【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之195不等式选讲.pdf

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1、第 1 页（共 30页） 【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之195不等式选讲 一、选择题（共30 小题；共150 分） 1. 若不等式? 2+ 2? - 6 ?对于一切实数 ? 均成立，则实数?的最大值是? A. 7B. 9C. 5D. 11 2. 设 ? ,? ,? ? ，下列命题正确的是? A. 若 ? 0，由不等式? + 1 ?2 ? ? 1 ?= 2， ? + 4 ? 2 = ? 2 + ? 2 + 4 ? 2 3 ? 2 ? ? 2 ? 4 ? 2 3 = 3，? ，可以推出 结论： ? + ? ? ?+ 1 ? ? ，则 ? =? A. 2?B. 3?C. ? 2 D. ?

2、 ? 4. 设 ? ，? ，? 是非负实数，且9? 2 + 12? 2 + 5? 2 = 9，则 3?+ 6? + 5? 的最大值为? A. 9B. 10C. 14D. 15 5. 设 ? ，? ，? ? ，且 2? + 2? + ? + 8 = 0，则? -1 2 +?+ 2 2 +? -3 2 的最小值为? A. 2B. 8C. 4D. 9 6. 高二某班举行投篮比赛，规定每组派三人参赛，第一人投5 min ，第二人投3 min ，第三人投 2 min 已知第二组的三名选手? ,? ,?每分钟可投进球的个数分别为4,3,6，则该组最多可投进球 的个数是? A. 42B. 46C. 48D.

3、 51 7. 正实数 ? ，? ，? 满足 ?= 2，则? A. ?+ ?+ ? 的最大值是32B. ?+ ?+ ? 的最大值是32 3 C. ?+ ?+ ? 的最小值是32D. ?+ ?+ ? 的最小值是32 3 8. 已知底面为正方形的四棱锥?-?内接于半径为1 的球，顶点?在底面 ?上的射影是 ?的中心，当四棱锥?- ?的体积最大时，四棱锥的高为? A. 3 4 B. 1C. 4 3 D. 5 3 9. 若不等式 ?- 2 + ?- 3 0B. ? + ? 0D. ? ? ? ，设 ?= ?- ? ，?= 3 ?-? ?-?，则 ? + ?与 4 的大小关系是 ? A. ? + ? 4C

4、. ? + ?4D. 不确定 13. 若 ? 0，则函数? = ?+ 32 ? 2的最小值是 ? A. 16B. 8C. 6D. 4 14. 将实数 1 分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是? A. 1B. 1 3 C. 1 9 D. 1 27 15. 若 ? ,? ,? ?+满足 ? + 2?+ 3? = 4，则 ?的最大值是? A. 32 27 B. 64 27 C. 32 81 D. 64 81 16. 函数 ? = ?+ 2017 - ?- 2016 的最大值为? A. - 1B. 1C. 4033D. - 4033 17. 函数 ?= ? 2 + 3 ? ? 0 的最小值是?

5、 A. 3 2 18 3 B. 18 3 C. 3 2 D. 2 3 18 3 18. 已知 ? ,? ，则使不等式 ? + ? 0B. ? + ? 0D. ? 0；设 ?是复数 ? 的共轭复数，则? = ? 恒成立；若 ?1= ?2，则?1= ?2；对任意的 ? 1,?2,?3? ， ?1,?3 ?1,?2+ ? ?2,?3恒成 立其中所有的真命题是? A. B. C. D. 26. 已知三个互不相等的正数? ， ? ， ? 给出下列不等式：|? -? | |?- ? | + |?- ? | ； ? 2 + 1 ? 2 ?+ 1 ? ； |? -? | + 1 ?-?2； ?+ 3 -?+

6、1 ? + 2 -? 其中一定成立的不等式的 个数是? A. 0B. 1C. 2D. 3 27. 若不等式 ?- 2 + ?+ 3 5B. ? 5C. ? 1 的解集为 35. 设 ? ,? ,?,? ，且 ? 2 + ? 2 = 5，? + ? = 5，则 ? 2 + ? 2 的最小值为 36. 关于实数?的不等式? 2 + 25 + ? 3 -5? 2 ? 在 1,12上恒成立，则实数?的取值范围 是 37. 已知 ? + 2? + 3? = 1，求 ? 2 + ? 2 + ? 2 的最小值 38. 若存在实数?使 ?- ?+ ?- 1 3 成立，则实数?的取值范围是 39. 关于 ?的不

7、等式 ? -2 + ?- 8 ?在 ?上恒成立，则?的最大值为 40. 若 “ ? 0 ? ， ? 0 + 1 + ? 0 - 1 ?” 是真命题，则实数?的最小值是 41. 若不存在实数?使 ?-3 + ?- 1 ?成立，则实数?的取值集合是 第 4 页（共 30页） 42. 若存在实数?使 ? -? + ? - 1 3 成立，则实数?的取值范围是 43. 已知 ? -? = 1，?=3,4 ，则 ? 的取值范围是 44. 设命题 ? ：函数 ? = ? ? ? 0 在区间1,2上单调递增；命题? ：不等式 ? - 1 - ? + 2 ?恒成立，则?的取值范围是 46. 已知 ?+，有不等式

8、 ? + 1 ?2，?+ 4 ? 2= ? 2 + ? 2 + 4 ? 23，? ，由此可以推广为 ?+ ? ? ? ? + 1， 则 ?= 47. 已知 ?为三角形的内角，则函数? = sin 2?+ 1 4sin ?的值域是 48. 已知 ? ，?为实数，且? 0，? 0，则 ?+ ? + 1 ? ? 2 + 1 ?+ 1 ? 2 的最小值为 49. 若 0 ?恒成立，则?的取值范围为 52. 已知 ?1， ?2，?3，?4，?5，?6? ，?1，?2，?3，?4，?5， ?6是 ?1， ?2，?3，?4， ?5，?6的任 一排列，则? 1?1+ ?2?2+ ?3?3+ ?4?4+ ?5?

9、5+ ?6?6不会超过 53. 若正数 ? ，? 满足 ? 2 ?= 1 2，则 ? + ? 的最小值是 54. 不等式 ? + 3 - ?- 3 3 的解集是 55. 设 max ? ,? = ? ,? ? ,? 5 恒成立，则实数?的取值范围是 57. 已知命题? :? ， 1 - ?- ?-5 0，由不等式?+ 1 ? 2 ? ? 1 ?= 2，?+ 4 ? 2 = ? 2 + ? 2 + 4 ? 2 3 ? 2 ? ? 2 ? 4 ? 2 3 = 3，? ，可以推出 结论： ?+ ? ? ? ? + 1 ? ? ，则 ?=（用含 ?的式子表示） 59. 若 log?= - 2 ，则 ?

10、+ ? 的最小值是 60. 已知 ? ，? ，? ? ，?+ 2?+ 3? = 6，则 ? 2 + 4? 2 + 9? 2 的最小值为 61. 若 ?+ 1 + ? -? -?2+ 2? + 2 对 于 任 意 的 ? ， ?恒 成 立 ， 则 实 数?的 取 值 范 围 是 62. 在平面直角坐标系中，把位于直线?= ?与直线 ?= ? （? ，? 均为常数，且? 0，当非零实数? ， ?满足 4? 2 - 2? + 4? 2 - ? = 0 且使 2?+ ? 最大时， 3 ?- 4 ?+ 5 ? 的最小值为 第 5 页（共 30页） 64. 已知 ?中， ? ? ， ? - ? = 2，点

11、? 是线段? （含端点）上的一点，且 ? ? ? + ?= 1，则 ? 的取值范围是 65. 在正三棱锥?- ?内有一个半球，其底面与三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都 相切，若半球的半径为2，则正棱锥的体积最小时，其高等于 66. 给出下列四个命题： 命题 “ ? ,? 2 + 1 3? ” 的否定是 “ ? ,? 2 + 1 3? ” ； “ ? = - 2” 是 “ 直线?+ 2 ? + ? + 1 = 0 与直线?-2 ? +?+ 2 ? - 3 = 0 相互垂直 ” 的 必要不充分条件； 设圆 ? 2 + ? 2 + ? + ? + ?= 0 ? 2 + ? 2 - 4? 0

12、 与坐标轴有4 个交点，分别为?1,0 ， ? 2,0 ，?0, ?1 ， ?0, ? 2 ，则 ? 1?2- ?1?2= 0； 关于 ?的不等式 ? + 1 + ? -3 ?的解集为? ，则 ? 4 其中所有真命题的序号是 67. 设 ? ,? ,? ? ,2? + 2?+ ? + 8 = 0 ，则?- 1 2 +? + 2 2 +? - 3 2 的最小值是 68. 设函数 ? 的定义域为? ，如果存在正实数? ，使对任意? ，都有 ? + ?且 ? + ? ? 恒成立，则称函数? 为 ?上的 “ ?型增函数 ” 已知 ? 是定义在?上的奇函数，且当 ? 0 时， ? = ? -? - 2?

13、 ，若? 为 ?上的 “ 2014 型增函数” ，则实数?的取值范围 是 69. 对于 ? 0，当非零实数? ,?满足 4? 2 - 2? + 4? 2 - ?= 0 且使 2?+ ?最大时， 3 ?- 4 ?+ 5 ?的最 小值为 70. 若 函 数? = ?sin?+ ? cos? - 1 + ?sin?- ? cos? ? ,?的 最 大 值 为11 ， 则? 2 + ? 2 = 三、解答题（共30 小题；共390 分） 71. 求函数 ?=? - 5 +7 -?的最大值 72. 知 ? ，? ， ? ，?是正实数，且?= 1，求证： ? 5 + ? 5 + ? 5 + ? 5 ?+ ?

14、 + ? + ? 73. 设 ? ，? ， ? 均为正实数，且?= 1，求证： 1 ? 3?+ 1 ? 3?+ 1 ? 3? + ? + ? 74. 已知 ? ，? ，? 为正实数，且? 3 + ? 3 + ? 3 = ? 2 ? 2 ? 2，求证： ?+ ? + ? 3 3 3 75. 二维形式的柯西不等式：若? ，? ， ? ， ?都是实数，则? 2 + ? 2 ? 2 + ? 2 ? + ? 2，当且 仅当 ? = ?时取等号 （ 1）证明二维形式的柯西不等式； （ 2）利用柯西不等式，求函数?= 3?- 1 +20 - 4? 的最大值 76. 设 ? = ? - 1 - 2 ? + 1

15、 的最大值为? （ 1）求 ?； （ 2）若 ? ,? ,? 0,+ ，? 2 + 2? 2 + ? 2 = ?，求 ? + ? 的最大值 77. 已知函数? = ? - 5 + ? -3 （ 1）求函数 ? 的最小值? ； （ 2）若正实数? ，?满足 1 ?+ 1 ?= 3，求证： 1 ? 2 + 2 ? 2 ? 第 6 页（共 30页） 78. 已知函数? = ?- ?+ 4 ? 0 ，且 ? -2 0 的解集为- 3, - 1 （ 1）求 ?的值； （ 2）若 ? ， ? ，? 都是正实数，且 1 ?+ 1 2?+ 1 3?= ?，求证： ?+ 2? + 3? 9 79. 已知函数?

16、= ?- ?+ 4? 0 ，且 ? -20 的解集为- 3, - 1 （ 1）求 ?的值； （ 2）若 ? ， ? ，? 都是正实数，且 1 ?+ 1 2?+ 1 3?= ?，求证： ?+ 2? + 3? 9 80. 设实数 ? ，? 满足 2? + ?= 9 （ 1）若 9 - ?+ ? 0，且 ? = ? 2? ，求 ? 的最大值 81. 已知关于? 的不等式 ?- 3 + ? - ? 2?的解集为? （ 1）求 ?的最大值； （ 2）已知 ? 0，? 0，? 0，且 ?+ ? + ?= ?，求 4? 2 + 9? 2 + ? 2 的最小值及此时? ，? ， ? 的值 82. 若关于 ?的

17、不等式 3?+ 2 + 3?- 1 -?0 的解集为? ，记实数? 的最大值为? （ 1）求 ? ； （ 2）若正实数?，?满足 4?+ 5?= ? ，求 ?= 1 ?+2 ?+ 4 3?+3 ?的最小值 83. 设 ? = ? + 1 - ? -4 （ 1）若 ? -? 2 + 6?恒成立，求实数?的取值范围； （ 2）设 ?的最大值为?0，? ，? ，?均为正实数，当3?+ 4? + 5? = ? 0 时，求? 2 + ? 2 + ? 2 的最小值 84. 已知函数? = ? + 1 - 2 ?-? ,? 0 （ 1）当 ?= 1 时，求不等式? 1 的解集； （ 2）若 ? 的图象与?轴

18、围成的三角形面积大于6，求 ?的取值范围 85. 设函数 ? = ? +? - ?-1 -? （ 1）当 ?= 1 时，求不等式? 1 2 的解集； （ 2）若对任意? 0,1 ，不等式 ? ?的解集为空集，求实数?的取值范围 86. 已知函数? = ? - 1 + ? -2 （ 1）求不等式? ?的解集； （ 2）当 1 2 ? 5 2 时，求证： ? + ? + ? -? ? ? 0, ? ,? 87. 已知函数? = 2? - 1 + 2? + 5 ，且 ? ? 恒成立 （ 1）求 ?的取值范围； （ 2）当 ?取最大值时，解关于?的不等式： ? - 3 - 2?2?- 8 88. 已知

19、函数? = ? + ? + ? + 1 ? ? 0 （ 1）当 ?= 2 时，求不等式? 3 的解集 （ 2）证明： ? + ? - 1 ? 4 89. 设函数 ? = ? + 1 + ?- 4 -? 第 7 页（共 30页） （ 1）当 ?= 1 时，求函数? 的最小值； （ 2）若 ? 4 ?+ 1 对任意的实数 ? 恒成立，求实数?的取值范围 90. 已知函数? = ?- ? （ 1）若 ?= 1，解不等式： ? 4 - ?-1 ； （ 2）若 ? 1 的解集为0,2 ， 1 ? + 1 2?= ? 0, ? 0 ，求 ? 的最小值 91. 设函数 ? = ? -? + ? ，其中 ?

20、0 （ 1）当 ?= 1 时，求不等式? ?+ 2 的解集； （ 2）若不等式? 3? 的解集为? ?2 ，求实数 ?的值 92. 已知函数? = ? - 1 + ? -? （ 1）若 ?= 2，解不等式? 2； （ 2）若 ? 1，? ，?+ ? - 1 1 恒成立，求实数?的取值范围 93. 设函数 ? = 2? - ? ? 0 ，? = ? + 2 - 2?+ 1 （ 1）当 ?= 3 时，求不等式? 1 的解集； （ 2）若不等式? 0，? 0，? 3 + ? 3 = 2，证明： （ 1） ?+ ? ? 5 + ? 5 4； （ 2）?+ ? 2 96. 已知函数? = 2? + 1

21、， ? = ? + ? （ 1）当 ?= 0 时，解不等式? ?； （ 2）若存在 ? ，使得 ? ? 成立，求实数?的取值范围 97. 对于函数?，?，记集合? ? ?= ? ? ? （ 1）设 ? = 2 ? ， ? = ? + 3，求 ? ? ?； （ 2）设 ? 1 ? = ? - 1， ? 2 ? = 1 3 ? + ?3?+ 1，? = 0，如果 ? ? 1? ? 2 ?= ? 求实数 ? 的取值范围 98. 已知函数? = log2 ? - 1 + ?- 5 -? （ 1）当 ?= 5 时，求函数? 的定义域； （ 2）当函数 ? 的值域为R时，求实数? 的取值范围 99. 如图

22、 1， ?= 45 ，? = 3，过动点?作 ? ? ，垂足 ?在线段 ? 上且异于点? ，连接 ? ，沿 ? 将 ? 折起，使 ?= 90 （如图 2 所示） 第 8 页（共 30页） （ 1）当 ? 的长为多少时，三棱锥?-?的体积最大； （ 2）当三棱锥?-?的体积最大时，设点? ,?分别为棱? ,? 的中点，试在棱? 上确定 一点 ? ，使得 ? ? ，并求 ? 与平面 ? 所成角的大小 100. 已知圆锥的底面半径为? ，高为 ? ，当圆锥的内接圆柱的高?为何值时，圆柱的体积最大，并 求出这个最大的体积 第 9 页（共 30页） 答案 第一部分 1. C 【解析】令? = ? 2+

23、2? - 6 当 ?3 时， ? = ? 2 + 2? -6 =?+ 1 2 - 7 9；当 ? ? ? ， 所以 ?- ? 0，?- ? 0， ? + ? = ?- ? + 3 ?- ? ? -? =? -? +?- ? + 3 ? - ? ?- ? 33 3 =81 3 4. 13. C 【解析】因为? 0，所以 ? = ? + 32 ? 2= ? 2 + ? 2 + 32 ? 2 3 ? 2 ? ? 2 ? 32 ? 2 3 = 6， 当且仅当 ? 2 = ? 2 = 32 ? 2，即 ?= 4 时，等号成立 14. D 【解析】设这三个正数分别是? ，? ，? ，则 ?+ ?+ ? =

24、 1，所以 ? ? + ? + ? 3 3 = 1 27 ，当且仅 当 ?= ?= ? = 1 3 时， ?取得最大值 1 27 15. C 【解析】因为? ,? ,? ? +， 4 = ? + 2? + 3? 3? ?2? ?3? 3 = 36 3 ? 3 ， 所以 ? 64 276 = 32 81 ， 当且仅当?= 2?= 3?= 4 3， 即 ?= 4 3，?= 2 3，? = 4 9 时， ?取最大值 32 81 16. C 【解析】因为? = ?+ 2017 - ?-2016 ?+ 2017 -? + 2016 = 4033 ， 所以函数? = ?+ 2017 - ?- 2016 的

25、最大值为4033 17. A 【解析】 ?= ? 2 + 3 ?= ? 2 + 3 2?+ 3 2? 3 ? 2 ? 3 2? 3 2? 3 = 3 9 4 3 = 3 2 18 3 ，当且仅当? 2 = 3 2?= 3 2? ， 即 ?= 1 2 12 3 时，等号成立 18. D 【解析】当? ,? 同号的时候， ?+ ? = ? + ? ；? ,? 异号时， ?+ ? - 2， 所以 - 2 2 时，原不等式变为?+ 1 +? - 2 ? - 1 - ?+ 2 max = 3， 所以 ? 3 4 45. - , 3 2 46. ? ? 【解析】 ? + ? ? ?= ? ?+ ? ?+

26、? + ? ?+ ? ? ? ?+ 1 ? ? ? ? ? ? ? ? +1 = ?+ 1， 所以 ?= ? ? 47. 3 4 ,+ 【解析】易知sin? 0， ?= sin 2?+ 1 4sin ? = sin 2?+ 1 8sin ? + 1 8sin ? 3sin 2?+ 1 8sin ? + 1 8sin ? 3 = 3 4 当且仅当 1 8sin ?= 1 8sin ?= sin 2? ， 即 sin?= 1 2 时， ? 有最小值 3 4， 第 14页（共 30页） 所以函数? 的值域时 3 4 ,+ 48. 9 【解析】因为? 0，? 0， 所以 ?+ ? + 1 ?3 ? ?

27、 ? 1 ? 3 = 3? 3 0，? 当且仅当?= ?= 1 时，等号成立 同理可得? 2 + 1 ? + 1 ? 2 3 1 ? 3 0，? 当且仅当?= ?= 1 时，等号成立 由及不等式的性质，得 ?+ ? + 1 ? ? 2 + 1 ?+ 1 ? 2 3? 3 3 1 ? 3 = 9， 当且仅当?= ?= 1 时，等号成立 49. 4 27 ， 6 3 【解析】因为0 ?恒成立， 所以 4 ?恒成立，即? 0，? 0，? 2?= 1 2，所以 ?+ ?= 1 2 ?+ 1 2 ?+ ? 3 1 2 ? ? 1 2 ? ? 3 = 3 1 8 3 = 3 2， 当且仅当 1 2 ?=

28、1 2 ?= ? ，即 ?= 1，?= 1 2 时，等号成立，故? + ?的最小值是 3 2 54. ? ? 3 2 55. 1 2 第 15页（共 30页） 【解析】 ?= max ? 2 - 4?+ ? , ? 2 - 2? + ? ， 可得 ? ? 2 - 4? + ? ，? ? 2 -2?+ ? ， 即有 2? ? 2 - 4? + ? + ? 2 -2?+ ? ? 2 - 4? + ?+ ? 2 - 2? + ? = ? 2 - 2? + ? 2 -4?+ 6 = ? -1 2 +? - 2 2 + 1 1, 即有 2?1， 即 ? 1 2， 可得 ?= 1，?= 2 时， ?取得最

29、小值 1 2 56. - ,- 2 ? 8,+ 57. 4, + 58. ? ? 59. 3 2 2 3 【解析】因为log ?= - 2 ，所以 ?= 1 ? 2 ，所以 ?+ ?= ?+ 1 ? 2 = ? 2 + ? 2 + 1 ? 2 3 1 4 3 = 3 2 2 3 60. 12 【解析】因为?+ 2? + 3?= 6，由柯西不等式可知? 2 + 4? 2 + 9? 2 1 2 + 1 2 + 12 ? + 2? + 3?2， 所以 ? 2 + 4? 2 + 9? 2 36 3 = 12 ，当且仅当?= 2?= 3? ，即 ?= 2，?= 1，? = 2 3 时，等号成立故 ? 2

30、 + 4? 2 + 9? 2 的最小值为12 61. ?2 或 ?- 4 62. 5 2 【解析】设? = ? 2 + ? + ?0 ， 由题意可知 ?- 2 2， ?0 2， ?2 2， 因为 ?- 2= 4? -2?+ ? , ?0 = ? , ?2 = 4? + 2? + ? , 所以 ?= ?2 -? - 2 4 , ?= ?2 + ?- 2 - 2?0 8 , ? = ?0 , 因为 - 1 ? + 1 3， 所以 ? 2， 所以 第 16页（共 30页） ? = ?2 + ?- 2 -2?0 8 ? 2 + ?2- ?- 2 4 ? + ?0 = ? 2 - 2? 8 ?- 2 +

31、 ? 2 + 2? 8 ?2+ 4 -? 2 4 ?0 ? 2 - 2? 4 + ? 2 + 2? 4 4 - ? 2 2 = 1 4 ? 2 -?+ 1 4 ? ? + 2+ 1 2 4 - ? 2 = - 1 2 ? 2 + ? +2 = - 1 2 ? - 1 2 + 5 2 5 2 . 63. - 2 【解析】由题知2? = -2?+ ?2+ 3 4? 2 + 3? 2 4? 2 + 3? 2 1 + 1 3 2? + ?2?4? 2 + 3? 2 3 4 2? + ?2，即 2? 5 4 2?+ ?2，当且仅当 4? 2 1 = 3? 2 1 3 ， 即 2?= 3?= 6?0 时，

32、 2?+ ? 取得最大值 8 5 ? ，此时 ?= 40? 2 3 ?- 4 ?+ 5 ?= 1 8? 2 - 1 ?= 1 8 1 ?- 4 2 -2 - 2，当且仅当?= 3 4，?= 1 2 ，? = 5 2 时， 3 ?- 4 ?+ 5 ?取最小值 - 2 64. 1 2 ,1 【解析】如图所示，以? ， ? 为邻边作平行四边形，建立直角坐标系 设 ?0,?，? ,0 ，? ,?，? ? ,? 因为 ? -? = ? = 2， 所以 ? 2 + ? 2 = 4 因为 ? + ? = ? ， 所以 ? ?+ ?= ? ? = ? ,? ? ? ,? = ? + ? = 1 ? = ? 2

33、 + ? 2， 因为? 2 + ? 2 ? 2 + ? 2 ? + ? 2， 所以 4 ? 2 + ? 2 1， 所以 ?2+ ? 2 1 2，即 ? 1 2 又 ? ? + ? ?= 1， 所以 1 =? + ? ? ?+ ? ? = ? 2 + ? 2 + ? ? + ? ? 第 17页（共 30页） 因为 ? 0，? 0， ? 0，? 0 所以 ? 2 + ? 2 1，即 ? 2 + ? 2 1（当且仅当?= 0 或 ?= 0 时取等号） 综上可知 1 2 ? 1 65. 23 【解析】如图， ?是正三棱锥?- ?底面的中心，也是半球的球心，? 是正三棱锥底面的高，侧面?与半球相 切于点

34、 ? ，? ? ，? = 2，? = ? 设 ?= ? ? 0, 90， 所以 ?= 2 cos? 设正三棱锥底面三角形的边长为? ，则 ? = 3 6 ?= 2 sin ? ，即 ?= 43 sin ? ， 所以正三棱锥的体积?= 83 sin 2 ? cos ? 因为 sin 4 ? cos 2?= 1 2 sin 2 ? cos2?2sin 2? 1 2 sin 2 ? +sin 2? +2cos2 ? 3 3 = 4 27 ， 所以 sin 2 ? cos? 23 9 ，那么 ?= 83 sin 2? cos?36，当且仅当 sin 2 ?= 2cos 2 ? ，即 cos?= 3 3

35、 ，上式取等号， 即体积取最小值，此时?= 2 cos?= 2 3 66. 67. 9 【解析】由柯西不等式，得 ? - 1 2 +?+ 2 2 +? - 3 2 ? 2 2 + 2 2 + 1 2 ? - 1 + 2 ? + 2 + 1 ? ? - 3 2 =2? + 2? + ? - 1 2 =- 8 -1 2 = 81, 因此，当且仅当 ? - 1 2 = ? + 2 2 = ? -3 1 ， 2? + 2?+ ? + 8 = 0, 即 ?= - 1,?= - 4,?= 2 时，?- 1 2 +? + 2 2 +? - 3 2 的最小值为9 68. ? 0 时， ? = ? -? - 2

36、? ， 设 ? 0， 所以 ?-?= -? -? - 2?= ? + ? - 2? ， 第 18页（共 30页） 所以 ? = -? -?= - ? + ? +2 ? 又由奇函数的性质可得?0= 0 所以 ? = ?- ? - 2? ,? 0 0,?= 0 - ? + ? +2 ? ,? 0 时， ? + 2014 - ? - 2? ?-? - 2? ，即 ? + 2014 - ? ? -? 恒成立，式子 ? + 2014 - ? ? -? 的几何意义为数轴上到点?的距离小于到点?- 2014 的距离， 又 ? 0， 所以 ?+ ?- 2014 - ? + ? +2 ? ，即 ?+ 2014

37、-? + ? + ? 4? 恒成立， 所以根据几何意义得 2?- 2014 4? ，即 ? - ? + ? +2 ? ，即 ? + 2014 + ? 0，即 ? 0，? 0， 1 ?+ 1 ?= 3， 所以 1 ? 2 + 2 ? 2 12+ 1 2 2 1 ? 1 + 2 ? 1 2 2 = 3 所以 1 ? 2 + 2 ? 2 3 2 3 2， 所以 1 ? 2 + 2 ? 2 2 78. （1） 依题意 ? - 2= ?- ?+ 2 0，即 ? + 2 ?-? - 2 ?- 2 + ?， 所以 ?= 1 （2） 因为 1 ?+ 1 2?+ 1 3?= 1 ? ,? ,? 0 ， 所以由柯

38、西不等式得3 =? 1 ?+ 2? ? 1 2?+ 3? ? 1 3? ? + 2? + 3? ? 1 ?+ 1 2?+ 1 3? ， 整理得 ?+ 2? + 3? 9 当且仅当?= 2?= 3? ，即 ?= 3，?= 3 2，? = 1 时取等号 79. （1） 依题意 ? - 2= ?- ?+ 2 0， 即 ?+ 2 ? ?-? - 2 ?- 2 + ?， 所以 ?= 1 （2） 因为 1 ?+ 1 2?+ 1 3?= 1 ? ,? ,? 0 ， 所以由柯西不等式得3 =? 1 ?+ 2? ? 1 2?+ 3? ? 1 3? ? + 2? + 3? ? 1 ?+ 1 2?+ 1 3? ， 整理得 ?+ 2? + 3? 9， 当且仅当?= 2?= 3? ，即 ?= 3，?= 3 2，? = 1 时取等号 80. （1） 由 2?+ ?= 9 得 9 - ?= 2? ，即 9 - ?= 2 ? 所以 9 - ?+ ? 0，2?+ ?= 9， 所以 ?= ? 2?= ? ? + ? +? 3 3 = 2? +? 3 3 = 3 3 = 27， 当且仅当?= ?= 3 时，等号成立