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1、2017 届高三数学跨越一本线精品 问题一 如何灵活应用函数的四大性质 函数是整个高中数学的核心内容, 是高中数学的主线, 所有知识均可与函数建立联系, 都可围绕这一主线展 开学习考查 , 它贯穿于中学数学的始末, 而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重, 其中单调性与 奇偶性更是高考的必考内容, 在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查, 而且考查的形式不一, 有选择题 , 填空题 , 也有解答题； 有基础题 , 也有难度较大的试题 本文将从单调性、奇偶性、单调性与奇偶性及 四大性质的综合应用四方面分别加以阐述. 一、函数单调性的灵活应用 1. 函数单调性的定义 在定义域
2、的一个子集I里, 有两个任意自变量 12 ,x x, 当 12 xx时, 均有 12 fxfx,则fx在区间I内单调 增. 当 12 xx 时, 12 fxfx则fx在区间I内单调减 . 函数的单调性也可表示为： 12 12 ()() 0 f xf x xx 时单调递增； 12 12 ()() 0 f xf x xx 时单调递减 . 2. 判断方法 定义法（作差比较；步骤：1. 取值 2, 作差 3,定号 4,结论）； 图象法； 单调性的运算性质； 复合函数单调判断法则；导数法； 3. 复合函数的单调性 设xgfy是定义在M上的函数 , 若fx与g x的单调性相反, 则xgfy在M上是减函数；
3、 若fx 与g x的单调性相同 , 则xgfy在M上是增函数 , 简称同增异减. 4. 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1) 比较大小比较函数值的大小 , 应将自变量转化到同一个单调区间内, 然后利用函数的单调性解 决 (2) 解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时, 往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉 , 使 其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域 (3) 利用单调性求参数 视参数为已知数 , 依据函数的图象或单调性定义, 确定函数的单调区间 , 与已知单调区间比较求 参数； 需注意若函数在区间 a,b 上是单调的 , 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分
4、段函数的单调性 , 除注意各段的单调性外 , 还要注意衔接点的取值 【例 1】如果对定义在R上的函数( )f x, 对任意两个不相等的实数 12 ,x x, 都有 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x, 则称函数( )f x为“H函数” . 给出下列函数ex yx; 2 yx; 3sinyxx; ln0 ( ) 00 xx f x x . 以上函数是“H函数”的 所有序号为 . 【分析】本题的重点和难点均为对“H函数”本质的认识和理解, 即如何处理和转化题中所给不等式： 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x , 采用合
5、并重组的方法进行处理, 得1212 0xxfxfx , 由 单调性定义的本质, 可以看出“H函数”本质上就是个单调递增函数. 【解析】因为对任意两个不相等的实数 12 ,x x, 都有 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x, 即总有不等式 1212 0xxfxfx 恒成立 , 即为函数( )f x是定义在 R上的增函数 , 对于 , 由于ex y与yx均为 R上增函数 , 则函数e x yx在 R为增函数；对于, 明显先减后增, 不符合； 对于 , 因为 3cos0yx在 R上恒成立 , 则3sinyxx 在 R为增函数；对于 , 如图： 当 x0 为增函
6、数 , 不符合 , 故选. 【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法 , 图像法 , 导数法） , 学生在初步理解时可 能有一种无从入手的感觉, 如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话, 则将无法完成此题了, 可见在教师的教 和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质. 【小试牛刀】【2017 河南安阳期中】 已知函数 (3) ,2 ( ) log (1)3,2 x a ax f x xx 是定义域上的单调增函数, 则a的取 值范围是（） A(3 3,2) B ( 5 1, 3) C (1, 3) D(1,3 3) 【答案】 A 【点 评】函数在定义域R上单调递增 ,即在2,和,2上分别递增 , 且在端点 2x 处, 左侧的函数值小于等于 右侧的函数值 , 根据函数的性质, 指数函数和对数函数单调递增, 只需底数1a, 因此列出三个不等式取交集, 解 出a的范围即为所求.