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1、问题 11 含参数的线性规划与非线性规划问题性 一、考情分析 线性规划是高考必考问题, 常有以下几种类型： （1）平面区域的确定问题； （2）区域面积问题；（3）最值问题； （4）逆向求参数问题而逆向求参数问题, 是线性规划中的难点, 其主要是依据目标函数的最值或可行域的情 况决定参数取值 二、经验分享 (1) 求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域, 若不能直接画出, 应利用题目的已知条件转化为不等式组问题, 从而再 作出平面区域； 对平面区域进行分析, 若为三角形应确定底与高, 若为规则的四边形( 如平行四边形或梯形), 可利用面积公 式直接求解 , 若为不规则四边形, 可分割
2、成几个三角形分别求解再求和即可 (2) 利用几何意义求解的平面区域问题, 也应作出平面图形, 利用数形结合的方法去求解 (3) 先准确作出可行域, 再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值当目标函数是非线性的函数时, 常利 用目标函数的几何意义来解题. (4) 当目标函数中含有参数时, 要根据临界位置确定参数所满足的条件, 含参数的平面区域问题, 要结合直线的 各种情况进行分析, 不能凭直觉解答, 目标函数含参的线性规划问题, 要根据z的几何意义确定最优解, 切忌搞 错符号 三、知识拓展 常见代数式的几何意义： x 2 y 2表示点 ( x,y) 与原点 (0,0)的距离 ,xa 2 yb 2
3、表示点 ( x,y) 与点 (a,b) 的距离； y x表示点 (x, y) 与原点 (0,0) 连线的斜率 , yb xa表示点 (x, y) 与点 (a,b) 连线的斜率 四、题型分析 类型一目标函数中含参数 若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域 内的点（即最优解） ，将点的坐标代入目标函数求得参数的值 1目标函数中x的系数为参数 【例1】x，y满足约束条件，若z yax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为 _. 【答案】 2或1 【解析】 如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线yax，因此要使线性目标函数取得最大值的
4、 最优解不唯一，直线yax的斜率，要与直线或的斜率相等， 2a 或 1 【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问 题可能没有最优解； （2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有 无数个最优解 【牛刀小试】已知 ,x y满足约束条件 0 2 0 xy xy y ，若zaxy的最大值为4，则a_. 【答案】 2 【解析】将zaxy化为zaxy，作出可行域（如图所示），当0a时，当直线zaxy向右下 方平移时， 直线zaxy在y轴上的截距z减少，当直线zaxy过原点时，0 max z（舍）；当0a 时，当直线z
5、axy向右 上方平移时，直线zaxy在y轴上的截距z增大，若01a，即 10a时，当直线 zaxy过点 )1 , 1(B 时，解得3a（舍） ，当1a，即1a 时，则当直线zaxy过点 )0,2(A 时，解得2a 【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往 往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a的符号，还要 讨论斜率a与边界直线斜率1的大小关系 . 2目标函数中y的系数为参数 【例2】已知变量 ,x y满足约束条件 若目标函数的最大值为1，则 a 【答案】 3 【解析】 约束条件所满足的区域如图所示，
6、目标函数过B （4，1）点是 取得最大值， 141a，3a 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值 3目标函数中 , x y的系数均含参数 【例 3】设x，y满足约束条件 2 21 x xy yx ，若目标函数的最小值为2，则ab的最 大值为 【答案】 4 1 【 解 析 】 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 阴 影 部 分 ， 易 求 得， 要 目 标 函 数 的最小值为2，222ba，即1ba，当且仅当 2 1 ba等号成立故ab的最大值为 4 1 【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般 在多
7、边形的顶点处取得应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可 【牛刀小试】设xy，满足约束条件，若目标函数的最大值为12， 则 ba 32 的最小值为 _. 【答案】 6 25 【解析】作出xy，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过 点4,6A取 得 最 大 值12 ， 即， 亦 即236ab， 所 以 ，当且仅当 ba ab ，即 6 5 ab时等号成立 【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率 之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知 axbym 求的最小值
8、，通常转化为 cd xy 1 () cd m xy （axby) ，展开后利用基本不等式求解 4目标函数为非线性函数且含有参数 【例 4】 设不等式组 01 ,0 ,4 x xy yx 表示的平面区域为 D 若圆0r不经过区域 D 上的点，则 r的取值范围是 _ 【答案】 【解析】不等式对应的区域为 ABE圆心为 ( 1, 1)，区域中 A到圆心的距离最小，B到圆心的距离最大， 要使圆不经过区域D，则有0 rAC 或r BC 由 1x yx 得 1 1 x y ，即 (1 ,1 )A 由 1 4 x yx ，得 1 3 x y ， 即(1, 3)B 2 2AC，2 5BC， 02 2r 或 2
9、 5r ， 即r的 取 值 范 围 是 【点评 】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题对于目标函数为平方型： ， 可 看 成 可 行 域 内 的 点,P x y与 定 点,Q a b两 点 连 线 的 距 离 的 平 方 ， 即 ；也可看成是以,Q a b为圆心， z 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共 点的问题 【牛刀小试】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数ya x(a 0，a 1) 的 图象过区域M的 a 的取值范围是_. 【答案】 2 ，9 【解析】平面区域M如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B、 C两点的图象之间，当图象过B点时
10、，当图象过C点时，所以，故的取值范围 是 【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性 问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数 表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。 类型二约束条件中含参数 由于约束条件中存在参数，可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值， 来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值 【例 5】已知 , x y满足2 yx xy xa ，若 3zxy的最大值为 M ，最小值为m，
11、且0Mm，则实数a的 值为 _ 【答案】1 【解析】 试题分析: 画出不等式组2 yx xy xa 表示的区域如图, 结合图形可以看出当动直线zxy3经 过点 ),(aaA 和 )1 , 1(B 时 , yxz3 分别取最小值 am4 和最大值 4m ,由题设可得 044a , 所以 1a , 故应填答案 1. 【点评】约束条件中含有参数时：（1）要对可行域的各种可能情况作出判断，特别注意特殊的线与点；（2） 依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3）求出参数 【牛刀小试】已知约束条件表示面积为1 的直角三角形区域，则实数k的值为. 【答案】 1 【解析】 试题分析：由图得（舍）
12、类型三目标函数及约束条件中均含参数 【例6】设, 1m在约束条件 1yx mxy xy 下，目标函数myxz的最大值大于2，则m的取值范围为 _. 【答案】 ,21 【解析】把目标函数转化为，表示是斜率为 m 1 ，截距为 m z 的平行直线系，当截距最大时， z最大，当过点时，截距最大，解之得 21m 【牛刀小试】设x，y满足约束条件 , 1, xya xy 且zxay的最小值为7，则a_. 【答案】 3 【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中 zxay可知，当 0a时， z 有最小值：，则，解得： 3a；当0a时， z 无最小值故选B 五、迁移运用 1
13、, 【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考（江苏卷) 】已知点满足不等式，设 ，则的最小值与最大值之和等于_ A B C 【答案】 【解析】作出不等式所表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界），则点为正方形及其内 部的动点 由题意得的几何意义为动点到定点距离的平方 过作于，由图知为的中点，而点到直线：的距离，故； 又，由图分析可知， 故 故答案为： 2. 【江苏省苏北四市2019 届高三第一学期期末】已知等差数列的首项，若数列恰有 6 项落在 区间内，则公差d 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】设落在内的最小项为，则有，同时成立，即有nd ， （n-1 ）d， （n+5）d
14、0， 有 n，n-1，n+50，且满足约束条件的图象为 由图可知当 2 logyx与3xy交于点 B(2,1) ，当直线 ym过 B点时， m取得最大值为1. 11 【2018 届高三南京市联合体学校调研测试】若不等式组所表示的平面区域被直线 4ykx 分为面积相等的两部分，则k的值为 _ 【答案】 7 2 【解析】不等式组所表示的平面区域为三角形ABC 由 故点，点0,2A 又因为平面区域被直线4ykx分为面积相等的两部分，且4ykx过定点0,4 由此可得点 A与点 C到直线 4ykx的距离相等，即解得 7 2 k或 1 2 k（舍） 即答案为 7 2 12 【江苏省无锡市普通高中2018
15、届高三上学期期中】若变量, x y满足， 且2xya恒成立， 则a的最大值为 _. 【答案】 4 【解析】 所以过 0, 2 时， 2xy 的最小值为 -4 ，所以 a的最大值为 -4. 13 【江苏省横林高级中学2018 届高三】 已知 , x y满足不等式组 ，则 的最小值为 _ . 【答案】 2 【解析】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数 表示可行域内一点到点1,1的距离的平方，根据图象可以看出，点1,1到可行域内一点距离的最小值为 点1,1到直线 0xy 的距离，则 2 2d ，则的最小值为 2. 14. 【 江 苏 省 泰 州 中 学2017 届 高 三 摸 底 考 试
16、】 已 知 实 数x、y满 足若 不 等 式 恒成立，则实数a的最小值是 【答案】 9 5 【解析】 试题分析： 可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，因此, 因 为 yx xy 在2,4上 单 调 递 增 ， 所 以， 不 等 式恒 成 立 等 价 于 15设点（,a b）是区域内 的随机点，函数在区间 1,）上是增函数 的概率为 _. 【答案】 1 3 【解析】表示的区域的面积为函数在区间 1,）上 是增函数，则，概率 16若实数,x y满足其中0k，若使得 1y x 取得最小值的解,x y有无穷多个， 则k等 于_. 【答案】 2 【解析】表达式 1y x 可看成是定点0,1Q与动点,
17、P x y连线斜率（ P点在所给不等式组表示的平面 区域内） ，如图，动直线过定点2 , 0，为使满足题意的 P点有无穷多个，此时直线应过 0,1Q，从而 17变量, x y满足约束条件，若使zaxy取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值 集合是 _. 【答案】3,1 【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示由zaxy得：yaxz当0a时， 平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，1a时，线段AC上的所有点都是最优解；当0a时， 平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当3a时，线段BC上的所有点都是最优解 18设关于x，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0) 满足 x02y0=2，求得 m的取 值范围是 _. 【答案】 2 , 3 【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0， y0) 满足 x02y0=2， 即该平面区域和直线 22xy 有交点，而直线 ,xm ym 的交点,m m在直线 yx上移动，由 得交点坐标为 22 , 33 ， 当 2 3 m即 2 3 m时，才会交点