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1、- 1 - 因式分解小结 【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初 中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以 下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公
2、因 式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组 的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项 （添项）等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容。 【分类解析】 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1. 分解因式 xxxxx 5432 1 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xxxxx 5432 1和分 别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把xx 54 ， xx 32 ， x 1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提
3、取公因式后再进行分解。 解一：原式()()xxxxx 5432 1 - 2 - xxxxx xxx xxxxx 322 32 22 11 11 111 ()() ()() ()()() 解二：原式 = ()() ()xxxxx 5432 1 xxxxx xxx xxxx xxxxx 42 4 422 22 111 11 121 111 ()()() ()() ()() ()()() 2. 通过变形达到分解的目的 例 1. 分解因式xx 32 34 解一：将 3 2 x 拆成 2 22 xx ，则有 原式xxx xxxx xxx xx 322 2 2 2 24 222 22 12 () ()()
4、() ()() ()() 解二：将常数4 拆成13 ，则有 原式xx xxxxx xxx xx 32 2 2 2 133 111 33 144 12 () ()()()() ()() ()() 3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式()()xxx 22 41021100的值一定是非负数 分析： 现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多 项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： ()( )xxx 22 41021100 ()()()() ()()()() ()() xxxx xxxx xxxx 2237100 2723100 51456100 22 设 y x
5、x 2 5，则 - 3 - 原式 无论取何值都有 的值一定是非负数 ()()() () ()() yyyyy yy xxx 1461008164 40 41021100 22 2 22 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式：()()()abcabbc2 333 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c 与 a+2b+c 的关系，努力 寻找一种代换的方法。 解：设 a+b=A ，b+c=B，a+2b+c=A+B 原式() () ()()() ABAB AABABBAB A BAB AB AB abbc abc 333 322333 22 33 33 3 32 说明：在分解
6、因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 中考点拨： 例 1.在ABC 中，三边a,b,c 满足 abcabbc 222 166100 求证： acb2 证明：abcabbc 222 166100 aabbcbcb abcb abcabc abc abcabc abc acb 2222 22 6910250 350 820 880 20 2 即 ，即 于是有 即 ()() ()() 说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。 例 2. 已知： x x x x 1 2 1 3 3 ，则_ 解： x x x x x x 3 3 2 11 1 1 ()() -
7、4 - ()()x x x x 11 21 21 2 2 说明：利用x x x x 2 2 2 11 2()等式化繁为易。 题型展示： 1. 若 x 为任意整数，求证：()()()734 2 xxx的值不大于100。 解：100)4)(3)(7( 2 xxx ()()()() ()() ()() () ()()() xxxx xxxx xxxx xx xxx 7232100 51456100 58516 540 734100 22 22 22 2 说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它 们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用
8、的方法。 2. 将 aa aa 2222222 16742()() 分解因式，并用分解结果计算。 解： aa aa 2222 1()() aaaaa aaaa aa 2222 222 22 21 21 1 () ()() () 67423661431849 22222 () 说明：利用因式分解简化有理数的计算。 【实战模拟】 1. 分解因式： （ ） （） 131083108 233315 5432 22 xxxxx aaaa()() （ ） （） 323352 476 22 3 xxyyxy xx - 5 - 2. 已知： xyxy xy61 33 ，求：的值。 3. 矩形的周长是28cm，
9、两边 x,y 使 xx yxyy 3223 0，求矩形的面积。 4. 求证： nn 3 5 是 6 的倍数。（其中n 为整数） 5. 已知：a、 b、 c 是非零实数， 且 abca bc b ca c ab 222 1 111111 3， ()()()， 求 a+b+c 的值。 6. 已知： a、b、c 为三角形的三边，比较abca b 22222 4和的大小。 - 6 - 【试题答案】 1. （1）解：)8103()8103( 223 xxxxx原式 ()() ()()()() xxx xxxxx 32 2 1 3108 114 32 （2）解： 原式()( )aaaa 22 33315
10、()() ()() ()()()() aaaa aaaa aaaa 222 22 3238 3432 4112 （3）解： 原式()()xyxyxy3352 ()()xyxy312 x-3y 1 x+y 2 （4）解： 原式7676 33 xxx 7766 7161 711611 1 77666 16 132 33 23 2 22 2 xxx x xx x xxxxx xxxxx xxx xxx ()() ()()()() ()() ()() ()()() 2. 解：xyxyxy 222 2() 362 38 xyxyxxyy 3322 6381 234 ()() () 3. 解：xx yxy
11、y 3223 0 - 7 - ()() () () xyxy xy xyxy xy xy xy cm 33 2 2 0 0 0 14 7 49 即 又 面积为 4. 证明： nn 3 5 nnn n nnn 3 6 116()() 当 为整数时，是的倍数。 是 的倍数 nn nn nn ()()116 56 3 5. 解：abc0， 用 abc 乘以第二个条件等式的两边，得： 1 1)( 1 0)(2)()( 0 00 0)( 0)()()( 3 2 222 2222 222222 cba cba cba acbcabcbacba acbcab acbcabcba acbcabcba abcabcabccaaccbbcbaab abcacbccbabbaca 则 若 或则 即 说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。 6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。 解：()abca b 222222 4 ()() ()() ()()()() abcab abcab abcabc abc abcabcabc 222222 2222 22 a b c abcabcabcabc abca b abca b , , () 为三角形三边，且由三角形两边之和大于第三边可知 ，0000 40 4 22222 22222 - 8 -