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1、1 2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第09 讲：立体几何 1、 （ 2010 一试 7） 正三棱柱 111 CBAABC的 9 条棱长都相等，P是 1 CC的中点，二面角 11 BPAB, 则sin 【答案】 10 4 【解析】 O E P C1 B1 A1 C B A 设分别与平面PBA 1 、平面PAB 11 垂直的向量是),( 111 zyxm、),( 222 zyxn，则 ,03 , 022 111 111 zyxBPm zxBAm ,03 , 02 2221 211 zyxPBn xABn 由此可设)3, 1 , 0(),1 , 0, 1(nm，所以cosm nmn，即
2、6 32 2 coscos 4 .所以 4 10 sin. 解法二：如图，PBPAPCPC 11, . 2 设BA1与 1 AB交于点,O则 1111 ,OAOB OAOB A BAB. 11 ,PAPBPOAB因为所以从而 1 AB平面BPA1. 过O在平面BPA 1 上作PAOE 1 ,垂足为E. 连结EB1 ,则 EOB1 为二面角 11 BPAB 的平面角 .设 2 1 AA ,则易求得 3,2,5 111 POOBOAPAPB. 在直角OPA 1 中，OEPAPOOA 11 ,即 5 6 ,532OEOE. 22 111 64 5 2,2 55 BOB EB OOE又. 4 10 5
3、 54 2 sinsin 1 1 1 EB OB EOB. 2、（ 2011 一试 6）在四面体ABCD 中，已知60CDABDCADB，3BDAD，2CD，则四面 体 ABCD 的外 接球的半径为 【答案】 3 【解析】 因为60ADBCDBCDA，设 CD 与平 面 ABD 所成角为，可求得 3 2 sin, 3 1 cos 在 DMN 中，33 2 3 3 2 3 2 , 1 2 1 DPDNCDDM学科 * 网 3 由余弦定理得2 3 1 312)3(1 222 MN ， 故2MN四边形DMON 的外接圆的直径 3 3 2 2 sin MN OD故球 O 的半径3R 3、 （ 2012
4、一试 5）设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球若正三棱锥PABC的 侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是 【答案】 4 【解析】 ,从而 1 2 PHMHAH,因为90 ,PAQAHPQ 所以 2 ,APPH QH即 21 . 2 AHAH QH 所以24.QHAHMH,故tan4 QH QMH MH 4、 （ 2013 一试 4）已知正三棱锥PABC底面边长为1，高为2，则其内切球半径为. 【答案】 2 6 【解析】 4 B C H M A O K P 如图，设球心O在面ABC与面ABP内的射影分别为H和K，AB中点为M， 内切球半径为r
5、， 则P KM、 共线，POH、共线， 2 PHMPKO，且OH OKr, 2POPHOHr， 33 66 MHAB, 2215 3 2 126 PMMHPH, 于是有 1 sin 5 2 rOKMH KPO POPM r ，解得 2 6 r. 5、 （ 2014 一试 5）已知正四棱锥ABCDP中，侧面是边长为1 的正三角 形，NM ,分别是边BCAB,的 中点，则异面直线MN与PC之间的距离是 _ _. 【答案】 2 4 6、 （ 2016 一试 5）设 P 为一圆锥的顶点，A，B，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC=90 ，M 为 AP 的 中点 .若 AB=1，AC=2，2AP，则二
6、面角MBCA 的大小为. 5 【答案】 3 2 arctan 【解析】 由ABC=90 知，AC 为底面圆的直径.设底面中心为O，则PO平面 ABC ，易知1 2 1 ACAO，进而 1 22 AOAPPO. 设 H 为 M 在底面上的射影， 则 H 为 AO 的中点 .在底面中作BCHK于点 K， 则由三垂线定理知BCMK， 从而MKH为二面角MBCA 的平面角 . 因 2 1 AHMH， 结合HK与AB平行知， 4 3 AC HC AB HK ， 即 4 3 HK， 这样 3 2 tan HK MH MKH. 故二面角MBCA 的大小为 3 2 arctan. 7、 （ 2017 一试 5）正三棱锥PABC中，1,2,ABAP过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面 所成角的余弦值为. 【答案】 3 5 10 【解析】设,AB PC的中点分别为,K M,则易 证平面ABM就是平面.由中线长公式得 2222222 222 222 11113 (AP)(21 )2 24242 315 ( ). 222 3 2 53 1 3 5 44 cos, 210 5 3 5 . 10 AMACPC KMAMAK PC KMMCKC KMC KMMC PC 所以 又易知直线在平面上的射影是直线MK,而CM=1 ，KC=， 所以 故棱与平面所成的角的余弦值为