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1、第 1 页（共 21页） 十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分 一、选择题（共7 小题；共35 分） 1. 已知 ? ，函数 ? = sin? - ? ? 为奇函数，则 ?=? A. 0B. 1C. - 1D. 1 2. 若 sin 6 - ? = 1 3 ，则 cos 2 3 + 2? =? A. - 7 9 B. - 1 3 C. 1 3 D. 7 9 3. 下列函数中，周期为 2 的是? A. ?= sin ? 2 B. ?= sin2 ?C. ?= cos ? 4 D. ?= cos4? 4. 为了得到函数?= 2sin ? 3 + ? 6 ,?的图象，只需把
2、函数?= 2sin? ,?的图象上的所有点 ? A. 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 3 倍（纵坐标不变） B. 向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 3 倍（纵坐标不变） C. 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变） D. 向右平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变） 5. 已知 ? - ? 2 ,0 ， cos?= 4 5，则 tan2 ?= ? A. 7 24 B. - 7 24 C. 24 7 D. - 24 7 6. 函数 ? = sin? -3cos?
3、 - ,0的单调递增区间是? A. - ,- 5 6 B. - 5 6 ,- 6 C. - 3 ,0D. - 6 ,0 7. ?中， ?= 3 ，? = 3，则 ?的周长为? A. 43sin ?+ 3 + 3B. 43sin ?+ 6 + 3 C. 6sin ? + 3 + 3D. 6sin ?+ 6 + 3 二、填空题（共23 小题；共115 分） 8. 如图，函数?= ? sin ? + ?（? ,? ,?为常数， ? 0，? 0）在闭区间- ,0 上的图象如图 所示，则?= 第 2 页（共 21页） 9. 函数 ?= 3sin2? + 4 的最小正周期为 . 10. 已知函数? = c
4、os? 与 ?= sin 2? + ? 0 ? 0最小正周期为 5，则 ?= 12. 在 ?中，已知 ? = 12 ， ?= 60 ， ?= 45 ，则 ? = 13. 定义在区间0,3 上的函数 ?= sin2 ? 的图象与?= cos?的图象的交点个数是 14. 若 tan ?- 4 = 1 6，则 tan ?= 15. 在平面直角坐标系?中，已知 ?顶点 ?- 4,0和 ?4,0，顶点 ?在椭圆 ? 2 25 + ? 2 9 = 1 上， 则 sin ? +sin ? sin ? = 16. 函 数 ? = ? sin ? + ? ， （ ? ,? ,? 是 常 数 ， ? 0, ? 0
5、 ） 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 ?0 = 17. 已知 tan ?+ 4 = 2, 则 tan ? tan 2?的值为 18. 若 ?的内角满足sin?+2sin?= 2sin ? ，则 cos?的最小值是 19. 若 cos ?+ ? = 1 5，cos ? - ? = 3 5 ，则 tan ? tan?= 20. 设 ?为锐角，若cos ?+ 6 = 4 5，则 sin 2?+ 12 的值为 21. 如图，在同一个平面内，向量? ，? ，?的模分别为 1，1，2， ? 与 ? 的夹角为 ? ，且 tan?= 7，? 与 ? 的夹角为45 若 ?= ? + ? ?,? ，则
6、 ?+ ?= 22. 已知 tan ?= - 2， tan ?+ ? = 1 7，则 tan ?的值为 23. 定义在区间0, 2 上的函数?= 6cos?的图象与?= 5tan?的图象的交点为? ，过点?作 ? 1?轴于点 ?1，直线 ?1与 ?= sin?的图象交于点 ? 2，则线段 ?1?2的长为 24. cot20 cos10 +3sin10 tan70 - 2cos40 = 25. 在锐角 ?中， sin?= 2sin ? sin? ，则 tan ? tan? tan?的最小值是 26. 设向量 ?= cos ? 6 ,sin ? 6 + cos ? 6 （?= 0,1,2, ? ,
7、12），则? ? +1 11 ? =0的值为 第 3 页（共 21页） 27. 在 锐 角 ? 中 ， ? 、 ? 、 ?的 对 边 分 别 为 ?、 ?、 ? ， ? ?+ ? ?= 6cos? ， 则 tan ? tan ?+ tan ? tan ?= 28. 某时钟的秒针端点?到中心点?的距离为5cm，秒针均匀地绕点?旋转，当时间? = 0 时，点 ?与钟面上标12 的点 ?重合，将? ， ?两点的距离?cm表示成 ?s 的函数，则?=， 其中 ? 0,60 29. 在锐角三角形?中，若 sin?= 2sin ? sin? ，则 tan ? tan ? tan?的最小值是 30. 满足条
8、件? = 2，? =2? 的三角形?的面积的最大值是 三、解答题（共17 小题；共221 分） 31. 在 ?中， ? = 6，cos?= 4 5 ，?= 4 （ 1）求 ? 的长； （ 2）求 cos ?- 6 的值 32. 已知 ? 2 , ，sin?= 5 5 （ 1）求 sin 4 + ? 的值； （ 2）求 cos 5 6 -2? 的值 33. 已知 ?=cos? ,sin?，?=cos? ,sin?，0 0,0 ? 是 ?上的偶函数，其图象关于点? 3 4 ,0对称， 且在区间0, 2 上是单调函数，求?和 ?的值 40. 在 ?中，已知 ? ? = 3? ? （ 1）求证： ta
9、n?= 3tan? ； （ 2）若 cos?= 5 5 ，求 ?的值 41. 如图，游客从某旅游景区的景点?处下山至?处有两种路径一种是从?沿直线步行到? ，另 一种是先从?沿索道乘缆车到? ，然后从?沿直线步行到? 现有甲、乙两位游客从?处下山， 甲沿 ? 匀速步行，速度为50m/min在甲出发2min 后，乙从?乘缆车到? ，在 ?处停留 1min 后，再从?匀速步行到? 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路? 长为 1260m ，经测量， cos?= 12 13 ,cos?= 3 5 （ 1）求索道 ? 的长； （ 2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? （ 3
10、）为使两位游客在?处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 42. 在平面直角坐标系?中，设 ? ,? 是椭圆 ? 2 3 + ? 2 = 1 上的一个动点，求?= ? + ?的最大值 第 5 页（共 21页） 43. 在 ?中，角 ? ，? ，?所对应的边为? ，? ，? （ 1）若 sin ? + 6 = 2cos? ，求 ?的值； （ 2）若 cos?= 1 3，?= 3? ，求 sin?的值 44. 某兴趣小组测量电视塔?的高度? （单位：m ），示意图如图所示，垂直放置的标杆? 高度 ? = 4 m ，仰角?= ?， ?= ? （ 1）该小组已经测得一组? 、
11、 ? 的值，tan?= 1.24 ， tan?= 1.20 ，请据此算出? 的值； （ 2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离? （单位：m）， 使? 与 ? 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125 m，问? 为多少 时，?- ? 最大 45. 已知 ?的三边长为有理数 （ 1）求证： cos?是有理数； （ 2）求证：对任意正整数? ，cos? 是有理数 46. 如图，在直三棱柱?- ? 1?1?1 中，底面是等腰直角三角形， ?= 90 ，侧棱? 1 = 2， ? 、 ?分别是 ? 1与 ?1?的中点，点 ?在平面 ?上的射影是?的重心 ? （ 1）
12、求 ? 1?与平面 ? 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （ 2）求点 ? 1到平面 ?的距离 47. 在正三角形?中， ?、 ?、 ?分别是? 、 ? 、 ? 边上的点，满足? :? = ?:? = ?:? = 1: 2（如图 1）将 ?沿 ? 折起到 ? 1? 的位置，使二面角 ? 1- ? -?成直 二面角，连结? 1?、 ?1? （如图 2） 第 6 页（共 21页） （ 1）求证： ? 1?平面 ? ； （ 2）求直线 ? 1?与平面 ?1? 所成角的大小； （ 3）求二面角?- ? 1?- ?的大小（用反三角函数表示） 第 7 页（共 21页） 答案 第一部分 1. A 2
13、. A 【解析】 cos 2 3 + 2? = cos - 3 - 2? = - cos 2 6 -? = 2sin 2 6 - ? - 1 = - 7 9 . 3. D 4. C 5. D 6. D 7. D 【解析】在?中，由正弦定理得： ? sin ?= 3 3 2 ，化简得? = 23sin? ， ? sin -?- 3 = 3 3 2 ，化简得? = 23sin 2 3 - ? ， 所以三角形的周长为： 3 + ? + ? = 3 + 23sin?+ 2 3sin 2 3 -? = 3 + 33sin?+ 3cos? = 6sin ?+ 6 + 3. 第二部分 8. 3 9. 【解析
14、】 ?= 2 2 = 10. 6 【解析】由题意，得sin2 3 + ? = cos 3，则 ?= 6 适合题意 11. 10 【解析】因为? = cos ? - 6 的最小正周期为 2 ? = 5所以 ?= 10 12. 46 13. 7 【解析】画出两个函数的图象，经观察共有7 个交点 第 8 页（共 21页） 14. 7 5 15. 5 4 16. 6 2 【解析】由图可知，?=2， ? 4 = 7 12 - 3 = 4，所以 ?= 2 ? = ， ?= 2 从而 2 7 12 + ?= 2? + 3 2 ，?= 2? + 3，其中 ? 则 ?0 =2sin2? + 3 = 6 2 17
15、. 4 9 【解析】 tan ? = tan ?+ 4 - 4 = tan ?+ 4 - 1 1 + tan ?+ 4 = 1 3 tan? tan2 ? = tan? 2tan ? 1- tan 2? = 1 -tan 2? 2 = 4 9 . 18. 6-2 4 【解析】因为sin?+2sin?= 2sin? ，由正弦定理得?+2?= 2? 所以 cos?= ? 2 + ? 2 - ? 2 2? = 4? 2 + 4? 2 - ?+2? 2 8? = 3? 2 + 2? 2 8? - 2 4 2 3? 2 ?2? 2 8? - 2 4 = 6 4 - 2 4 , 当且仅当3? 2 = 2? 2 即3?=2?时取等号 19. 1 2 【解析】 cos ?+ ? = cos? cos?-sin? sin?= 1 5 ,? cos ?-? = cos? cos?+ sin? sin?= 3 5 .? 由 ，得 cos? cos?= 2 5 ，sin? sin?= 1 5， 故 tan? tan ?= sin ? sin ? cos? cos?= 1 2 20. 172 50