大梦杯福建初中数学竞赛试题参考答案及评分标.pdf

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1、1 2018 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 考试时间 2018 年 3 月 18 日 9 001100 满分 150分 一、选择题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 。每道小题均给出了代号为A，B，C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得0 分） 1若关于 x的方程 2 44310xmxm有两个相等的实数根，则 32 442mmm的值 为（） A3B2C1D1 【答案】A 【解答】 依题意， 2 1616(31)0mm。因此， 2 310mm。 2 31mm， 2 31mm。 3222 44

2、2( 31)44232123mmmmmmmmm。 2如图，ABCD、DEFG都是正方形， 边长分别为 m、n（ mn ） 。坐标原点O为AD的 中点，A、D、E在y轴上。若二次函数 2 yax 的图像过C、F两点，则 n m （） A3 1B21C 2 31D 2 21 【答案】B 【 解 答 】 依 题 意 ， 点C坐 标 为() 2 m m， 点F的 坐 标 为 () 2 m n n，。 由二次函数 2 yax 的图像过C、F两点，得 2 2 2 () 2 m am m nan ，消去a，得 22 20nmnm。 2 ()210 nn mm ，解得21 n m （舍负根）。 21 n m

3、。 （第 2 题图） 2 3如图，G为ABC的重心，点D在CB延长线上，且 1 2 BDBC，过D、G的直线交 AC于点E，则 AE AC （） A 2 5 B 3 5 C 3 7 D 4 7 【答案】D 【解答】 如图，连AG，并延长交BC于点F。 G为ABC的重心，且 1 2 BDBC， F为BC中点，且 2 1 AG GF ，DBBFFC。 过点F作FMDE，交AC于点M。 则 1 3 CMCF CECD ， 2 1 AEAG EMGF 。 设CMk，则3CEk，2EMk，4AEk。 7ACk， 44 77 AEk ACk 。 另解： 如图，连AG，并延长交BC于点F。 G为ABC的重心

4、，且 1 2 BDBC， F为BC中点，且 2 1 AG GF ，DBBFFC。 2 3 FD DC ， 2 1 AG GF 。 在AFC中，利用梅涅劳斯定理， 得1 FDCEAG DCEA GF 。 22 1 31 CE EA ， 3 4 CE EA 。 4 7 AE AC 。 （第 3 题图） M E G FBC A D E G BC A D E G FBC A D （第 3 题答题图） （第 3 题答题图） 3 4如图，H、O分别为ABC的垂心、外心，45BAC，若ABC外接圆的半径为 2，则AH（） A 2 3B 2 2C4D31 【答案】B 【解答】 如图，连结BO并延长交O于点D，

5、连HC、CD、 DA。 O为ABC的外心， BD为O直径，DCBC，DAAB。 又H为ABC的垂心， AHBC，CHAB。 AHDC，CHDA。 四边形AHCD为平行四边形，AHDC。 45BAC，ABC外接圆的半径为2， 45BDCBAC，4BD。 2 2AHDC。 5满足方程 22 419151xxyy的整数对()xy，有（） A0 对B2 对C4 对D6 对 【答案】C 【解答】 方程 22 419151xxyy化为 22 (2 )151 15xyy 。 依题意， 2 151 15Ay 为完全平方数。 由 2 151 150Ay，得 2151 15 y。结合y为整数，得 2 10y。故，

6、 2 0y，1，4，9。 当 2 0y时， 2 151 15151Ay，不是完全平方数。 当 2 1y时， 2 151 15136Ay，不是完全平方数。 当 2 4y时， 2 151 1591Ay，不是完全平方数。 当 2 9y时， 22 151 15164Ay。 方程化为 2 2 9 (2 )16 y xy ，即 2 3 (6)16 y x ，或 2 3 (6)16 y x 3 64 y x ，或 3 64 y x ，或 3 64 y x ，或 3 64 y x 。 10 3 x y ，或 2 3 x y ，或 2 3 x y ，或 10 3 x y 。 满足方程的整数对有(10 3)，、(

7、23)，、( 23)，、( 103)，共 4对。 （第 4 题答题图） （第 4 题图） H O BC A D H O BC A 4 二、填空题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 6已知 a ，b， c为正整数，且abc。若bc， ac，ab是三个连续正整数的平 方，则 222 abc的最小值为。 【答案】1297 【解答】 依题意，设 2 (1)bcn，则 2 acn， 2 (1)abn， n为正整数，且1n。 2222 2()(1)(1)32abcnnnn，可见 n为偶数，且 2 32 2 n abc。 2 4 2 nn a， 2 2 2 n b， 2 4 2 nn c。 可见，

8、6n，且当 n增大时， 222 abc的值也随之增大。 又6n时，30a，19b，6c符合要求。 222 abc的最小值为 222 301961297。 7如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在 x 轴上。若函数 4 y x （0x） 的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为。 【答案】8 【解答】 设() DD D xy，() EE E xy，则4 DDEE x yx y。 作EFAB于F，由E为AC中点，得F为AB中点，且 11 22 EFBCAD。 2 DE yy 。结合2 EEDDDE x yx yxy ，得2 ED xx 。 OAAF，222 D ABAFOAx 。

9、矩形ABCD的面积28 DD SABADx y。 （第 7 题图） （第 7 题答题图） 5 8如图，ABC是边长为 8 的正三角形，D为AB边上一点， 1 O为ACD的内切圆， 2 O为CDB的边DB上的旁切圆。若 1 O、 2 O的半径都是 r ，则 r。 【答案】3 【解答】 如图，设 1 O切ACD的三边AC、CD、DA依次 于点G、H、E，边DB切 2 O于点F，CD、CB的延长线切 2 O 于点M、N。 则由 1 O、 2 O的半径都是 r ，ABC为正三角形，以及切 线长性质定理，得 3AGAEr ，83CHCGr ， 3 3 BFBNr ， 3 8 3 CMCNr 。 34 3

10、 (8)(83 ) 33 EFHMCMCHrrr 4 338 3 3 333 ABAEEFFBrrrr 。 8 3 8 3 r，3r。 9若实数 x满足232018xxx，则 4x。其中 x 表示不超 过 x的最大整数。 【答案】1346 【解答】 设 xam，其中 a为整数，01m。 则232()3()623xxxamamamamm 。 当 1 0 3 m时， 23000mm；当 11 32 m时， 230 11mm； 当 12 23 m时， 231 12mm；当 2 1 3 m时， 23123mm。 对任意实数 x，23xxx 的值具有形式：6k，61k，62k，63k，k为整 数。 20

11、1863362，232018xxx。 336xm，其中 12 23 m。 44(336)4 3364134421346xmm。 A B O1 O2 C D （第 8 题答题图） （第 8 题图） F A B O1 O2 C DE H G M N 6 10网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切 的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一 些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题： 把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部 分） 。已知构成这 n个凸多边形的顶点中， 恰有 6 个

12、顶点在矩形内， 12个顶点在矩形的边界上 （含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线 （除矩形边界上的顶点共线外） 。若围成这 n个 凸多边形的线段中，恰有18 条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值 为。 【答案】9 【解答】 设这 n个凸多边形中，有 3 k 个三角形， 4 k 个四边形， 5 k 个五边形， m k 个 m 边形。 则这 n个凸多边形的内角和为 345 (32) 180(42) 180(52) 180(2) 180 m kkkkmL。 另一方面，矩形内部有6 个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360。矩 形边界线段内（不含矩形顶点）有8 个顶

13、点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角， 其和为180。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90。因此，这 n 个凸多边形的内角和为63608 180490。 345 ( 32 )1 8 0( 42 )1 8 0( 52 )1 8 0(2 )1 8 0 m kkkkmL 63608 180490。 345 23(2)22 m kkkmkL。 再考虑这 n个凸多边形的边数。 由于每个凸 m边形有 m条边，因此，这 n个凸多边形的边数和为 345 345 m kkkmkL。 另一方面，由条件知，在矩形内部的18 条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计 算 2 次。而在矩

14、形边界上的12个点，得到 12 条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此， 这 n个凸多边形的边数和为1821248。 345 3454 8 m kkkmkL。 由、，消去 3 k ，得 45 2(3)9 m kkmkL。 4 9k。 又如图所示的划分符合要求，此时， 3 4k， 4 9k。 4 k 的最大值为9，即这 n个凸多边形中，最多有9 个 四边形。 （第 10题答题图） 7 三、解答题（共4 题，每小题 20分，共 80分） 11 已 知 二 次 函 数 2 24yxbxc 的 图 像 交 x 轴 于 1 (0)A x ，、 2 (0)B x ，两 点 ， 且 21 12 26 5

15、xx xx 。若函数 2 24yxbxc在13bxb上的最小值为6，求b， c的值。 【解答】 函数 2 24yxbxc的图像交 x轴于 1 (0)A x ， 、 2 (0)B x ， 两点， 1 x ， 2 x 是方程 2 240xbxc的两个实根。 12 2xxb， 12 2 c x x。 5 分 又 2222 2112121212 12121212 ()2()26 2 5 xxxxxxx xxx xxx xx xx x ， 2 426 2 5 2 b c ， 2 109bc。 10 分 222 242()2yxbxcxbcb ，在13bxb上的最小值为6。 1xb时，6y。 2 226c

16、b 15 分 由、，解得10c，3b。 3b，10c。 20 分 8 12如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD，M是BC边的中点，点N在对角线BD 上，且满足BANCAM。 求证：MNAC。 【解答】 ABAD， ADBABD。 ACMADBABDABN。 又CAMBAN， ABNACM。 ABBN ACCM 。 5 分 设AC、BD相交于点E， BAECAB，ABEACB。 ABEACB。 ABBE ACCB 。 10 分 又M为BC边中点， CMBM，结合 ，得 ABBNBN ACCMBM 。 结合 ，得 BEABBN CBACBM ， BMBN BCBE 。 15 分 MNEC，即M

17、NAC。 20 分 N E M B C A D N M B C A D （第 12 题图） （第 12题答题图） 9 13已知关于 x 的方程 2 99990xkxk的两根都是素数，求k的值。 【解答】 设方程 2 99990xkxk的两根分别为p、q， 则由韦达定理，知 9999 pqk pqk ，9999pqpq。 44 (1)(1)1000025pq 5 分 显然p，q都不等于 2，因此，p，q都是奇数。 24 11 25 22 pq 。 10 分 若 1 2 p ， 1 2 q 中有一个数为奇数，不妨设 1 2 p 为奇数，则 1 5 2 m p ，其中1m，2，3，4。 当1m时，9

18、p，不是素数，舍去； 当2m时，49p，不是素数，舍去； 当3m时，249p，不是素数，舍去。 当4m时，1249p是素数。此时， 2 1 2 2 q ，7q，也是素数。 1249p，7q，1256kpq，符合要求。 15 分 若 1 2 p ， 1 2 q 都是偶数，则 411 5 44 pq ，不妨设pq，则 当 0 1 5 4 p ， 4 1 5 4 q 时，3p，2499q，q不是素数，舍去； 当 1 1 5 4 p ， 3 1 5 4 q 时，19p，499q，p，q都是素数； 当 2 1 5 4 p ， 2 1 5 4 q 时，99p，99q，p，q都不是素数，舍去； 19p，49

19、9q，518kpq，符合要求。 综上所述，518k，或1256k。 20 分 10 14一个由36个单位小方格组成的66的方格表中的 n个小方格被染成了红色，使得任 意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求 n的最大值。 【解答】 n的最大值为8。 先考虑一个33的方格表，其中有k个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格 的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，k的最大值为 2。 10 分 并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。 将一个66的方格表分成 4 个3 3的方格表，由于每个33的方格表中至多有2 个红色 小方格，于是248n。 15 分 另一方面，如下图所示的染色恰有8 个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之 间的距离大于 2。 综上所述， n的最大值为8。 20 分 R R R R R R RR R R R R