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1、三角函数与平面向量经典题与易错题 一、数学思想方法： 1、向量(2,0)OA，(22cos ,232sin)OB，向量OA与向量OB夹角的范围是（） A 0, 4 B. , 62 C. 5 , 122 D. 5 , 12 12 分析：化归转化，数形结合，答案：B 2、设向量, ,a b c满足1ab， 1 2 a b， 0 ,60ac bc，则c的最大值等于（） A2 B 3 C 2 D1 分析：数形结合，四点共圆，答案：A 3.已知baxxaxaxf2cossin322cos的定义域为 2 0 ， ， 值域为 5，1 ，则常数a、b 的值分别是 分析：分类讨论，答案： 二、三角函数的图像与性
2、质： 4. 函数sinyx在第一象限是增函数； 函数 1 cos 2 yx 的最小正周期是； 函数tan 2 x y的图像的对称中心是(,0),kkZ； 函数lg(12cos 2 )yx的递减区间是 ,) 4 kk,kZ 其中正确的命题序号是. 5若函数( )sinf xx( 0) 在区间0, 3 上单调递增，在区间 , 32 上单调递减，则=（） A3 B2 C 3 2 D 2 3 变式练习：（1）若函数( )sinf xx在区间, 43 上单调，则的取值范围为 （2）若函数( )sinf xx在区间, 43 上单调递增，则的取值范围为 6. 已 知a 与b均 为 单 位 向 量 ， 其 夹
3、 角 为， 有 下 列 四 个 命 题 ， 其 中 的 真 命 题 是 （） 1 2 :10, 3 Pab 2 2 :1, 3 Pab 3: 10, 3 Pab 4: 1, 3 Pab A 14 ,P PB 13 ,P PC 23 ,P PD 24 ,P P 7.已知函数)(xf=Atan（x+） （ 2 | ,0） ，y= )(xf 的部分图像如下图，则) 24 (f 8已知函数)0,0(),sin()(xxf是 R上的偶函数，其图象关于点)0 , 4 3 (M对称，且在 区间 2 ,0上是单调函数，求 和的值。 变式练习： 已知函数)0 ,0(),sin()(xxf关于直线 2 x对称，其
4、图象关于点)0, 4 3 (M 对称，且在区间 2 ,0 上是单调函数，求和的值。 9.在 锐角 ABC中，已知内角32 3 BCA，边, 设内角 xB， ABC周长为y （1）求函数)(xfy的解析式和定义域； （2）求函数)(xfy的值域。 变式练习：（1）若 1 sincos 3 xy，求函数 2 ( )cossinf xxx的值域 （2）求函数( )sincossincosf xxxxx的值域 （3）求函数 sin ( ) cos2 x f x x 的值域 （4）求函数 32 21 ( )sincossin 32 f xxxx的值域 10、要想得到函数3 ( 21)4yfx的图像，需要
5、将函数( )yf x的图像做怎样的变换？请用多种方 法。 三、三角变换： 10.已知 1 sincos 2 ，且0, 2 ，则 cos2 sin 4 的值为 _ 11.ABC 中， 2, 3 cC ，若 sinsin()2sin 2CBAA ，则角 B 的度数为。 分析：易丢解，约分时注意是否为0！ 12.在ABC中，角. .A B C所对的边分别为a,b,c已知 2 1 4 acb且sinsinsin,ACpB pR （）当 5 ,1 4 pb时，求,a c的值； （）若角B为锐角，求p 的取值范围。 13.已知0cos2sin （1）化简 2011cos 2 5 cos2 2 3 sin
6、; （2）求 2 2 2011 sin 的值 14.已知 、 为锐角， ，则 cos = 。 15、 （ 2010 四川）证明两角和的余弦公式C: cos()coscossinsin 四、解三角形： 16.（1）在 ABC 中，若 45 cos,cos 513 AB，则cosC （ 2）在 ABC 中，若 412 cos,sin 513 AB，则cosC (3)在 ABC 中，若 45 cos,sin 513 AB，则cosC 变式练习： 1）已知ABC中，cba、分别是角CBA、的对边， 0 60,3 bb，若三角形ABC 有两解，则边a的取值范围为 2）下列条件中，ABC 是锐角三角形的是
7、（） A sinA+cosA= 5 1 B AB BC 0 CtanA+tanB+tanC0 D b=3， c=33 ，B=30 17.设函数 2 ( )sin()2cos1(0) 62 f xxx。直线=3y与函数( )yf x图象相邻两交点的距离为 。 （I）求 的值； （）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是a,b、c若点(,0) 2 B 是函数( )yf x图象的一个对 称中心，且b=3，求 ABC 外接圆的面积 分析：正弦定理的几何意义不清楚或用错。a/sinA=2R 外接圆的直径。 18 （ 2011 陕西）叙述并证明正弦定理和余弦定理。 五、向量与三角形（四心）问题：
8、19.G 是 ABC的重心，过G 点作直线交AB 、 AC于M 、 N两点且 ,AMxAB ANyAC 则 11 _ xy 变式训练： 1)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边 ,AB AD 分别交于 FE、两点，且交其对角线于K，其中 11 , 32 AEAB AFAD， AKAC，则 的值为（） A 5 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 2)在 ABC 中，2,3ADDB AEEC，CD 与 BE 交于 F， 设,ABa ,ACb,( , )AFxaybx y则 为（） A 1 1 (,) 3 2 B 1 1 (, ) 4 3 C 3 3 (,) 7 7 D 29 (,) 5
9、20 A B C D E F E K F D C B A 20. O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 222222 ABOCCAOBBCOA ， 则点 O 是三角形ABC 的（） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 知识总结： 1垂心 三角形三条边上的高相交于一点，这一点叫做三角形的垂心.通过作图可知锐角三角形的垂心在形内，直角 三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在形外. 2重心 三角形三条边上的中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.重心将每一条中线分成1：2 的两部分 .任何三 角形的重心都在形内. 3内心是三角形三内角平分线的交点，也是内切圆的圆心。 4外心是三角形三
10、边中垂线的交点，也是外接圆的圆心。 常用性质与规律： 1）O 是 ABC的重心0OCOBOA ; 若 O 是ABC的重心，则 ABCAOBAOCBOC S 3 1 SSS 故0OCOBOA ; 1 () 3 PGPAPBPCG为ABC的重心 . 2）O 是 ABC的垂心OAOCOCOBOBOA ; 若 O 是ABC (非直角三角形 )的垂心， 则 CtanBtanAtanSSS AOBAOCBOC ： 故0OCCtanOBBtanOAAtan 3）O 是 ABC的外心 |OC|OB|OA| (或 222 O CO BO A ) 若 O 是ABC的外心 则 C2sin:B2sin:A2sinAO
11、BsinAOCsinBOCsinSSS AOBAOCBOC ： 故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin 4）O 是内心 ABC的充要条件是 0) |CB| CB |CA| CA (OC) |BC| BC |BA| BA (OB) AC AC |AB| AB (OA 引进单位向量， 使条件变得更简洁。 如果记 CA,BC,AB 的单位向量为 321 e,e,e ， 则刚才 O 是ABC 内心的充要条件可以写成 0)ee(O C)ee(O B)ee(O A 322131 O 是 ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa 若 O 是ABC的内心，则 cbaSSS AOBAOCBOC
12、： 故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或 ; |0AB PCBC PACA PBP ABC的内心 ; 向量()(0) | ACAB ABAC 所在直线过ABC的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直线) ； 5）欧拉定理：设O、G、H 分别是锐角 ABC 的外心、重心、垂心. 求证OHOG 3 1 6）若 O、H 分别是 ABC 的外心和垂心 . 求证OCOBOAOH 高考链接：ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = 变 式 练 习 ： 1).O是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C是 平 面 上 不 共 线 的
13、 三 个 点 ， 动 点P满 足 )( AC AC AB AB OAOP，, 0则 P 点的轨迹一定通过ABC的（） （A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心 2).O是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足 () sinsin ABAC OPOA ABBACC ，, 0则 P 点的轨迹一定通过 ABC的（ ） （A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心 3).O是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足 () coscos ABAC OPOA ABBACC ，,0则 P点的轨迹一定通过ABC的（） （A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心