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1、第 1 页(共 23页) 【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之191排列组合模型 一、选择题(共40 小题;共200 分) 1. 从 1,2,3,4,5 这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三 位数个数为? A. 12B. 18C. 24D. 30 2. GZ 新闻台做一校一特色访谈节目,分A,B,C 三期播出, A 期播出两所学校,B 期, C 期 各播出 1 所学校,现从8 所候选学校中选出4 所参与这三项任务,不同的选法共有? A. 140 种B. 420 种C. 840 种D. 1680 种 3. 安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工
2、作,每天安排一人,甲、乙、丙每人 安排一天,丁安排三天,并且丁至少要有两天连续安排,则不同的安排方法种数为? A. 72B. 96C. 120D. 156 4. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4 科的专题讲座,每科一 节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有? A. 6 种B. 24 种C. 30 种D. 36 种 5. 某学校派出5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不 同的分配方法有? A. 80 种B. 90 种C. 120 种D. 150 种 6. 在某商业促销的最后一场活动中,甲、乙、丙
3、、丁、戊、己6 名成员随机抽取4 个礼品,每人最 多抽一个礼品,且礼品中有两个完全相同的笔记本电脑,两个完全相同的山地车,则甲、乙两人 都抽到礼品的情况有? A. 36 种B. 24 种C. 18 种D. 9 种 7. 汉中最美油菜花节期间,5 名游客到四个不同景点游览,每个景点至少有一人,则不同的游览方 法共有?种 A. 120B. 625C. 240D. 1024 8. 5 位大学毕业生分配到3 家单位,每家单位至少录用1 人,则不同的分配方法共有? A. 25 种B. 60 种C. 90 种D. 150 种 9. 某翻译公司为提升员工业务能力,为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语
4、种的培训课 程,要求每名员工参加且只参加其中两种无论如何安排,都有至少5 名员工参加的培训完全相 同问该公司至少有多少名员工? ? A. 17B. 21C. 25D. 29 10. 某高校大一新生中的6 名同学打算参加学校组织的“ 雅荷文学社 ” 、“ 青春风街舞社 ” 、“ 羽乒协会 ” 、 “ 演讲团 ” 、“ 吉他协会 ” 五个社团若每个同学必须参加且只能参加1 个社团且每个社团至多两人 参加,则这6 个人中至多有1 个参加 “ 演讲团 ” 的不同参加方法为? A. 4680B. 4770C. 5040D. 5200 第 2 页(共 23页) 11. 小明有中国古代四大名著:三国演义,西
5、游记,水浒传,红楼梦各一本,他 要将这四本书全部借给三位同学,每位同学至少一本,但西游记,红楼梦这两本书不 能借给同一人,则不同的借法有? A. 36 种B. 30 种C. 24 种D. 12 种 12. 四个大学生分到两个单位,每个单位至少分一个的分配方案有? A. 10 种B. 14 种C. 20 种D. 24 种 13. 某学校需从3 名男生和2 名女生中选出4 人,分派到甲、乙、丙三地参加义工活动,其中甲地 需要选派2 人且至少有1 名女生,乙地和丙地各需要选派1 人,则不同的选派方法的种数是 ? A. 18B. 24C. 36D. 42 14. 甲、乙、丙三人站到共有7 级的台阶上,
6、若每级台阶最多站2 人,同一级台阶上的人不区分站 的位置,则不同的站法种数是? A. 258B. 306C. 336D. 296 15. 将数字 “ 124467 ” 重新排列后得到不同的偶数个数为? A. 72B. 120C. 192D. 240 16. 有 7 张卡片分别写有数字1,1,1,2,2, 3,4,从中任取4 张,可排出的四位数有?个 A. 78B. 102C. 114D. 120 17. 从 5 名学生中选出4 名分别参加A,B,C,D 四科竞赛,其中甲不能参加A,B 两科竞赛,则 不同的参赛方案种数为? A. 24B. 48C. 72D. 120 18. 中国诗词大会(第二季
7、)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光 舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味若将进酒山居秋暝望岳送杜少府 之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场,且将进酒排在望岳的前面,山居秋暝 与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有? A. 144 种B. 288 种C. 360 种D. 720 种 19. 从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任取出3 台,在取出的3 台中至少有甲型和乙型电视机各一台, 则不同取法共有? A. 140 种B. 80 种C. 70 种D. 35 种 20. 将 6 名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作若济南至少安排2 人,青岛至少安排3
8、人, 则不同的安排方法数为? A. 120B. 150C. 35D. 55 21. 若从 1,2,3, ? ,9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 ? A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种 22. 有甲、乙、丙三项任务,甲需2 人承担,乙、丙各需1 人承担,从10 人中选派4 人承担这三项 任务,不同的选派方法共有? A. 1260 种B. 2025 种C. 2520 种D. 5040 种 第 3 页(共 23页) 23. 将标号为1,2,3,4 的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1, 2 的两个篮球不能分给同一个
9、小朋友,则不同的分法种数为? A. 15B. 20C. 30D. 42 24. 从 5 种主料中选2 种, 8 种辅料中选3 种烹制菜肴,烹制方式有5 种,那么最多可以烹制出不 同的菜肴种数为? A. 18B. 200C. 2800D. 33600 25. 某学校安排3 位老师与5 名学生去3 地参观学习,每地至少去1 名老师和1 名学生,则不同的 安排方法总数为? A. 1800B. 900C. 300D. 1440 26. 某企业有4 个分厂,新培训了一批6 名技术人员,将这6 名技术人员分配到各分厂,要求每个 分厂至少 1 人,则不同的分配方案种数为? A. 1080B. 480C. 1
10、560D. 300 27. 已知集合?=5 , ?=1,2 ,?=1,3,4 ,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系 上的坐标,则确定的不同点的个数为? A. 6B. 32C. 33D. 34 28. 从 4 位男数学教师和3 位女语文教师中选出4 位教师派到4 个班担任班主任(每班1 位班主 任),要求这4 位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有? A. 210 种B. 420 种C. 630 种D. 816 种 29. 三对夫妻站成一排照相,则仅有一对夫妻相邻的站法总数是? A. 72B. 144C. 240D. 288 30. 现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等5 个人,
11、每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有 不同分法的种数为? A. 12B. 24C. 36D. 48 31. 安排 3 名志愿者完成4 项工作,每人至少完成1 项,每项工作由1 人完成,则不同的安排方式 共有? A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种 32. 三个学校分别有1 名、 2 名、 3 名学生获奖,这6 名学生排成一排合影,要求同校的任意两名 学生不能相邻,那么不同的排法共有? A. 36 种B. 72 种C. 108 种D. 120 种 33. 5 位同学站成一排照相,其中甲与乙必须相邻,且甲不能站在两端的排法总数是? A. 40B. 36C. 32D. 24
12、 34. 高考结束后高三的8 名同学准备拼车去旅游,其中一班、二班、三班、四班每班各两名,分乘 甲、乙两辆汽车,每车限坐4 名同学(乘同一辆车的4 名同学不考虑位置),其中一班两位同 学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4 名同学中恰好有2 名同学是来自同一班的乘坐 方式共有? A. 18 种B. 24 种C. 48 种D. 36 种 第 4 页(共 23页) 35. 从 1,2, 3,4,5 这 5 个数字中任取3 个数字组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶 数的概率为? A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 3 5 36. 将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学
13、,中山大学这3 所大学就读,每所大学至少保 送 1 人,则不同的保送方法共有? A. 150 种B. 180 种C. 240 种D. 540 种 37. 某班有 60 名学生,其中正、副班长各1 人,现要选派5 人参加一项社区活动,要求正、副班长 至少 1 人参加,问共有多少种选派方法?下面是学生提供的四个计算式,其中错误的是? A. C2 1 C59 4 B. C60 5 - C58 5 C. C2 1 C59 4 - C2 2 C58 3 D. C2 1C 58 4 + C2 2C 58 3 38. 四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币若 硬币正面
14、朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着那么,没有相邻的两 个人站起来的概率为? A. 1 4 B. 7 16 C. 1 2 D. 9 16 39. 五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币若 硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着那么,没有相邻的两 个人站起来的概率为? A. 1 2 B. 15 32 C. 11 32 D. 5 16 40. 将 5 名志愿者分配到3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方案 种数为? A. 540B. 300C. 180D. 150 二、填空题(共40 小题;
15、共200 分) 41. 航空母舰 “ 辽宁舰 ” 将进行一次编队配置科学实验,要求2 艘攻击型核潜艇一前一后,2 艘驱逐舰 和 2 艘 护 卫 舰 分 列 左 、 右 , 同 侧 不 能 都 是 同 种 舰 艇 , 则 编 队 配 置 分 配 方 案 的 方 法 数 为(用数字作答) 42. 把 4 名中学生分别推荐到3 所不同的大学去学习,每个大学至少收一名,全部分完,不同的分 配方案数为 43. 从 4 名男同学,3 名女同学中选3 名同学组成一个小组,要求其中男、女同学都有,则共 有种不同的选法(用数字作答) 44. 用数字 1,2,3,4, 5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多
16、有一个数字是偶数的四位数, 这样的四位数一共有个(用数字作答) 45. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时,需要固定六个位置上的螺丝,首先随意拧紧一 个螺丝,接着拧紧距离它最远的第二个螺丝,再随意拧紧第三个螺丝,接着拧紧距离第三个螺 丝最远的第四个螺丝,第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有种 第 5 页(共 23页) 46. 某校在一天的8 节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2 节自修课,其中第1 节只能安排语文、数学、英语三门中的一门,第8 节只能安排选修课或自修课,且选修课与自 修课、自修课与自修课均不能相邻,则所有不同的排法共有种(结果用数字表示) 47. 将
17、5 幅不同的冬奥会宣传作品排成前后两排展出,每排至少2 幅,其中A,B 两幅作品必须排 在前排,那么不同的排法共有种 48. 有 3 女 2 男共 5 名志愿者要全部分到3 个社区去参加志愿服务,每个社区1 到 2 人,甲、乙两 名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为 49. 现将5 张连号的电影票分给甲乙等5 个人,每人一张,且甲乙分得的电影票连号,则共 有种不同的分法(用数字作答) 50. 大厦一层有A,B,C,D 四部电梯, 3 人在一层乘坐电梯上楼,其中2 人恰好乘坐同一部电梯, 则不同的乘坐方式有种(用数字作答) 51. 某班主任准备请2016 届毕业生做报告
18、,要从甲、乙等8 人中选 4 人发言,要求甲、乙两人至少 一 人 参 加 , 若 甲 乙 同 时 参 加 , 则 他 们 发 言 中 间 需 恰 隔 一 人 , 那 么 不 同 的 发 言 顺 序 共 有种(用数字作答) 52. 某校开设A 类选修课4 门, B 类选修课 2 门,每位同学需从两类选修课中共选4 门若要求至 少选一门 B 类课程,则不同的选法共有种(用数字作答) 53. 2017 年 1 月 27 日,哈尔滨地铁3 号线一期开通运营,甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁 去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方,哈西站一定要有人去,则不同的游览 方案为 54. 用四种不同的
19、颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色, 一共有种不同的涂色方法 55. 在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给6 位 “ 萌娃 ” 布置一项搜寻空投食物的任务已知: 食物投掷地点有远、近两处;由于Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需 一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩须被均 分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案有种(以数字作答) 56. 某班 3 名男生2 名女生被派往三个单位实习,每个单位至少去一人,两名女生不去同一单位, 则不同的分派方案有种(用数字作答) 57. 将 3 个男同学和3
20、个女同学排成一列,若男同学甲与另外两个男同学不相邻,则不同的排法种 数为(用具体的数字作答) 第 6 页(共 23页) 58. 在庆祝抗战胜利70 周年活动期间,有5 位外国领导人在天安门城楼前站成一排照相留影,若领 导人甲与领导人乙必须相邻,领导人甲与领导人丙一定不相邻,则不同排法的种数是 59. 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长1 人,副队长1 人,普通队员2 人组成 4 人服务队,要求服 务队中至少有1 名女生,共有种不同的选法(用数字作答) 60. 我们把三个集合中,通过两次连线后能够有关系的两个数字的关系称为“ 鼠标关系 ” ,如图 1,可 称 ?与 ? ,?与 ? ,?与
21、 ?都为 “ 鼠标关系 ” 集合?=? ,? ,? ,?,通过集合?=1,2,3与集合 ?=?,? 最多能够产生条“ 鼠标关系 ” (只要有一条连线不同则“ 鼠标关系 ” 不同) 61. 若用 1,2,3, 4,5,6 这 6 个数字组成不重复的六位数,满足1 不在首位与末位,3 个偶数中 有且只有 2 个相邻,则这样的六位数的个数为 62. 我校高二某学生决定“ 五一 ” 好好轻松一下,为此制定了一项旅游计划,从7 个旅游城市中选择4 个进行游览,如果A,B 为必选城市,并且在游览过程中必须按先A 后 B 的次序经过A,B 两 城市( A,B 两城市可以不相邻),则有种不同的游览线路 63.
22、 某班级原有一张周一到周五的值日表,五位班干部每人值一天,现将值日表进行调整,要求原 周一和周五的两人都不值这两天,周二至周四的这三人都不值自己原来的日期,则不同的调整 方法种数是(用数字作答) 64. 若 9 个人任意排成一排,则甲排中间,且乙与丙相邻的概率为 65. 直线 ? ,?为异面直线,直线?上有 4 个点,直线?上有 5 个点,以这些点为顶点的三角形共 有个; 66. 由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 67. 甲、乙、丙三人站在共有7 级的台阶上,若每级台阶最多站2 人,同一级台阶上的人不区分站 的位置,则不同的站法总数为 6
23、8. 现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3 张,从中任取3 张,要求这3 张 卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1 张,不同取法的种数为 69. 从一架钢琴挑出的10 个音键中,分别选择3 个, 4 个, 5 个, ? ,10 个键同时按下,可发出和 声,若有一个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同的和声数为(用数字作 答) 70. 2015 年 4 月 22 日,亚非领导人会议在印尼雅加达举行,某五国领导人? ,? ,? ,? ,?除 ?与 ? ,?与 ?不单独会晤外,其他领导人两两之间都要单独会晤现安排他们在两天的上午、下午 单独会晤(每人每个半天最多只进行一
24、次会晤),那么安排他们单独会晤的不同方法共 有种 71. 甲、乙、丙3 人站到共有6 级的台阶上,若每级台阶最多站2 人,同一级台阶上的人不区分站 的位置,则不同的站法种数是(用数字作答) 第 7 页(共 23页) 72. 将序号分别为1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给4 人,每人至少1 张如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 73. 从 4 名男生, 3 名女生中选派3 人参加学科竞赛,一人参加数学竞赛、一人参加物理竞赛、一人 参加化学竞赛,若3 人中既有男生又有女生,则不同的选派方法有种 74. 现有 5 名教师要带3 个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组
25、的带队教师至多2 人,但其 中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有种(用数字作答) 75. 从 0,1,2, 3,4,5,6 这 7 个数字中选出4 个不同的数字构成四位数,不大于3410 的个数 是 76. 从 0,1, 3,4,5,6 六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数, 这样的三位数共有个(结果用数字作答) 77. 某校高一开设3 门选修课,有3 名同学,每人只选一门,则恰有1 门课程没有同学选修共 有种不同选课方案(用数字作答) 78. 由 1,2, 3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且4 不在第四位,则这样 的六位数共
26、有个 79. 5 个人排成一排,其中甲与乙必须相邻,而丙与丁不能相邻,则不同的排法种数有种 80. 从 1,2,3,? ,20 这 20 个自然数中,每次任取3 个数, (1)若 3 个数能组成等差数列,则这样的等差数列共有?个,若组成等比数列,则这样 的等比数列共有?个; (2)若 3 个数的和是3 的倍数,则这样的数组有?个;若其和是大于10 的偶数,则这样 的数组有?个 三、解答题(共20 小题;共260 分) 81. ( 1)7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法? ( 2)7 位同学站成两排(前3 后 4),共有多少种不同的排法? ( 3)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,
27、共有多少种不同的排法? ( 4)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? ( 5)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 82. 有 5 个男生和3 个女生,从中选出5 人担任 5 门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选 法数: ( 1)有女生但人数必须少于男生; ( 2)某女生一定要担任语文科代表; ( 3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表; ( 4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表 83. 男运动员6 名,女运动员4 名,其中男女队长各1 名,选派5 人外出比赛,在下列情形中各有 多少种选派方法? ( 1
28、)男运动员3 名,女运动员2 名; ( 2)至少有 1 名女运动员; ( 3)队长中至少有1 人参加; 第 8 页(共 23页) ( 4)既要有队长,又要有女运动员 84. 某地有 10 个著名景点,其中8 个为日游景点,2 个为夜游景点某旅行团要从这10 个景点中 选 5 个作为二日游的旅游地行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点,第二天上午、 下午各一个景点 ( 1)甲、乙两个日游景点至少选1 个的不同排法有多少种? ( 2)甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种? ( 3)甲、乙两个日游景点不同时被选,共有多少种不同排法? 85. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决
29、定从本班24 名女同学, 18 名男同学中随机抽 取一个容量为7 的样本进行分析 附:线性回归方程为?= ? ? + ? ,?= ? ? -? ? ? =1 ? ? -? ? ? -? 2 ,?= ?- ? ? , ? ?- ?2 7 ? =1 ? ?- ? 7 ? =1 ? ?- ? 7683812526 ( 1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出 结果) ( 2)如果随机抽取的7 名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表: 学生序号 ?1234567 数学成绩 ? ? 60657075858790 物理成绩 ? ? 7077808590869
30、3 ( i)若规定85 分以上(包括85 分)为优秀,从这7 名同学中抽取3 名同学,记3 名同学中数 学和物理成绩均为优秀的人数为? ,求 ?的分布列和数学期望; (ii )根据上表数据,求物理成绩?关于数学成绩?的线性回归方程(系数精确到0.01); 若班上某位同学的数学成绩为96 分,预测该同学的物理成绩为多少分? 86. 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5 种颜色可供使用,求不同的染色方法种数 87. 设三位数 ?= ?,若以 ? ,? ,? 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的 三位数 ?有多少个 ? 88. 有 9
31、 名学生,其中2 名会下象棋但不会下围棋,3 名会下围棋但不会下象棋,4 名既会下围棋又 会下象棋现在要从这9 名学生中选出2 名学生,一名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛, 共有多少种不同的选派方法? 第 9 页(共 23页) 89. 2016 年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“ 0000 ” 到“ 9999 ” 共 10000 个号码中选择公司规定:凡卡号的后四位恰带有两个数字“ 6” 或恰带有两个数字“ 8” 的一律作为 “ 金猴卡 ” ,享受一定优惠政策如后四位数为“ 2663 ” , “ 8685 ” 为“ 金猴卡 ” ,求这组 号码中 “ 金猴卡 ”
32、 的张数 90. 从 5 双不同的鞋中任意取出4 只,求满足下列要求的不同取法有多少种: ( 1)所取的 4 只鞋中恰好有2 只是成双的; ( 2)所取的 4 只鞋中至少有2 只是成双的 91. ( 1)求 1 2 -? 5 的展开式中? 3 的系数及展开式中各项系数之和; ( 2)从 0, 2,3,4,5,6 这 6 个数中任取4 个组成一个无重复数字的四位数,求满足条件的 四位数的个数 92. ( 1)3 人坐在有八个座位的一排上,若每人的左右两边都要有空位,则不同坐法的种数为几种? ( 2)有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种? ( 3)现有 10 个保送
33、上大学的名额,分配给7 所学校,每校至少有1 个名额,问名额分配的方 法共有多少种? 93. 如图,四边形?的两条对角线? ,? 相交于 ? ,现用五种颜色(其中一种为红色)对图 中四个三角形?,?,?,? 进行染色,且每个三角形用一种颜色图染 ( 1)若必须使用红色,求四个三角形?,?,?,? 中有且只有一组相邻三 角形同色的染色方法的种数; ( 2)若不使用红色,求四个三角形?,?, ?,? 中所有相邻三角形都不同 色的染色方法的种数 94. 在 1,2,3,? ,30 个数中,每次取两两不等的3 个数,使它们的和为3 的倍数,共有多少种 不同的取法 ? 95. 如图,一环形花坛分成A,B
34、,C,D 4 个区域摆放鲜花,有4 种不同颜色的鲜花可供选择,规 定每个区域只准摆放一种颜色的鲜花,相邻区域鲜花颜色不同,问共有多少种不同的摆花方案? 96. 如图,由若干个小正方形组成的?层三角形图阵,第一层有1 个小正方形,第二层有2 个小正 方形,依此类推,第?层有 ?个小正方形 .除去最底下的一层,每个小正方形都放置在它下一层 的两个小正方形之上.现对第 ?层的每个小正方形用数字进行标注,从左到右依次记为? 1,?2, ? ,? ?,其中 ? ? 0,1 1 ? ?,其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数 字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为? 0 . 第 10
35、页(共 23页) ( 1)当 ?= 4 时,若要求? 0为 2 的倍数,则有多少种不同的标注方法 ? ( 2)当 ?= 11 时,若要求? 0为 3 的倍数,则有多少种不同的标注方法 ? 97. 8 人排成一排照相,A,B,C 3 人互不相邻, D,E 也不相邻,共有多少种排法? 98. 75600 有多少个正约数;有多少个奇约数? 99. 设 ? ,?均为非空集合,且?= ?, ?=1,2,3, ? ,? ? 3, ? ? 记 ? ,?中的元素 的个数分别为? , ? ,所有满足 “ ? ,且 ? “的集合对? ,? 的个数为 ? ? ( 1)求 ? 3,?4的值; ( 2)求 ? ? 10
36、0. 设 ? =? 1,?2,? ,?10 是数 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 的任意一个全排列,定义 ?=2?- 3? +1 10 ? =1 ,其中 ? 11= ?1 ( 1)若 ? =10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 ,求 ?的值; ( 2)求 ?的最大值; ( 3)求使 ?达到最大值的所有排列? 的个数 第 11页(共 23页) 答案 第一部分 1. B 【解析】三个不相同的数组成三位数,首位与末位只能用奇数,中间位随意,故先排首位末位 得 A3 2 3 = 18 2. C 【解析】由题易知,不同的选法共有C8 2 C6 1C 5 1 = 840 种
37、 3. B 4. C 【解析】由于每科一节课,每节至少有一科,必有两科在同一节,先从4 科中任选2 科看作一个整体,然后做3 个元素的全排列,共C4 2 A3 3 种方法,再从中排除数学、理综安排在同一节的 情形,共A3 3 种方法,故总的方法种数为C4 2 A3 3 - ?3 3 = 36 - 6 = 30 5. D 【解析】有两类情况:其中一所学校3 名教师,另两所学校各一名教师的分法有C5 3A 3 3 = 60 种; 其中一所学校1 名教师,另两所学校各两名教师的分法有C5 1 C4 2 2 A3 3 = 90 种 共有 60 + 90 = 150 种 6. A 【解析】若甲乙抽取的一
38、个笔记本电脑和一个山地车,剩下2 个礼品,被剩下的4 人中的 2 个 人抽取,有A2 2 A4 2 = 24 种, 若甲乙抽取的都是笔记本电脑或两个山地车,剩下2 个礼品,被剩下的4 人中的 2 个人抽取,有 A2 2 C4 2 = 12 种, 根据分类计数原理可得,共有24 + 12 = 36 种 7. C 【解析】由于每个景点至少一人,故必有一个景点有2 名游客, 第一步,选出2 名游客组成一组,共有C5 2 = 10 种方法, 第二步,将选出的2 名游客看作一个整体,和剩余的3 名游客进行排列,共有A4 4 = 24 种方法, 所以不同的游览方法有10 24 = 240 种 8. D 【
39、解析】根据题意,分2 步进行分析: 先把 5 位大学毕业生分成3 组, 若分成 2 -2 - 1 的三组,有 C5 2 C3 2 C1 1 A2 2 = 15 种, 若分成 3 -1 - 1 的三组,有 C5 3 C2 1 C1 1 A2 2 = 10 种, 则一共有15 + 10 = 25 种分组方法; 将分好的3 组全排列,对应3 家单位,有A3 3 = 6 种情况, 则不同的分配方法有25 6 = 150 种 9. C 【解析】开设英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训课程,要求每名员工参加且只参加 其中两种没有相同的安排共有C4 2 = 6 种,当每种安排各有4 人,没有5 名员工参
40、加的培训完全相 同此时有员工4 6 = 24 人,当增加1 人,必有5 名员工参加的培训完全相同所以该公司至少有 25 名员工 10. C 【解析】根据题意,分2 种情况讨论: 第 12页(共 23页) 若有 1 人参加 “ 演讲团 ” ,在 6 人中选出1 人,参加 “ 演讲团 ” ,有 C6 1 = 6 种情况,剩下的5 个人参加 剩下的 4 个社团,人数安排有1,1,1,2 或 1,2,2 两种情况,则有 C5 1 C4 1 C3 1C22 A3 3 A4 4 + C5 1 C4 2C22 A2 2 A4 3 = 600 种安排方法,则此时的不同参加方法有6 600 = 3600 种 若
41、没有人参加“ 演讲团 ” ,则 6 人参加 4 个社团,人数安排有1,1,2,2 或 2,2,2 两种情况,此 时有 C6 2 C4 2C21 C1 1 A2 2 A2 2A4 4 + C6 2C42C22 A3 3A4 3 = 1440 种安排方法,则不同参加方法有3600 + 1440 = 5040 种 11. B 12. B 13. D 【解析】根据题意,甲地需要选派2 人且至少有1 名女生,若甲地分派2 名女 生,有 C2 2 = 1 种情况,若甲地分配1 名女生,有C2 1 ?C3 1 = 6 种情况,则甲地的分派方法有1 + 6 = 7 种,甲地安排好后,在剩余3 人中,任选2 人
42、,安排在乙、丙两地,有A3 2 = 6 种安排方法,则不同的 选派方法的种数是7 6 = 42 14. C 【解析】由题意知本题需要分类解决, 因为对于7 个台阶上每一个只站一人有A7 3 种; 若有一个台阶有2 人另一个是1 人共有 C3 1 A7 2 种, 所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A7 3 + C3 1A72 = 336 种 15. D 16. C 17. C 【解析】因为从5 名学生中选出4 名分别参加 A,B,C,D 四科竞赛,其中甲不能参 加 A, B 两科竞赛,所以可分为以下几步: (1)先从 5 人中选出4 人,分为两种情况:有甲参加和无甲参加 有甲参加时,选法
43、有:C4 3 = 4 种; 无甲参加时,选法有:C4 4 = 1 种 (2)安排科目: 有甲参加时,先排甲,再排其它人排法有:A2 1 A3 3 = 12 种 无甲参加时,排法有A4 4 = 24 种 综上, 4 12 + 1 24 = 72 所以不同的参赛方案种数为72 18. A 19. C 20. C 【解析】 6 名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作若济南至少安排2 人,青岛至少安排3 人, 分两类, 第一类,青岛安排3 人,济南安排3 人,有 C6 3 = 20 种, 第二类,青岛安排4 人,济南安排2 人,有 C6 4 = 15 种, 根据分类计数原理可得20 + 15 = 35
44、 种 21. D 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同 的情况, 当取得 4 个偶数时,有C4 4 = 1 种结果, 当取得 4 个奇数时,有C5 4 = 5 种结果, 当取得 2 奇 2 偶时有 C4 2C52 = 6 10 = 60 , 所以共有1 + 5 + 60 = 66 种结果, 第 13页(共 23页) 22. C 23. C 【解析】四个篮球中两个分到一组有C4 2 种分法,三个篮球进行全排列有A3 3 种分法, 标号 1, 2 的两个篮球分给同一个小朋友有A3 3 种分法,所以有C4 2 A3 3 -A3 3 = 36 - 6 =
45、30 种分法 24. C 【解析】根据题意,分3 步进行分析: 、从 5 种主料之中选2 种,有 C5 2 = 10 种选法; 、从 8 种辅料中选3 种烹制菜肴,有C8 3 = 56 种选法; 、从 5 种烹制方式选一种,有C5 1 = 5 种选法; 则最多可以烹制出不同的菜肴种数为10 56 5 = 2800 25. B 【解析】第一类5 人分成 3,1,1 有 1 2 C5 3 C2 1 ?A3 3 = 60 种方法, 第二类 5 人分成 2,2,1 有 C5 2 C3 2 A3 3 ? 1 2 = 90 种方法, 所以共有6 60 + 90= 900 种方法 26. C 27. C 【
46、解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C2 1 C3 1 A3 3 = 36, 但集合 ? ,?中有相同元素1, 由 5,1,1 三个数确定的不同点的个数只有三个, 故所求的个数为36 - 3 = 33 个 28. D 【解析】由题意,可以采用间接法来解决,A7 4 -A4 4 = 816 29. D 【解析】第一步,先选一对夫妻使之相邻,捆绑在一起看作一个复合元素?有 C3 1A 2 2 = 6 种排 法;第二步,再选一对夫妻,从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中,把这三个人捆绑在 一起看作另一个复合元素? ,有 C2 1 A2 2 C2 1 = 8 种排法;第三步,将复合元素?
47、, ?和剩下的那对夫妻中 剩下的那一个进行全排列有A3 3 = 6 种排法,则由分步计数原理,符合条件的排法有6 8 6 = 288 种 30. D 31. D 32. D 【解析】设三个学校分别为? ,? ,? ,对应的学生为1,2, 3 名,分两类:第一类是 ? ,?两个学校的三个学生分别被?学校的三个学生分别隔开有2A3 3 ?A3 3 = 72 种;第二类是? ,?两 个学校中其中一名学生相邻有A3 3 ?C2 1 ?A2 2 ?A2 2 = 48 根据分类计数计数原理得共有72 + 48 = 120 种 33. B 34. B 35. B 36. A 【解析】先将5 人分成三组,3,
48、1, 1 或 2,2, 1,共有 C5 3 + C5 1 C4 2? C22 2! = 25 种,再将每组学 生分到 3 所学校有A3 2 = 6 种分法,共有25 6 = 150 种不同的保送方法 37. A 38. B 39. C 40. D 【解析】分成1,1,3 时,分法有C5 3A 3 3 种;分成 1,2,2 时,分法有 C5 2 C3 2 A2 2 A3 3 种,所以一共有 C5 3 A3 3 + C5 2C32 A2 2A3 3 = 150 种 . 第二部分 41. 32 42. 36 43. 30 第 14页(共 23页) 44. 1080 【解析】根据题意,分2 种情况讨论: 、四位数中没有一个偶数数字,即在1,3, 5,7,9 种任选 4 个,组成一个四位数即可,有 A5 4 = 120 种情况,即有120 个没有一个偶数数字四位数; 、四位数中只有一个偶数数字