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1、用配方法解一元二次方程教案 一、素质教育目标 （一）知识储备点 理解并掌握一元二次方程的配方法，能正确、熟练地运用配方法解一元二次方程，并使 学生真正理解配方法的整个过程在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项 等于一次项系数一半的平方” （二）能力培养点 通过配方法的整个过程的理解培养学生按规循律分析问题、解决问题的能力，培养学生 观察、类比、归纳思维的能力，切实提高学生解方程的能力 （三）情感体验点 使学生按照配方法的步骤一步一步地解方程让学生形成有条不紊的学习习惯，按照规律 办事的思想观念，养成良好的品德修养，为将来的人生打下扎实的基础 二、教学设想 1重点：用配方法解一元二次
2、方程 2难点：真正理解配方法的整个过程 3疑点：为什么要用配方法解一元二次方程 4课型与基本教学思路：新授课本节课通过将一元二次方程变形，?运用直接开平方 的方法解方程，形成解一元二次方程的一个重要方法配方法，并能运用配方法解一元二 次方程 三、媒体平台 1教具、学具准备：自制投影胶片 2多媒体课件撷英： 【注意】课件要根据实际需要进行适当修改 四、课时安排 课时 五、教学步骤 （一）教学流程 1情境导入 解方程： x 2+2x=5； x2-4x+3=0 能否经过适当的变形，将它们转化为（ ? ） 2 a 的 形式，应用直接开平方法求解？ 2课前热身 提问： （1） 什么是一元二次方程的一般形
3、式？（2） 什么是一元二次方程的直接开平方法？ （3）什么是一元二次方程的因式分解法？ 3合作探究 （1）整体感知：学生按照要求解 原方程转化为x 2+2x+1=6， （x+1）2=6，x+1= 6，解得 x=-1+6，x=-1-6 x 2-4x+4=-3+4 ， （x-2 ）2=1，所以 x-2= 1，解得 x 1=3，x2=1 教师归纳概括：上面我们把方程x 2-4x+3=0 变形为（ x-2 ）2=1，?它的左边是一个含有未 知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这样能应用直接开平方法求解，这种解一元二次 方程的方法叫做配方法 （2）师生互动 互动 1 提出配方时方程两边同时加上的常数是
4、如何确定的？你能发现什么规律？ 明确配方时，化二次项系数为1，通过变形， ?方程两边同时加上一次项系数一半的平 方，将左边配成一个完全平方式，是配方法整个过程的重点 互动 2 配方法是一个重要的数学方法，它在很多地方有重要的应用，我们能总结出配方法的步 骤吗？ 明确配方法的一般步骤是： （1）方程两边同除以二次项系数，?将二次项系数化为1； （2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方， ?方程两边都加上一 次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右 边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程 互动 3 我们能否对x 2+px+q=
5、0 用配方法进行因式分解？让学生自己完成，看谁又快又正确 明确对于含有字母已知数的因式分解，移项得x 2+px=-q ， 配方得（ x+ 2 p ） 2= 2 4 4 pq ， x+ 2 p = 2 4 2 pq 或 x+ 2 p = 2 4 2 pq ， 所以， x1=- 2 p + 2 4 2 pq ，x2=- 2 p - 2 4 2 pq ， 为下节课ax 2+bx+c=0（a0）?通过配方法推出一元二次方程的根，打下知识基础 4达标反馈 （1）填空题： x 2-2x+ （ 1 ）=x+ （ -1 ） 2； x 2+6x+（ 9 ）=x- （ -3 ） 2； x 2-5x+ 25 4 =
6、 （x- 5 2 ） 2； x 2+2mx+ m2 = （x+ m ） 2； x-3mx+ 9 4 m 2 = （x- 3 2 m ） 2 用配方法解一元二次方程2x 2+3x+1=0，变形为（ x+m ）2=k，则 m=3 4 ，k= 1 16 （2）解答题： 用配方法解下列方程： x 2-2x-5=0 ； x 2+x-1=0 ； x 2+1 6 x- 1 3 =0；x 2-2 2+1=0； 【答案】x1=1-6，x2=1+6x1=- 1 2 + 5 2 ，x=- 1 2 - 5 2 x1=- 2 3 ，x2= 1 2 x1=1+2，x2=1-2 用配方法将下列各式化成a（x+h） 2+k
7、的形式 -3x 2 -2x+1 ；x 2-1 2 x+1； 2 3 y 2+1 3 y-2 ；ax 2+bx+c（ a0） ； 【答案】-3 （x+ 1 3 ） 2+4 3 （ x- 1 4 ） 2+15 16 2 3 （ y+ 1 4 ） 2-49 24 a（x+ 2 b a ） 2+ 2 4 4 acb a 5学习小结 （1）引导学生作知识总结：本节课学习了什么叫配方法，?怎样运用配方法解一元二次 方程，按照配方法的四个步骤正确、熟练地求一元二次方程的解 （2）?教师扩展：（方法归纳） 用配方法解一元二次方程的关键是：方程两边都加上一次 项系数一半的平方，但前提是二次项系数化为1，?配方法
8、的理论根据是直接开平方法 （二）拓展延伸 1链接生活 链接一：如果一个一元二次方程有两个不相等的实数根，应当怎样表示？ 解答：这两个根的值分别为m 、n（m n） ，那么可以表示为以下三种形式： （1）x1=m ，x2=n； （2）x=m ，或 x=n（逗号可以省去） ； （3）x=m ，和 x=n 注意不要用“x1=m ，或 x2=n”这种形式，不能用“x1=m ，且 x2=n”这种形式 链接二：在什么情况下，解方程会出现增根？ 解答：我们知道，在方程两边可以加上（或减去）同一个数或整式，也可以乘以（或除 以）同一个非零数；从方程的每一项（不管是否为整式），都可以在改变符号后，从方程的一 边
9、移到另一边对于方程进行以上三种变形后，都不会出现增根 那么，什么情况下会出现增根呢？在初中代数里遇到的以下情况时，就有可能产生增根： （1）在方程两边都乘以0，所得的新方程必然有无限多个根 （2）在方程两边乘以同一个含未知数的整式例如在方程x-1=0? 的两边都乘以（x-2 ） ， 所得的新方程就产生一个增根x=2 （3）将方程两边乘同次方，例如将方程x+1=2 两边平方，所得的新方程（x+1） 2 =?4 就 产生一个增根x=-3 2巩固练习 （1）选择题： 42 374 3的值等于 （C） A23-3 B3-23 C1 D 3 （2）填空题： x 2-bx+ 2 4 b =（x- 2 b
10、） 2； x 2- （m+n ）x+ 2 () 4 mn =（x- 2 mn ） 2； y 2+1 4 y+ 1 64 =（y+ 1 8 ） 2； 当 a= -4 时，二次三项式ax 2+ax-1 是一个完全平方式 （3）解答题： 已知关于x 的方程（ ax+b） 2=c 有实数解 a、b、c 应各取怎样的实数？ 求方程的两个实数根？ 【答案】a0， b 为一切实数， c0 x1= cb a ，x2=- cb a 用配方法解下列方程： x 2-10x+24=0 ； x 2-8x+15=0 ； x 2+2x-99=0 ； y 2+5y+2=0； 2x 2+ 2x-30=0 ；x 2+px+q=0
11、（p2-4q0 ） ； -x 2+2x+3=0； ax 2+x-2=0 （a0） ； ax 2+ax-2=0 （a0） 【答案】x1=4，x2=6 x1=5，x2=3 x1=9，x2=-11 x1= 17 2 - 5 2 ，x2=- 17 2 - 5 2 x1= 5 2 2 ，x2=-32 ? x1= 2 4 2 pq - 2 p ，x2=- 2 4 2 pq - 2 p x1=3，x2=-1 x1= 811 2 a a ，x2= 811 2 a a x= 22 8 2 ababa a 。 3用配方法证明：无论x 为何实数，代数式x 2-4x+4.5 的值恒大于零 （三）板书设计 222 一元
12、二次方程的解法 2一元二次方程的解法 配方法： _ 例题讲解： _ 配方法的步骤：_ 学生练习： _ 配方法的注意事项：_ 六、资料下载 配方法在解题中的应用 配方法是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用本文通过例题谈谈它的一些 应用 一、应用于因式分解 例 1 分解因式x 4+4 解配方，得 原式 x 4 +4x 2+4-4x2=（x2+2）2- （2x）2 （ x 2+2x+2） （x2-2x+2 ） 例 2 分解因式a 2-4ab+3b2-2bc-c2 解原式（ a 2-4ab+4b2） - （b2+2bc+c2） （ a-2b） 2- （b+c）2 （ a-b+c ） （a-3b
13、-c ） 二、应用于解方程 例 3 解方程 3x 2+4y2-12x-8y+16=0 解分别对 x、y 配方，得 3（x 2-4x+4 ）+4（y2-2y+1 ）=0， 3（x-2 ） 2+4（y-1 ）2=0 由非负数的性质，得 202 101 xx yy 例 4 解方程（ x 2+2） （y2+4） （ z2+8）=64xyz（x、y、z 均是正实数） 解原方程变形，得 x 2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0 各自配方，得 （xyz-8 ） 2+2（4x-yz ）2+4（2y-xz ）2+8（z-xy ）2=0 由非负数的性质，
14、得 8 4 2 xyz xyz yxz zxy 解得 2, 2, 2 2. x y z 运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握 三、应用于求二次函数的最值 例 5 已知 x 是实数，求y=x 2-4x+5 的最小值 解由配方，得 y=x 2-4x+4-4+5= （x-2 ）2+1 x 是实数，（ x-2 ） 2 0，当 x-2=0 ，即 x=2 时， y 最小， y 最小=1 例 6 已知二次函数y=x 2-6x+c 的图象的顶点与坐标原点的距离等于 5，求 c 的值 解因为 y=x 2-6x+c=x2-6x+9-9+c= （x-3 ）2+c-9 ， 所以这个二次函数的顶点坐
15、标为（3，c-9 ） ，它与坐标原点的距离是 22 3(9)c5，由此解得c=5 或 c=13 四、应用于求代数式的值 例 7 已知 2 1 x xx a（a 0） ，求 2 42 1 x xx 的值 解因为 2 1 x xx a（a0） ，所以 2 1xx x = 1 a ，即 x+ 1 x +1= 1 a ， x+ 1 x = 1 a -1 x 2+ 2 1 x =（x+ 1 x ） 2-2， 42 2 1xx x =x 2+ 2 1 x +1=（x+ 1 x ） 2+1-2 =（ 1 a -1 ） 2-1= 2 12a a 本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解倒数法是一种解题技巧，解题
16、时注意应用 例 8 如果 a 2+b2-4a-2a+5=0 ，求 3 ab ba a 的值 解由已知条件，分别对a、b 配方，得 （a 2-4a+4 ）+（b2-2b+1 ）=0， （a-2 ） 2 +（b-1 ） 2=0 由非负数的性质，得a-2=0 ，b-1=0 a=2，b=1 3 ab ba a = 21 32 2 = 2 21 (21) = 21 21 = ( 21)( 21) ( 21)( 21) = 2 (21) 1 =3+32 五、判定几何图形的形状 例 9 已知 a、b、c 是 ABC的三边，且满足a 2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ，判定 ABC是正三角 形 证明由已知等式两边乘以2，得 2a 2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0 ， 拆项、配方，得 （a-b ） 2 +（b-c ） 2+（c-a ）2=0 由非负数的性质，得 a-b=0，b-c=0 ，c-a=0 ， a=b，b=c，c=a，a=b=c 故 ABC是等边三角形