四川省2020年中考数学模拟试卷(Word版,含答案解析).pdf

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1、2020 年四川省中考数学模拟试卷 一选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1下列等式正确的是（） A（） 23 B 3C3D（） 2 3 2若成立，则（） Aa0，b0Ba0，b0Cab0Dab0 3若要得到函数y（ x+1） 2+2 的图象，只需将函数 yx2的图象（） A先向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度 B先向左平移1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C先向左平移1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D先向右平移1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 4已知 O1与O2的半径分别是 3cm 和 5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关

2、系是（） A相交 B内切 C外离 D内含 5若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（） A15 cm2B24 cm2C39 cm2D48 cm2 6若点 B（a，0）在以点A（ 1，0）为圆心， 2 为半径的圆外，则a 的取值范围为（） A 3 a1Ba 3Ca1Da 3 或 a1 7在半径等于5cm 的圆内有长为 5cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（） A120 B30或 120C60 D60或 120 8抛物线y（ x2）2+3 的顶点坐标是（） A（ 2， 3） B（ 2，3） C（ 2， 3）D（ 2， 3） 9如图，在 O 中，直径CD弦 AB，则下列结论

3、中正确的是（ ） AACABB CBODC C BD A BOD 10如图，抛物线y1a（ x+2） 23 与 y 2 （x3） 2+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x 轴的平 行线， 分别交两条抛物线于点B，C则以下结沦： 无论 x 取何值， y2的值总是正数； 2a 1； 当 x0 时， y2 y 1 4； 2AB3AC；其中正确结论是（ ） ABCD 二填空题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 11若分式 的值为 0，则x 12当 x时，二次根式有意义 13某小组 5 名同学的身高（单位：cm）分别为： 147，156，151，159，152，则这组数据的中位数 是cm

4、 14为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100 条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记 的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200 条，发现其中带标记的鱼25 条，我们可以估算湖里有 鱼条 15如图所示， AB 是O 的直径， CD 是O 的弦，连接AC，AD，若 CAB36，则 ADC 的 度数为 16 已知：如图， AB是 O 的直径，弦 EF AB于点 D， 如果 EF8， AD2， 则O 半径的长是 17二次函数yax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列说法： abc0； 方程 ax2+bx+c0 的根为 x1 1、 x23； 当 x1 时， y 随 x 值的增大而减小； 当 y0

5、 时， 1x3其中正确的说法是 A ；B ；C；D 18如图，点E 是正方形ABCD 的边 CD 上一点，以A 为圆心， AB 为半径的弧与BE 交于点 F，则 EFD 19如图，将扇形AOC 围成一个圆锥的侧面已知围成的圆锥的高为12，扇形 AOC 的弧长为 10 ， 则圆锥的侧面积为 20如图，在 O 中， AB 是直径，点D 是O 上一点，点 C 是的中点， CEAB 于点 E，过点 D 的切线交EC 的延长线于点G，连接 AD，分别交 CE、CB 于点 P、Q，连接 AC，关于下列结论： BAD ABC； GPGD； 点 P 是 ACQ 的外心，其中正确结论是（只需填写 序号） 三解答

6、题（共9小题，满分90 分） 21计算题 （1） |+（ 1）20182cos45+ （2）（ a+2） 22解方程： （1） x23x4 （2）2x（x3）3x 23先化简，再求值：（x2+ ），其中 x 24已知关于x的一元二次方程mx2（m1）x10 （1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根； （2）若二次函数ymx2（ m1）x1有最大值0，则 m 的值为； （3）若 x1、x2是原方程的两根，且+2x1x2+1，求 m 的值 25小颖为班级联欢会设计了“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成 了面积相等的三个扇形游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一

7、个转盘转出了 蓝色，那么就配成紫色 （1）请你利用画树状图或者列表的方法计算配成紫色的概率 （2）小红和小亮参加这个游戏，并约定配成紫色小红赢，两个转盘转出同种颜色，小亮赢这 个约定对双方公平吗？请说明理由 26如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25 米的 D 处，用高 1.20 米的测角仪CD 测得电 线杆顶端A 的仰角 22，求电线杆AB 的高（精确到0.1 米）参考数据：sin22 0.3746， cos22 0.9272，tan22 0.4040，cot22 2.4751 27如图， O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交 O 于点 E，连接 EC，若 AB

8、8，CD 2，求 O 的半径及EC 的长 28如图， AB 是圆 O 的直径，点C、 D 在圆 O 上，且 AD 平分 CAB过点 D 作 AC 的垂线，与 AC 的延长线相交于E，与 AB 的延长线相交于点 F 求证： EF 与圆 O 相切 29已知开口向上的抛物线yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 3，0）、 B（1，0）两点，与 y 轴交于 C 点， ACB 不小于 90 （1）求点 C 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）求系数a 的取值范围； （3）设抛物线的顶点为D，求 BCD 中 CD 边上的高h 的最大值 （4）设 E ，当 ACB90，在线段 AC 上是否存在点F

9、，使得直线EF 将 ABC 的面 积平分？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由 2020 年四川省中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1【分析】 根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可 【解答】 解：（） 23，A 正确； 3，B 错误； 3，C 错误； （） 23，D 错误； 故选： A 【点评】 本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：|a|是解题的关键 2【分析】 直接利用二次根式的性质分析得出答案 【解答】 解：成立， a 0，b0 故选： B 【点评】 此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质

10、是解题关键 3【分析】 找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论 【解答】 解：抛物线y（ x+1）2+2 的顶点坐标为（ 1，2），抛物线 y x2的顶点坐标为（ 0， 0）， 将抛物线yx2先向左平移1个单位长度， 再向上平移2 个单位长度即可得出抛物线y（x+1） 2+2 故选： B 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键 4【分析】 先求两圆半径的和或差，再与圆心距进行比较，确定两圆位置关系 【解答】 解： O1和 O2的半径分别为5cm 和 3cm，圆心距 O1O24cm， 5 345+3， 根据圆心距与半径之间的数量关系可知 O1与O2

11、相交 故选： A 【点评】 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为R 和 r，且 R r，圆心距为P外离： PR+r；外切： PR+r；相交： RrPR+r；内切： PRr；内 含： PRr 5【分析】 这个圆锥的全面积为底面积与侧面积的和，底面积为半径为3 的圆的面积，根据圆锥的 侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇 形面积公式求测面积 【解答】 解：这个圆锥的全面积?2 ?3?5+ ?3224 （cm2） 故选： B 【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的 周长，扇形的半

12、径等于圆锥的母线长 6【分析】 熟记“设点到圆心的距离为d，则当 d R 时，点在圆上；当 dR 时，点在圆外；当d R 时，点在圆内”即可解答 【解答】 解：以 A（ 1，0）为圆心，以2 为半径的圆交x 轴两点的坐标为（3，0），（1，0）， 点 B（a，0）在以 A（1，0）为圆心，以2 为半径的圆外， a 3 或 a1 故选： D 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断的知识点，解答本题的关键是理解点B 在以 A （ 1， 0）为圆心，以2 为半径的圆内的含义，本题比较简单 7【分析】 根据题意画出相应的图形，连接OA，OB，在优弧 AB 上任取一点E，连接 AE，BE，在 劣弧

13、AB 上任取一点F，连接 AF，BF，过 O 作 ODAB，根据垂径定理得到D 为 AB 的中点，由 AB 的长得出AD 的长，再由 OAOB， OD 与 AB 垂直，根据三线合一得到OD 为角平分线，在 直角三角形AOD 中，利用锐角三角函数定义及AD 与 OA 的长，求出 AOD 的度数，可得出 AOB 的度数， 利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍， 可得出 AEB 的度数， 再利用圆内 接四边形的对角互补可得出AFB 的度数，综上，得到此弦所对的圆周角的度数 【解答】 解：根据题意画出相应的图形为： 连接 OA，OB，在优弧 AB 上任取一点E，连接 AE，BE，在劣弧 AB 上任

14、取一点F，连接 AF，BF， 过 O 作 ODAB，则 D 为 AB 的中点， AB5cm， ADBDcm， 又 OAOB5，ODAB， OD 平分 AOB，即 AOD BODAOB， 在直角三角形AOD 中， sinAOD ， AOD60， AOB120， 又圆心角 AOB 与圆周角 AEB 所对的弧都为， AEBAOB60， 四边形AEBF 为圆 O 的内接四边形， AFB+AEB180， AFB180 AEB 120， 则此弦所对的圆周角为60或 120 故选： D 【点评】 此题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及圆内 接四边形的性质，是一道综合性较强的

15、题本题有两解，学生做题时注意不要漏解 8【分析】 已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴 【解答】 解： y（ x2） 2+3 是抛物线的顶点式方程， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3） 故选： A 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式ya（x h） 2+k，顶点坐标是 （h， k），对称轴是xh 9【分析】 根据垂径定理得出，根据以上结论判断即可 【解答】 解： A、根据垂径定理不能推出ACAB，故 A 选项错误； B、直径CD弦 AB， ， 对的圆周角是C，对的圆心角是BOD， BOD2C，故 B 选项正确； C、不能推

16、出 C B，故 C 选项错误； D、不能推出 A BOD ，故 D 选项错误； 故选： B 【点评】 本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析 10【分析】 利用二次函数的性质得到y2的最小值为 1，则可对 进行判断；把A 点坐标代入y1 a（ x+2） 23 中求出 a，则可对 进行判断；分别计算 x 0 时两函数的对应值，再计算y2 y1的值，则可对 进行判断；利用抛物线的对称性计算出AB 和 AC，则可对 进行判断 【解答】 解： y2（x3） 2+1， y2的最小值为1，所以 正确； 把 A（1，3）代入 y1a（x+2） 23 得 a（1+2）23 3， 3

17、a2，所以 错误； 当 x0 时， y1（x+2） 23 ，y2（x3） 2+1 ， y 2 y 1 +，所以 错误； 抛物线 y1 a（x+2） 23 的对称轴为直线 x 2，抛物线y2（ x3） 2+1 的对称轴为直线 x 3， AB236， AC22 4， 2AB3AC，所以 正确 故选： D 【点评】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数yax2+bx+c（a0），二次项 系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开 口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称 轴在 y 轴左；

18、当 a 与 b 异号时（即ab0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点 位置：抛物线与y 轴交于（ 0，c）也考查了二次函数的性质 二填空题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 11【分析】 分式为零时：分子等于零且分母不等于零 【解答】 解：依题意得：|x|40 且 4x0 解得 x 4 故答案是：4 【点评】 本题考查的是分式的值为0 的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于 零是解答此题的关键 12【分析】 根据二次根式的被开方数为非负数即可得出x 的范围 【解答】 解：由题意得：2x 30， 解得： x 故答案为： 【点评】 本题考查二次根式有意义的

19、条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数这 个知识点 13【分析】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为 中位数 【解答】 解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为147，151，152，156，159，最中间的数是 152， 所以这组数据的中位数是152cm， 故答案为： 152 【点评】 考查了确定一组数据的中位数的能力注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再 根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个， 则找中间两位数的平均数 14【分析】 第二次捕得200 条所占总体的比例标记的鱼 25 条所占有

20、标记的总数的比例，据此直 接解答 【解答】 解：设湖里有鱼x 条，则，解可得x800 故答案为： 800 【点评】 本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可 15【分析】 连接 BC，推出 RtABC，求出 B 的度数，即可得出结论 【解答】 解：连接BC， AB 是O 的直径， ACB90， CAB36， B54， ADC54 故答案为： 54 【点评】 本题主要考查了圆周角的有关定理，作出辅助线，构建直角三角形，是解本题的关键 16【分析】 连接 OE，由题意得： OEOAR，EDDF 4，再解 RtODE 即可求得半径的值 【解答】 解：连接OE，如下图所示，

21、则： OEOAR， AB 是O 的直径，弦EF AB， ED DF4， ODOAAD， ODR 2， 在 RtODE 中，由勾股定理可得： OE2OD 2+ED2， R 2（ R2）2+42， R5 故答案为： 5 【点评】 本题考查了垂径定理和解直角三角形的运用 17【分析】 根据抛物线的开口方向确定a 的取值范围；根据对称轴的位置确定 b 的取值范围；根 据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围； 根据图象与x 轴的交点坐标确定方程ax2+bx+c0 的根， 也可以确定当 y0 时 x 的取值范围； 根 据抛物线的开口方向和对称轴我的抛物线的增减性 【解答】 解：抛物线的开口方向向下， a

22、 0， 对称轴在y 轴的右边， b 0， 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， c 0， abc0，故 正确； 根据图象知道抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x 1 或 x3， 方程 ax2+bx+c0 的根为 x1 1、 x2 3，故 正确； 根据图象知道当x1 时， y 随 x 值的增大而减小，故 正确； 根据图象知道当y0 时， 1x3，故 正确 故选 D 【点评】 此题主要考查了抛物线的系数与图象的关系，其中二次函数yax2+bx+c 系数符号由抛 物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定 18【分析】 由四边形ABCD 为正方形及半径相等得到ABAFAD

23、， ABD ADB45，利 用等边对等角得到两对角相等，由四边形ABFD 的内角和为360 度，得到四个角之和为270，利 用等量代换得到ABF+ADF 135，进而确定出1+245，由 EFD 为三角形DEF 的 外角，利用外角性质即可求出EFD 的度数 【解答】 解：正方形ABCD， AF，AB，AD 为圆 A 半径， ABAFAD， ABD ADB 45， ABF AFB， AFD ADF ， 四边形ABFD 内角和为360， BAD90， ABF+AFB+AFD+ADF 270， ABF+ADF 135， ABD ADB45，即 ABD+ADB90， 1+2135 90 45， EFD

24、 为 DEF 的外角， EFD 1+2 45 故答案为： 45 【点评】 此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟 练掌握性质是解本题的关键 19【分析】 求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可 【解答】 解：扇形AOC 的弧长为10 ， 圆锥的底面半径为：5， 圆锥的母线长为： 13， 则圆锥的侧面积为：10 13 65 ， 故答案为： 65 【点评】 本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、 扇形面积公式、 圆锥的母线长是扇形的半径， 圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键 20【分析】 由于与不一定相等，根据圆周角定

25、理可知 错误；连接OD，利用切线的性质， 可得出 GPD GDP，利用等角对等边可得出GPGD，可知 正确；先由垂径定理得到A 为的中点，再由 C 为 的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出CAP ACP，利用等角对等边可得出APCP，又 AB 为直径得到 ACQ 为直角，由等角的余角相等可 得出 PCQ PQC，得出CPPQ，即 P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形 ACQ 的外心，可知 正确； 【解答】 解：在 O 中， AB 是直径，点D 是O 上一点，点C 是弧 AD 的中点， ， BAD ABC，故 错误； 连接 OD， 则 ODGD， OAD ODA， ODA

26、+GDP 90， EPA+EAP EAP+GPD 90， GPD GDP； GP GD，故 正确； 弦 CFAB 于点 E， A 为的中点，即， 又 C 为的中点， ， ， CAP ACP， APCP AB 为圆 O 的直径， ACQ90， PCQ PQC， PCPQ， APPQ，即 P为 RtACQ 斜边 AQ 的中点， P 为 RtACQ 的外心，故 正确； 故答案为： 【点评】 此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦 的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握 性质及定理是解决本题的关键 三解答题（共9小题，

27、满分90 分） 21【分析】 （1）先计算绝对值、乘方、代入三角函数值和算术平方根，再计算乘法，最后计算加 减即可得； （2）先计算括号内分式的减法、将被除式因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可得 【解答】 解：（ 1）原式+12+4 +1+4 5； （2）原式（） ? 【点评】 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实 数的混合运算顺序和运算法则 22【分析】 （1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （2）先变形得到2x（x3）+x30，然后利用因式分解法解方程 【解答】 解：（ 1）x2 3x40， （x 4）（ x+1） 0， x4

28、0 或 x+10， 所以 x14，x2 1； （2） 2x（x3）+x30， （x 3）（ 2x+1） 0， x30 或 2x+10， 所以 x13，x2 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再 把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就 能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元 一次方程的问题了（数学转化思想） 23【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得 【解答】 解：原式（+）? ? 2（ x+2） 2x+4， 当 x时

29、， 原式 2（）+4 1+4 3 【点评】 本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的 最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 24【分析】 （1）先计算判别式得到（m+1） 2，根据非负数的性质即可得到 0，于是利用 判别式的意义即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得m0 且0，然后解方程即可； （3）先根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再把+2x1x2+1 变形得到 2x1x2+1，则 2?（）+1，然后解关于m 的方程 即可 【解答】 （1）证明： m 0， （ m1）24m（ 1） （ m+1） 2， （ m+1）

30、 20，即 0， 这个一元二次方程总有两个实数根； （2）解：二次函数y mx2（ m 1）x1 有最大值0， m0 且0， m 1； 故答案为 1 （3）解： x1+x2，x1x2， +2x1x2+1， 2x 1x2+1， 2?（）+1， 整理得 m2+m10， m或 m 【点评】 本题考查了根与系数的关系：若x1 ，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c 0（a0）的两根时， x1+x2 ，x1x2也考查了根的判别式和二次函数的性质 25【分析】 （1）用表格列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得； （2）分别计算出小红、小亮获胜的概率，比较大小即可得出结论 【解答】 解：（ 1）如下

31、表所示： 红 蓝 1 蓝 2 红（红，红）（红，蓝1）（红，蓝2） 黄（黄，红）（黄，蓝 1） （黄，蓝 2） 蓝（蓝，红）（蓝，蓝 1） （蓝，蓝 2） 由表可知，共有9 种等可能结果，其中配成紫色的有3 种结果， 所以 P（能配成紫色） ； （2） P（小红赢） ，P （小亮赢） P （小红赢） P （小亮赢）， 因此，这个游戏对双方是公平的 【点评】 本题考查的是游戏公平性的判断实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，要求学生 根据题意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比 26【分析】 根据 CE 和 的正切值可以求得AE

32、 的长度，根据ABAE+EB 即可求得 AB 的长度， 即可解题 【解答】 解：在中RtACE， AECE?tan ， BD?tan ， 25tan22， 10.10 米， ABAE+EBAE+CD10.10+1.2011.3（米） 答：电线杆的高度约为11.3 米 【点评】 本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE 的值是解题的关键 27【分析】 先根据垂径定理求出AC 的长，设 O 的半径为 r，在 RtOAC 中利用勾股定理求出r 的值，连接BE，由 AE 是直径，根据圆周角定理得到ABE 90，利用 OC 是 ABE 的中位线 得到 BE2OC6，然后在RtCBE 中

33、利用勾股定理可计算出CE 【解答】 解： OD弦 AB， AB8， AC4， 设O 的半径 OA r， OC ODCDr2， 在 RtOAC 中， r2（ r2） 2+42， 解得： r5， 连结 BE，如图， OD5，CD2， OC 3， AE 是直径， ABE90， OC 是 ABE 的中位线， BE2OC6， 在 RtCBE 中， CE 【点评】 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了 勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键 28【分析】 连接 OD，作出辅助线，只要证明ODEF 即可，根据题目中的条件可知，FOD 与 FAD 的关系

34、，由AD 平分 CAB，可知 EAF 与 FAD 之间的关系，又因为AEEF，从而可 以推出 OD 垂直 EF，本题得以解决 【解答】 证明：连接OD，如右图所示， FOD2BAD， AD 平分 CAB， EAF2BAD， EAF FOD ， AEEF， AEF90， EAF+EFA90， DFO+DOF 90， ODF90， ODEF， 即 EF 与圆 O 相切 【点评】 本题考查切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结 合的思想解答问题 29【分析】 （1）由抛物线yax 2+bx+c 过点 A（ 3，0）， B（ 1，0），得出 c 与 a 的关系，即 可得出

35、 C 点坐标； （2）利用已知得出AOC COB，进而求出OC 的长度，即可得出a 的取值范围； （3）作 DGy 轴于点 G，延长 DC 交 x 轴于点 H，得出抛物线的对称轴为x 1，进而求出 DCG HCO，得出 OH3，过 B 作 BMDH，垂足为M，即 BMh，根据 hHB sinOHC 求出 0 OHC30，得到0sinOHC ，即可求出答案； （4）连接 CE，过点 N 作 NPCD 交 y 轴于 P，连接 EF，根据三角形的面积公式求出SCAEFS 四边形EFCB，根据 NPCE，求出 ，设过 N、P 两点的一次函数是ykx+b，代入 N、 P 的左边得到方程组，求出直线NP

36、的解析式，同理求出A、 C 两点的直线的解析式，组成方程 组求出即可 【解答】 解：（ 1）抛物线yax2+bx+c 过点 A（ 3，0）， B（1，0）， 消去 b，得 c 3a 点 C 的坐标为（ 0， 3a）， 答：点 C 的坐标为（ 0， 3a） （2）当 ACB90时， AOC BOC90， OBC+ BCO90， ACO+BCO90， ACO OBC， AOC COB， 即 OC 2 AO?OB， AO 3，OB1， OC， ACB 不小于 90， OC，即 c， 由（ 1）得 3a， a， 又 a0， a 的取值范围为0 a， 答：系数a 的取值范围是0a （3）作 DGy 轴于

37、点 G，延长 DC 交 x 轴于点 H，如图 抛物线y ax2+bx+c 交 x 轴于 A（ 3，0）， B（1，0） 抛物线的对称轴为x 1 即1，所以 b2a 又由（ 1）有 c 3a 抛物线方程为yax2+2ax3a，D 点坐标为（1， 4a） 于是CO3a， GCa，DG1 DGOH， DCG HCO， ，即，得OH3，表明直线DC 过定点 H（3，0） 过 B 作 BMDH ，垂足为 M，即 BMh， h HB sinOHC2 sinOHC 0 CO， 0 OHC30， 0 sinOHC 0 h1，即 h 的最大值为1， 答： BCD 中 CD 边上的高h 的最大值是1 （4）由（

38、1）、（ 2）可知，当ACB 90时， 设 AB 的中点为N，连接 CN，则 N（ 1，0）， CN 将 ABC 的面积平分， 连接 CE，过点 N 作 NP CE 交 y 轴于 P，显然点P 在 OC 的延长线上，从而NP 必与 AC 相交， 设其交点为F，连接 EF， 因为 NPCE，所以 SCEFSCEN， 由已知可得NO1，而 NPCE， ，得， 设过 N、P 两点的一次函数是ykx+b，则， 解得：， 即， 同理可得过A、C 两点的一次函数为， 解由 组成的方程组得， 故在线段AC 上存在点满足要求 答：当 ACB 90，在线段AC 上存在点F，使得直线EF 将 ABC 的面积平分，点F 的坐标 是（，） 【点评】 本题主要考查对用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，解二元 一次方程，相似三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综 合运用这些性质进行计算是解此题的关键