【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之191排列组合模型.pdf

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1、第 1 页（共 23页） 【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之191排列组合模型 一、选择题（共40 小题；共200 分） 1. 从 1，2，3，4，5 这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三 位数个数为? A. 12B. 18C. 24D. 30 2. GZ 新闻台做一校一特色访谈节目，分A，B，C 三期播出， A 期播出两所学校，B 期， C 期 各播出 1 所学校，现从8 所候选学校中选出4 所参与这三项任务，不同的选法共有? A. 140 种B. 420 种C. 840 种D. 1680 种 3. 安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工

2、作，每天安排一人，甲、乙、丙每人 安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为? A. 72B. 96C. 120D. 156 4. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4 科的专题讲座，每科一 节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有? A. 6 种B. 24 种C. 30 种D. 36 种 5. 某学校派出5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不 同的分配方法有? A. 80 种B. 90 种C. 120 种D. 150 种 6. 在某商业促销的最后一场活动中，甲、乙、丙

3、、丁、戊、己6 名成员随机抽取4 个礼品，每人最 多抽一个礼品，且礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人 都抽到礼品的情况有? A. 36 种B. 24 种C. 18 种D. 9 种 7. 汉中最美油菜花节期间，5 名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方 法共有?种 A. 120B. 625C. 240D. 1024 8. 5 位大学毕业生分配到3 家单位，每家单位至少录用1 人，则不同的分配方法共有? A. 25 种B. 60 种C. 90 种D. 150 种 9. 某翻译公司为提升员工业务能力，为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语

4、种的培训课 程，要求每名员工参加且只参加其中两种无论如何安排，都有至少5 名员工参加的培训完全相 同问该公司至少有多少名员工? ? A. 17B. 21C. 25D. 29 10. 某高校大一新生中的6 名同学打算参加学校组织的“ 雅荷文学社 ” 、“ 青春风街舞社 ” 、“ 羽乒协会 ” 、 “ 演讲团 ” 、“ 吉他协会 ” 五个社团若每个同学必须参加且只能参加1 个社团且每个社团至多两人 参加，则这6 个人中至多有1 个参加 “ 演讲团 ” 的不同参加方法为? A. 4680B. 4770C. 5040D. 5200 第 2 页（共 23页） 11. 小明有中国古代四大名著：三国演义，西

5、游记，水浒传，红楼梦各一本，他 要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但西游记，红楼梦这两本书不 能借给同一人，则不同的借法有? A. 36 种B. 30 种C. 24 种D. 12 种 12. 四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有? A. 10 种B. 14 种C. 20 种D. 24 种 13. 某学校需从3 名男生和2 名女生中选出4 人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地 需要选派2 人且至少有1 名女生，乙地和丙地各需要选派1 人，则不同的选派方法的种数是 ? A. 18B. 24C. 36D. 42 14. 甲、乙、丙三人站到共有7 级的台阶上，

6、若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站 的位置，则不同的站法种数是? A. 258B. 306C. 336D. 296 15. 将数字 “ 124467 ” 重新排列后得到不同的偶数个数为? A. 72B. 120C. 192D. 240 16. 有 7 张卡片分别写有数字1，1，1，2，2， 3，4，从中任取4 张，可排出的四位数有?个 A. 78B. 102C. 114D. 120 17. 从 5 名学生中选出4 名分别参加A，B，C，D 四科竞赛，其中甲不能参加A，B 两科竞赛，则 不同的参赛方案种数为? A. 24B. 48C. 72D. 120 18. 中国诗词大会（第二季

7、）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光 舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒山居秋暝望岳送杜少府 之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝 与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有? A. 144 种B. 288 种C. 360 种D. 720 种 19. 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任取出3 台，在取出的3 台中至少有甲型和乙型电视机各一台， 则不同取法共有? A. 140 种B. 80 种C. 70 种D. 35 种 20. 将 6 名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作若济南至少安排2 人，青岛至少安排3

8、人， 则不同的安排方法数为? A. 120B. 150C. 35D. 55 21. 若从 1，2，3， ? ，9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ? A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种 22. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙、丙各需1 人承担，从10 人中选派4 人承担这三项 任务，不同的选派方法共有? A. 1260 种B. 2025 种C. 2520 种D. 5040 种 第 3 页（共 23页） 23. 将标号为1，2，3，4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1， 2 的两个篮球不能分给同一个

9、小朋友，则不同的分法种数为? A. 15B. 20C. 30D. 42 24. 从 5 种主料中选2 种， 8 种辅料中选3 种烹制菜肴，烹制方式有5 种，那么最多可以烹制出不 同的菜肴种数为? A. 18B. 200C. 2800D. 33600 25. 某学校安排3 位老师与5 名学生去3 地参观学习，每地至少去1 名老师和1 名学生，则不同的 安排方法总数为? A. 1800B. 900C. 300D. 1440 26. 某企业有4 个分厂，新培训了一批6 名技术人员，将这6 名技术人员分配到各分厂，要求每个 分厂至少 1 人，则不同的分配方案种数为? A. 1080B. 480C. 1

10、560D. 300 27. 已知集合?=5 ， ?=1,2 ，?=1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系 上的坐标，则确定的不同点的个数为? A. 6B. 32C. 33D. 34 28. 从 4 位男数学教师和3 位女语文教师中选出4 位教师派到4 个班担任班主任（每班1 位班主 任），要求这4 位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有? A. 210 种B. 420 种C. 630 种D. 816 种 29. 三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是? A. 72B. 144C. 240D. 288 30. 现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等5 个人，

11、每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有 不同分法的种数为? A. 12B. 24C. 36D. 48 31. 安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式 共有? A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种 32. 三个学校分别有1 名、 2 名、 3 名学生获奖，这6 名学生排成一排合影，要求同校的任意两名 学生不能相邻，那么不同的排法共有? A. 36 种B. 72 种C. 108 种D. 120 种 33. 5 位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是? A. 40B. 36C. 32D. 24

12、 34. 高考结束后高三的8 名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘 甲、乙两辆汽车，每车限坐4 名同学（乘同一辆车的4 名同学不考虑位置），其中一班两位同 学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4 名同学中恰好有2 名同学是来自同一班的乘坐 方式共有? A. 18 种B. 24 种C. 48 种D. 36 种 第 4 页（共 23页） 35. 从 1，2， 3，4，5 这 5 个数字中任取3 个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶 数的概率为? A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 3 5 36. 将 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学

13、，中山大学这3 所大学就读，每所大学至少保 送 1 人，则不同的保送方法共有? A. 150 种B. 180 种C. 240 种D. 540 种 37. 某班有 60 名学生，其中正、副班长各1 人，现要选派5 人参加一项社区活动，要求正、副班长 至少 1 人参加，问共有多少种选派方法?下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是? A. C2 1 C59 4 B. C60 5 - C58 5 C. C2 1 C59 4 - C2 2 C58 3 D. C2 1C 58 4 + C2 2C 58 3 38. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若 硬币正面

14、朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两 个人站起来的概率为? A. 1 4 B. 7 16 C. 1 2 D. 9 16 39. 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若 硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两 个人站起来的概率为? A. 1 2 B. 15 32 C. 11 32 D. 5 16 40. 将 5 名志愿者分配到3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案 种数为? A. 540B. 300C. 180D. 150 二、填空题（共40 小题；

15、共200 分） 41. 航空母舰 “ 辽宁舰 ” 将进行一次编队配置科学实验，要求2 艘攻击型核潜艇一前一后，2 艘驱逐舰 和 2 艘 护 卫 舰 分 列 左 、 右 ， 同 侧 不 能 都 是 同 种 舰 艇 ， 则 编 队 配 置 分 配 方 案 的 方 法 数 为（用数字作答） 42. 把 4 名中学生分别推荐到3 所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分 配方案数为 43. 从 4 名男同学，3 名女同学中选3 名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共 有种不同的选法（用数字作答） 44. 用数字 1，2，3，4， 5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多

16、有一个数字是偶数的四位数， 这样的四位数一共有个（用数字作答） 45. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一 个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺 丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有种 第 5 页（共 23页） 46. 某校在一天的8 节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2 节自修课，其中第1 节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8 节只能安排选修课或自修课，且选修课与自 修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有种（结果用数字表示） 47. 将

17、5 幅不同的冬奥会宣传作品排成前后两排展出，每排至少2 幅，其中A，B 两幅作品必须排 在前排，那么不同的排法共有种 48. 有 3 女 2 男共 5 名志愿者要全部分到3 个社区去参加志愿服务，每个社区1 到 2 人，甲、乙两 名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为 49. 现将5 张连号的电影票分给甲乙等5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共 有种不同的分法（用数字作答） 50. 大厦一层有A，B，C，D 四部电梯， 3 人在一层乘坐电梯上楼，其中2 人恰好乘坐同一部电梯， 则不同的乘坐方式有种（用数字作答） 51. 某班主任准备请2016 届毕业生做报告

18、，要从甲、乙等8 人中选 4 人发言，要求甲、乙两人至少 一 人 参 加 ， 若 甲 乙 同 时 参 加 ， 则 他 们 发 言 中 间 需 恰 隔 一 人 ， 那 么 不 同 的 发 言 顺 序 共 有种（用数字作答） 52. 某校开设A 类选修课4 门， B 类选修课 2 门，每位同学需从两类选修课中共选4 门若要求至 少选一门 B 类课程，则不同的选法共有种（用数字作答） 53. 2017 年 1 月 27 日，哈尔滨地铁3 号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁 去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览 方案为 54. 用四种不同的

19、颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色， 一共有种不同的涂色方法 55. 在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给6 位 “ 萌娃 ” 布置一项搜寻空投食物的任务已知： 食物投掷地点有远、近两处；由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需 一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均 分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种（以数字作答） 56. 某班 3 名男生2 名女生被派往三个单位实习，每个单位至少去一人，两名女生不去同一单位， 则不同的分派方案有种（用数字作答） 57. 将 3 个男同学和3

20、个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种 数为（用具体的数字作答） 第 6 页（共 23页） 58. 在庆祝抗战胜利70 周年活动期间，有5 位外国领导人在天安门城楼前站成一排照相留影，若领 导人甲与领导人乙必须相邻，领导人甲与领导人丙一定不相邻，则不同排法的种数是 59. 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成 4 人服务队，要求服 务队中至少有1 名女生，共有种不同的选法（用数字作答） 60. 我们把三个集合中，通过两次连线后能够有关系的两个数字的关系称为“ 鼠标关系 ” ，如图 1，可 称 ?与 ? ，?与 ? ，?与

21、 ?都为 “ 鼠标关系 ” 集合?=? ,? ,? ,?，通过集合?=1,2,3与集合 ?=?,? 最多能够产生条“ 鼠标关系 ” （只要有一条连线不同则“ 鼠标关系 ” 不同） 61. 若用 1，2，3， 4，5，6 这 6 个数字组成不重复的六位数，满足1 不在首位与末位，3 个偶数中 有且只有 2 个相邻，则这样的六位数的个数为 62. 我校高二某学生决定“ 五一 ” 好好轻松一下，为此制定了一项旅游计划，从7 个旅游城市中选择4 个进行游览，如果A，B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后 B 的次序经过A，B 两 城市（ A，B 两城市可以不相邻），则有种不同的游览线路 63.

22、 某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原 周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整 方法种数是（用数字作答） 64. 若 9 个人任意排成一排，则甲排中间，且乙与丙相邻的概率为 65. 直线 ? ，?为异面直线，直线?上有 4 个点，直线?上有 5 个点，以这些点为顶点的三角形共 有个； 66. 由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字且1，3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 67. 甲、乙、丙三人站在共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站 的位置，则不同的站法总数为 6

23、8. 现有 12 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3 张，从中任取3 张，要求这3 张 卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同取法的种数为 69. 从一架钢琴挑出的10 个音键中，分别选择3 个， 4 个， 5 个， ? ，10 个键同时按下，可发出和 声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作 答） 70. 2015 年 4 月 22 日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人? ，? ，? ，? ，?除 ?与 ? ，?与 ?不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤现安排他们在两天的上午、下午 单独会晤（每人每个半天最多只进行一

24、次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共 有种 71. 甲、乙、丙3 人站到共有6 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站 的位置，则不同的站法种数是（用数字作答） 第 7 页（共 23页） 72. 将序号分别为1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 73. 从 4 名男生， 3 名女生中选派3 人参加学科竞赛，一人参加数学竞赛、一人参加物理竞赛、一人 参加化学竞赛，若3 人中既有男生又有女生，则不同的选派方法有种 74. 现有 5 名教师要带3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组

25、的带队教师至多2 人，但其 中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种（用数字作答） 75. 从 0，1，2， 3，4，5，6 这 7 个数字中选出4 个不同的数字构成四位数，不大于3410 的个数 是 76. 从 0，1， 3，4，5，6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数， 这样的三位数共有个（结果用数字作答） 77. 某校高一开设3 门选修课，有3 名同学，每人只选一门，则恰有1 门课程没有同学选修共 有种不同选课方案（用数字作答） 78. 由 1，2， 3，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4 不在第四位，则这样 的六位数共

26、有个 79. 5 个人排成一排，其中甲与乙必须相邻，而丙与丁不能相邻，则不同的排法种数有种 80. 从 1，2，3，? ，20 这 20 个自然数中，每次任取3 个数， （1）若 3 个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有?个，若组成等比数列，则这样 的等比数列共有?个； （2）若 3 个数的和是3 的倍数，则这样的数组有?个；若其和是大于10 的偶数，则这样 的数组有?个 三、解答题（共20 小题；共260 分） 81. （ 1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法? （ 2）7 位同学站成两排（前3 后 4），共有多少种不同的排法? （ 3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，

27、共有多少种不同的排法? （ 4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? （ 5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 82. 有 5 个男生和3 个女生，从中选出5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选 法数： （ 1）有女生但人数必须少于男生； （ 2）某女生一定要担任语文科代表； （ 3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； （ 4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 83. 男运动员6 名，女运动员4 名，其中男女队长各1 名，选派5 人外出比赛，在下列情形中各有 多少种选派方法? （ 1

28、）男运动员3 名，女运动员2 名； （ 2）至少有 1 名女运动员； （ 3）队长中至少有1 人参加； 第 8 页（共 23页） （ 4）既要有队长，又要有女运动员 84. 某地有 10 个著名景点，其中8 个为日游景点，2 个为夜游景点某旅行团要从这10 个景点中 选 5 个作为二日游的旅游地行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、 下午各一个景点 （ 1）甲、乙两个日游景点至少选1 个的不同排法有多少种? （ 2）甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种? （ 3）甲、乙两个日游景点不同时被选，共有多少种不同排法? 85. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决

29、定从本班24 名女同学， 18 名男同学中随机抽 取一个容量为7 的样本进行分析 附：线性回归方程为?= ? ? + ? ，?= ? ? -? ? ? =1 ? ? -? ? ? -? 2 ，?= ?- ? ? ， ? ?- ?2 7 ? =1 ? ?- ? 7 ? =1 ? ?- ? 7683812526 （ 1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本?（写出算式即可，不必计算出 结果） （ 2）如果随机抽取的7 名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表： 学生序号 ?1234567 数学成绩 ? ? 60657075858790 物理成绩 ? ? 7077808590869

30、3 （ i）若规定85 分以上（包括85 分）为优秀，从这7 名同学中抽取3 名同学，记3 名同学中数 学和物理成绩均为优秀的人数为? ，求 ?的分布列和数学期望； （ii ）根据上表数据，求物理成绩?关于数学成绩?的线性回归方程（系数精确到0.01）； 若班上某位同学的数学成绩为96 分，预测该同学的物理成绩为多少分? 86. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5 种颜色可供使用，求不同的染色方法种数 87. 设三位数 ?= ?，若以 ? ，? ，? 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的 三位数 ?有多少个 ? 88. 有 9

31、 名学生，其中2 名会下象棋但不会下围棋，3 名会下围棋但不会下象棋，4 名既会下围棋又 会下象棋现在要从这9 名学生中选出2 名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛， 共有多少种不同的选派方法? 第 9 页（共 23页） 89. 2016 年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“ 0000 ” 到“ 9999 ” 共 10000 个号码中选择公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“ 6” 或恰带有两个数字“ 8” 的一律作为 “ 金猴卡 ” ，享受一定优惠政策如后四位数为“ 2663 ” ， “ 8685 ” 为“ 金猴卡 ” ，求这组 号码中 “ 金猴卡 ”

32、 的张数 90. 从 5 双不同的鞋中任意取出4 只，求满足下列要求的不同取法有多少种： （ 1）所取的 4 只鞋中恰好有2 只是成双的； （ 2）所取的 4 只鞋中至少有2 只是成双的 91. （ 1）求 1 2 -? 5 的展开式中? 3 的系数及展开式中各项系数之和； （ 2）从 0， 2，3，4，5，6 这 6 个数中任取4 个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的 四位数的个数 92. （ 1）3 人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种? （ 2）有 5 个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种? （ 3）现有 10 个保送

33、上大学的名额，分配给7 所学校，每校至少有1 个名额，问名额分配的方 法共有多少种? 93. 如图，四边形?的两条对角线? ，? 相交于 ? ，现用五种颜色（其中一种为红色）对图 中四个三角形?，?，?，? 进行染色，且每个三角形用一种颜色图染 （ 1）若必须使用红色，求四个三角形?，?，?，? 中有且只有一组相邻三 角形同色的染色方法的种数； （ 2）若不使用红色，求四个三角形?，?， ?，? 中所有相邻三角形都不同 色的染色方法的种数 94. 在 1，2，3，? ，30 个数中，每次取两两不等的3 个数，使它们的和为3 的倍数，共有多少种 不同的取法 ? 95. 如图，一环形花坛分成A，B

34、，C，D 4 个区域摆放鲜花，有4 种不同颜色的鲜花可供选择，规 定每个区域只准摆放一种颜色的鲜花，相邻区域鲜花颜色不同，问共有多少种不同的摆花方案? 96. 如图，由若干个小正方形组成的?层三角形图阵，第一层有1 个小正方形，第二层有2 个小正 方形，依此类推，第?层有 ?个小正方形 .除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层 的两个小正方形之上.现对第 ?层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为? 1，?2， ? ，? ?，其中 ? ? 0,1 1 ? ?，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数 字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为? 0 . 第 10

35、页（共 23页） （ 1）当 ?= 4 时，若要求? 0为 2 的倍数，则有多少种不同的标注方法 ? （ 2）当 ?= 11 时，若要求? 0为 3 的倍数，则有多少种不同的标注方法 ? 97. 8 人排成一排照相，A，B，C 3 人互不相邻， D，E 也不相邻，共有多少种排法? 98. 75600 有多少个正约数；有多少个奇约数? 99. 设 ? ，?均为非空集合，且?= ?， ?=1,2,3, ? ,? ? 3, ? ? 记 ? ，?中的元素 的个数分别为? ， ? ，所有满足 “ ? ，且 ? “的集合对? ,? 的个数为 ? ? （ 1）求 ? 3，?4的值； （ 2）求 ? ? 10

36、0. 设 ? =? 1,?2,? ,?10 是数 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 的任意一个全排列，定义 ?=2?- 3? +1 10 ? =1 ，其中 ? 11= ?1 （ 1）若 ? =10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 ，求 ?的值； （ 2）求 ?的最大值； （ 3）求使 ?达到最大值的所有排列? 的个数 第 11页（共 23页） 答案 第一部分 1. B 【解析】三个不相同的数组成三位数，首位与末位只能用奇数，中间位随意，故先排首位末位 得 A3 2 3 = 18 2. C 【解析】由题易知，不同的选法共有C8 2 C6 1C 5 1 = 840 种

37、 3. B 4. C 【解析】由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4 科中任选2 科看作一个整体，然后做3 个元素的全排列，共C4 2 A3 3 种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的 情形，共A3 3 种方法，故总的方法种数为C4 2 A3 3 - ?3 3 = 36 - 6 = 30 5. D 【解析】有两类情况：其中一所学校3 名教师，另两所学校各一名教师的分法有C5 3A 3 3 = 60 种； 其中一所学校1 名教师，另两所学校各两名教师的分法有C5 1 C4 2 2 A3 3 = 90 种 共有 60 + 90 = 150 种 6. A 【解析】若甲乙抽取的一

38、个笔记本电脑和一个山地车，剩下2 个礼品，被剩下的4 人中的 2 个 人抽取，有A2 2 A4 2 = 24 种， 若甲乙抽取的都是笔记本电脑或两个山地车，剩下2 个礼品，被剩下的4 人中的 2 个人抽取，有 A2 2 C4 2 = 12 种， 根据分类计数原理可得，共有24 + 12 = 36 种 7. C 【解析】由于每个景点至少一人，故必有一个景点有2 名游客， 第一步，选出2 名游客组成一组，共有C5 2 = 10 种方法， 第二步，将选出的2 名游客看作一个整体，和剩余的3 名游客进行排列，共有A4 4 = 24 种方法， 所以不同的游览方法有10 24 = 240 种 8. D 【

39、解析】根据题意，分2 步进行分析： 先把 5 位大学毕业生分成3 组， 若分成 2 -2 - 1 的三组，有 C5 2 C3 2 C1 1 A2 2 = 15 种， 若分成 3 -1 - 1 的三组，有 C5 3 C2 1 C1 1 A2 2 = 10 种， 则一共有15 + 10 = 25 种分组方法； 将分好的3 组全排列，对应3 家单位，有A3 3 = 6 种情况， 则不同的分配方法有25 6 = 150 种 9. C 【解析】开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训课程，要求每名员工参加且只参加 其中两种没有相同的安排共有C4 2 = 6 种，当每种安排各有4 人，没有5 名员工参

40、加的培训完全相 同此时有员工4 6 = 24 人，当增加1 人，必有5 名员工参加的培训完全相同所以该公司至少有 25 名员工 10. C 【解析】根据题意，分2 种情况讨论： 第 12页（共 23页） 若有 1 人参加 “ 演讲团 ” ，在 6 人中选出1 人，参加 “ 演讲团 ” ，有 C6 1 = 6 种情况，剩下的5 个人参加 剩下的 4 个社团，人数安排有1，1，1，2 或 1，2，2 两种情况，则有 C5 1 C4 1 C3 1C22 A3 3 A4 4 + C5 1 C4 2C22 A2 2 A4 3 = 600 种安排方法，则此时的不同参加方法有6 600 = 3600 种 若

41、没有人参加“ 演讲团 ” ，则 6 人参加 4 个社团，人数安排有1，1，2，2 或 2，2，2 两种情况，此 时有 C6 2 C4 2C21 C1 1 A2 2 A2 2A4 4 + C6 2C42C22 A3 3A4 3 = 1440 种安排方法，则不同参加方法有3600 + 1440 = 5040 种 11. B 12. B 13. D 【解析】根据题意，甲地需要选派2 人且至少有1 名女生，若甲地分派2 名女 生，有 C2 2 = 1 种情况，若甲地分配1 名女生，有C2 1 ?C3 1 = 6 种情况，则甲地的分派方法有1 + 6 = 7 种，甲地安排好后，在剩余3 人中，任选2 人

42、，安排在乙、丙两地，有A3 2 = 6 种安排方法，则不同的 选派方法的种数是7 6 = 42 14. C 【解析】由题意知本题需要分类解决， 因为对于7 个台阶上每一个只站一人有A7 3 种； 若有一个台阶有2 人另一个是1 人共有 C3 1 A7 2 种， 所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A7 3 + C3 1A72 = 336 种 15. D 16. C 17. C 【解析】因为从5 名学生中选出4 名分别参加 A，B，C，D 四科竞赛，其中甲不能参 加 A， B 两科竞赛，所以可分为以下几步： （1）先从 5 人中选出4 人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加 有甲参加时，选法

43、有：C4 3 = 4 种； 无甲参加时，选法有：C4 4 = 1 种 （2）安排科目： 有甲参加时，先排甲，再排其它人排法有：A2 1 A3 3 = 12 种 无甲参加时，排法有A4 4 = 24 种 综上， 4 12 + 1 24 = 72 所以不同的参赛方案种数为72 18. A 19. C 20. C 【解析】 6 名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作若济南至少安排2 人，青岛至少安排3 人， 分两类， 第一类，青岛安排3 人，济南安排3 人，有 C6 3 = 20 种， 第二类，青岛安排4 人，济南安排2 人，有 C6 4 = 15 种， 根据分类计数原理可得20 + 15 = 35

44、 种 21. D 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同 的情况， 当取得 4 个偶数时，有C4 4 = 1 种结果， 当取得 4 个奇数时，有C5 4 = 5 种结果， 当取得 2 奇 2 偶时有 C4 2C52 = 6 10 = 60 ， 所以共有1 + 5 + 60 = 66 种结果， 第 13页（共 23页） 22. C 23. C 【解析】四个篮球中两个分到一组有C4 2 种分法，三个篮球进行全排列有A3 3 种分法， 标号 1， 2 的两个篮球分给同一个小朋友有A3 3 种分法，所以有C4 2 A3 3 -A3 3 = 36 - 6 =

45、30 种分法 24. C 【解析】根据题意，分3 步进行分析： 、从 5 种主料之中选2 种，有 C5 2 = 10 种选法； 、从 8 种辅料中选3 种烹制菜肴，有C8 3 = 56 种选法； 、从 5 种烹制方式选一种，有C5 1 = 5 种选法； 则最多可以烹制出不同的菜肴种数为10 56 5 = 2800 25. B 【解析】第一类5 人分成 3，1，1 有 1 2 C5 3 C2 1 ?A3 3 = 60 种方法， 第二类 5 人分成 2，2，1 有 C5 2 C3 2 A3 3 ? 1 2 = 90 种方法， 所以共有6 60 + 90= 900 种方法 26. C 27. C 【

46、解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C2 1 C3 1 A3 3 = 36， 但集合 ? ，?中有相同元素1， 由 5，1，1 三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36 - 3 = 33 个 28. D 【解析】由题意，可以采用间接法来解决，A7 4 -A4 4 = 816 29. D 【解析】第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素?有 C3 1A 2 2 = 6 种排 法；第二步，再选一对夫妻，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在 一起看作另一个复合元素? ，有 C2 1 A2 2 C2 1 = 8 种排法；第三步，将复合元素?

47、， ?和剩下的那对夫妻中 剩下的那一个进行全排列有A3 3 = 6 种排法，则由分步计数原理，符合条件的排法有6 8 6 = 288 种 30. D 31. D 32. D 【解析】设三个学校分别为? ，? ，? ，对应的学生为1，2， 3 名，分两类：第一类是 ? ，?两个学校的三个学生分别被?学校的三个学生分别隔开有2A3 3 ?A3 3 = 72 种；第二类是? ，?两 个学校中其中一名学生相邻有A3 3 ?C2 1 ?A2 2 ?A2 2 = 48 根据分类计数计数原理得共有72 + 48 = 120 种 33. B 34. B 35. B 36. A 【解析】先将5 人分成三组，3，

48、1， 1 或 2，2， 1，共有 C5 3 + C5 1 C4 2? C22 2! = 25 种，再将每组学 生分到 3 所学校有A3 2 = 6 种分法，共有25 6 = 150 种不同的保送方法 37. A 38. B 39. C 40. D 【解析】分成1，1，3 时，分法有C5 3A 3 3 种；分成 1，2，2 时，分法有 C5 2 C3 2 A2 2 A3 3 种，所以一共有 C5 3 A3 3 + C5 2C32 A2 2A3 3 = 150 种 . 第二部分 41. 32 42. 36 43. 30 第 14页（共 23页） 44. 1080 【解析】根据题意，分2 种情况讨论： 、四位数中没有一个偶数数字，即在1，3， 5，7，9 种任选 4 个，组成一个四位数即可，有 A5 4 = 120 种情况，即有120 个没有一个偶数数字四位数； 、四位数中只有一个偶数数字