的直四棱柱ABCD- EFGH 后剩余的部分 (如图所示 ),所以该几何体的体积为4 3- (2+4) 2 4=40. 13.G4,G5 2019 北京卷 已知 l,m 是平面 外的两条不同直线 .给出下列三个论断 : l m;m ;l . 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题 :. 13.若 m ,l ,则 l m(答案不唯一 )解析 若 m ,且 m? ,过直线 m 的平面 与平面 相交 ,记交线为 n,由线面 平行的性质定理 ,可得 m n,又 l ,所以 l
9、 n,所以 l m. 14.E82019 北京卷 李明自主创业 ,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为 60 元/盒、 65 元/盒、 80 元/盒、 90 元/盒.为增加销量 ,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120 元,顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80% . 当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒,需要支付元; 在促销活动中 ,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值为. 14.13015解析 一次购买草莓和西瓜各1 盒,总价为 60+80=140(元),超过 1
10、20 元,所以顾客少付 10 元,即顾 客需要支付 130 元. 设促销前总价为T 元,当 T0, 依题意得 (T-x) 80% 0.7T 对 T 120 恒成立 , 所以 xT 对 T 120 恒成立 ,等价于当 T 120 时,xT min= 120=15,所以 x 的最大值为 15. 15.C5,C8 2019北京卷 在 ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求 b,c 的值 ; (2)求 sin(B+C)的值 . 15.解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-2 3 c -. 因为 b=c+2, 所以(c+2) 2=32+c2
11、-2 3 c - , 解得 c=5. 所以 b=7. (2)由 cos B=- 得 sin B=. 由正弦定理得 sin A= sin B=. 在 ABC 中,B+C= -A, 所以 sin(B+C)=sin A=. 16.D2,D3,D5 2019 北京卷 设an是等差数列 ,a1=-10,且 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列 . (1)求an的通项公式 ; (2)记an的前 n 项和为 Sn,求 Sn的最小值 . 16.解:(1)设an的公差为 d. 因为 a1=-10, 所以 a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d. 因为 a2+10,a3+8,a4 +6 成
12、等比数列 , 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6), 所以(-2+2d)2=d(-4+3d), 解得 d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,an=2n-12. 所以,当 n 7 时,an0;当 n 6 时,an 0. 所以,Sn的最小值为 S6=-30. 17.I1,I2,K2 2019北京卷 改革开放以来 ,人们的支付方式发生了巨大转变,近年来 ,移动支付已成为主要支付方式之 一.为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了100 人,发 现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有5 人,样本
13、中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下: 支付金额 支付方式 不大于 2000 元大于 2000 元 仅使用 A27 人3 人 仅使用 B24 人1 人 (1)估计该校学生中上个月A,B 两种支付方式都使用的人数. (2)从样本仅使用 B 的学生中随机抽取1 人,求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率 . (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人,发现他本月的支付 金额大于 2000 元.结合 (2)的结果 ,能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化 ?说明 理由. 17.解:(1)由题知
14、,样本中仅使用 A 的学生有 27+3=30(人),仅使用 B 的学生有 24+1=25(人),A,B 两种支付方式都不 使用的学生有 5 人. 故样本中 A,B 两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人),估计该校学生中上个月A,B 两种支付方式都使 用的人数为 1000 =400. (2)记事件 C 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取1 人,该学生上个月的支付金额大于2000 元” ,则 P(C)=0.04. (3)记事件 E 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽查1 人,该学生本月的支付金额大于2000 元” . 假设样本仅使用B 的学生中 ,本月支付金额大于200
15、0 元的人数没有变化 ,则由 (2)知,P(E)=0.04. 答案示例 1:可以认为有变化 .理由如下 : P(E)比较小 ,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生 ,就有理由认为本月支付金额大于2000 元的人数发生了 变化.所以可以认为有变化 . 答案示例 2:无法确定有没有变化 .理由如下 : 事件 E 是随机事件 ,P(E)比较小 ,一般不容易发生 ,但还是有可能发生的 .所以无法确定有没有变化. 18.G4,G5 2019 北京卷 如图 1-4,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 平面ABCD ,底面 ABCD 为菱形 ,E 为 CD 的中点 . 图 1-4 (1)求证:BD平面PA
16、C. (2)若 ABC= 60 ,求证 :平面 PAB 平面PAE. (3)棱 PB 上是否存在点F,使得 CF平面PAE ?说明理由 . 18.解:(1)证明:因为 PA平面ABCD , 所以 PA BD. 又因为底面 ABCD 为菱形 , 所以 BD AC, 所以 BD平面PAC. (2)证明:因为 PA平面ABCD ,AE?平面 ABCD , 所以 PA AE. 因为底面 ABCD 为菱形 , ABC= 60 ,且 E 为 CD 的中点 , 所以 AE CD, 所以 AB AE, 所以 AE平面PAB , 所以平面 PAB 平面PAE. (3)棱 PB 上存在点 F,使得 CF 平面PA
17、E. 取 F 为 PB 的中点 ,取 G 为 PA 的中点 ,连接 CF,FG,EG, 则 FG AB,且 FG= AB. 因为底面 ABCD 为菱形 ,且 E 为 CD 的中点 , 所以 CE AB,且 CE= AB. 所以 FG CE,且 FG=CE , 所以四边形 CEGF 为平行四边形 , 所以 CF EG. 因为 CF?平面 PAE ,EG?平面 PAE , 所以 CF平面PAE. 19.H1,H5 2019北京卷 已知椭圆 C:+=1 的右焦点为 (1,0),且经过点 A(0,1). (1)求椭圆 C 的方程 ; (2)设 O 为原点 ,直线 l:y=kx+t (t 1)与椭圆 C
18、 交于两个不同点P,Q,直线 AP 与 x 轴交于点 M,直线 AQ 与 x 轴交于 点 N,若|OM| |ON|= 2,求证 :直线 l 经过定点 . 19.解:(1)由题意得 ,b2=1,c=1, 所以 a2=b2+c2=2. 所以椭圆 C 的方程为+y 2=1. (2)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则直线 AP 的方程为 y= - x+ 1. 令 y=0,得点 M 的横坐标 xM=- - . 又 y 1=kx1+t,从而|OM|=|xM|= - . 同理,|ON|= - . 由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0, 则 x1+x2=-,x1x2= - . 所以
19、|OM| |ON|= - - = - = - - - =2 - . 又|OM| |ON|= 2, 所以 2 - =2, 解得 t=0,所以直线 l 经过定点 (0,0) . 20.B11,B12 2019 北京卷 已知函数 f(x)= x3-x2+x. (1)求曲线 y=f(x)的斜率为 1 的切线方程 ; (2)当 x -2,4时,求证 :x-6 f(x) x; (3)设 F(x)=|f(x)-(x+a)|(a R),记 F(x)在区间 -2,4上的最大值为 M(a),当 M(a)最小时 ,求 a 的值 . 20.解:(1)由 f(x)= x3-x2+x 得 f(x)= x2-2x+1. 令
20、 f(x)=1,即 x 2-2x+1=1,得 x=0 或 x= . 又 f(0)=0,f= , 所以曲线 y=f(x)的斜率为 1 的切线方程是 y=x 与 y-=x- , 即 y=x 与 y=x-. (2)证明:令 g(x)=f(x)-x,x -2,4. 由 g(x)= x3-x 2 得 g(x)= x 2-2x. 令 g(x)=0 得 x=0 或 x= . 当 x 变化时 g(x),g(x)的变化情况如下 : x-2(-2,0)0 0,4 4 g(x)+0-0+ g(x)-60-0 所以 g(x)的最小值为 -6,最大值为 0. 故-6 g(x) 0,即 x-6 f(x) x. (3)由(2)知, 当 a 3; 当 a-3 时,M(a) F(-2)=|g(-2)-a|=6+a 3; 当 a=-3 时,M(a)=3. 综上,当 M(a)最小时 ,a=-3.