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1、北京市东城区2015-2016 学年下学期高一期末考试 数学试卷 本试卷共100 分，考试时长120 分钟。 第一部分（选择题共 24 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 不等式 2 23xx的解集是 A. | 13xxB. | 31xx C. |31x xx或D. |13x xx或 2. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了三国演义、水浒传、红楼梦 和西游记若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班 本学期领到三国演义和水浒传的概率为 A. 2 3 B. 1 2 C.
2、1 4 D. 1 6 3. 已知0ab，则 A. 2 aabB. 2 abbC. 22 abD. 22 ab 4. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元 / 件）负相关，则其回归方程可能是 A. 10200yx B. 10200yx C. 10200yx D. 10200yx 5. 已知非零向量OA , OB 不共线，且 1 = 3 BMBA ，则向量=OM A. 12 + 33 OAOB B. 21 + 33 OAOB C. 12 - 33 OAOB D. 14 - 33 OAOB 6. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的S的值为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 7.
3、已知 n a是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是 n S，若 348 ,a a a成等比数列，则 A. 13 0,0a ddSB. 13 0,0a ddS C. 13 0,0a ddSD. 13 0,0a ddS 8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织， 日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈 =10 尺），问日益几何？” 其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二 天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少 尺布？”若一个月按30 天算，则每天增
4、加量为 A. 1 2 尺B. 8 15 尺C. 16 29 尺D. 16 31 尺 第二部分（非选择题共 76 分） 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分） 9. 某学院A，B，C 三个专业共有1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用 分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本。已知该学院A专业有 380 名学生， B专业有 420 名学生，则该学院C专业应抽取 _名学生 . 10. 如图所示，在边长为1 的正方形中，随机撒豆子，其中有1000 粒豆子落在正方形中， 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_. 11. 若非零向量a，b 满足,(2)0
5、ababb，则 a 与 b 的夹角为 _. 12. 设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若c o sc o ss i nbCcBaA， 则A 的度数为 _. 13. 已知0,0xy，且满足1 34 xy ，则xy的最大值为 _. 14. 已知平面向量a，b 和 c 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a 的分解有如下四 个命题： 给定向量b，总存在向量c，使 a=b+c； 给定向量b 和 c，总存在实数 和，使 a=b+c； 给定单位向量b 和正数 ，总存在单位向量C和实数 ，使 a= b+c； 给定正数 和，总存在单位向量b 和单位向量c，使 a=b+c. 则所
6、有正确的命题序号是_. 三、解答题：本大题共6 小题，共52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本题满分8 分） 在平面直角坐标系xOy中，点 A（-1，-2 ）， B（3,2 ）， D（-3，-1 ），以线段AB ， AD为 邻边作平行四边形ABCD. 求 （I ）点 C的坐标； （II ）平行四边形ABCD 的面积 . 16. （本题满分9 分） 已知数列 n a是等比数列，满足 14 3,24aa，数列 n b满足 14 4,22bb，且 nn ba是等差数列 . （I ）求数列 n a和 n b的通项公式； （II ）求数列 n b的前 n 项和。 17. （本题
7、满分9 分） ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3 cosbAaB. （I ）求角 B的大小； （II ）若3,sin2sinbCA，求 a，c 的长 . 18. （本题满分9 分） 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同， 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随 机抽取 8 天的数据如下： 甲公司某员工A：32 33 33 35 36 39 33 41 乙公司某员工B：42 36 36 34 37 44 42 36 （I ）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶
8、图， 并通过茎叶图，对员工A和员工 B投递快递件数作比较，写出一个统计结论： 统计结论： _ （II ）请根据甲公司员工A 和乙公司员工B 分别随机抽取的8 天投递快递件数，试估计 甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。 19. （本题满分9 分） 已知关于x 的不等式(1)(2)2axx的解集为A，且3A. （I ）求实数a 的取值范围； （II ）求集合A. 20. （本体满分8 分） 对于项数为m 的有穷数列 n a，记 12 max,(1,2,) kk ba aakm，即 k b为 12 , k a aa中的最大值，并称数列 k b是 n a的控制数列. 如1,3,2,5,5
9、的控制数列是 1,3,3,5,5. （I ）若各项均为正整数的数列 n a的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列 n a； （ II） 设m=100 ， 若| 24 n an， n b是 n a的控制 数 列， 求 1122100100 ()()()bababa的值； （III）设 n b是 n a的控制数列，满足 1km k abC（C为常数，1,2,km）. 求证：(1,2,) kk bakm. 参考答案 一、选择题：本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分. 在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B D D C
10、A B A C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分. 题号9 10 11 12 13 14 答案40 0.18 120903 三、解答题：本大题共6 小题，共52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本题满分8 分） 解：（ I ）(4,4),( 2,1)ABAD， (2,5)ACABAD，点 C的坐标为（ 1,3 ）. 4 分 （II ）42,5ABAD. 10 cos, 10 ABAD AB AD ABAD . 3 10 sin, 10 AB AD. sin,12 ABCD SABADAB AD. 8分 16. （本题满分9 分） 解：（ I ）设
11、等比数列 n a的公比为 q，由题意得 34 1 24 8 3 a q a ，解得2q. 所以 11 1 32(1,2,) nn n aa qn. 3 分 设等差数列 nn ba的公差为d， 所以 4411 ()3babad. 即2224(43)3d. 解得1d. 5 分 所以 11 ()(1)1 (1)2 nn babandnn. 从而 1 23 2(1,2,). n n bnn6 分 （II ）由（ I ）知 1 23 2(1,2,) n n bnn. 数列 2n 的前 n 项和为(3) 2 n n，数列 1 32 n 的前 n 项和为 12 33(21)323 12 n nn 9 分 所
12、以，数列 n b的前 n 项和为(3)3 23 2 n n n. 17. （本题满分9 分） 解：（I ）sin3 cosbAaB，由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB. 2 分 sin0A，tan3B. 3 分 3 B. 4 分 （II ）sin2sinCA，由正弦定理得2ca，5 分 由余弦定理 222 2cosbacacB， 得 22 9422 cos 3 aaaa. 7 分 解得3a. 8 分 22 3ca. 9 分 18. （本题满分9 分） 解：（ I ）某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图如下： 统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工B 投递快递件数的平均值高于
13、甲公司某 员工 A投递快递件数的平均值. （其它正确的结论照样给分）4 分 （II ）设事件 i A为“甲公司某员工A在抽取的8天中，第i 天投递的快递件数”， 事件 i B为“乙公司某员工B在抽取的8 天中，第 i 天投递的快递件数”，i=1,2 ， 8. 设事件C 为“甲公司某员工A 比乙公司某员工B 投递的快递件数多”. 由题意知 44546263646568828384858 CA BA BA BA BA BA BA BA BA BA BA B UA B 因此 123 () 6416 P C. 8 分 因此可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为 3 16 . 9 分
14、19. （本题满分9 分） 解：（ I ）3A，当3x时，有(1)(2)2axx，即312a. 1a，即 a 的取值范围是|1a a. 3 分 （II ） 2 (1)(2)2(1)(2)20(21)0axxaxxaxax4 分 当 a=0 时，集合 |0Ax x ；5 分 当 1 2 a时，集合 1 |02Axx a ；6 分 当 1 2 a时，原不等式解集A为空集；7 分 当 1 0 2 a时，集合 1 |20Axx a ；8 分 当01a时，集合 1 |02Ax xx a 或. 9 分 20. （本题满分8 分） 解 ： （ I ） 数 列 n a为2,3,4,5,1； 2,3,4,5,2； 2,3,4,5,3； 2,3,4,5,4； 2,3,4,5,5.2 分 （II ）|24| n an， n b是 n a的控制数列， 1122 2,0,2baab. 当 n3 时， nn ba， 1122100100 ()()()2bababa. 5 分 （III）因为 121121 max,max, kkkkk ba aaba aaa， 所以 1kk bb. 6 分 因为 11 , km kkm k abC abC， 所以 11 0 kkm km k aabb，即 1kk aa. 7 分 因此， kk ba. 8 分