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1、导数及其应用 一、知识点梳理 1. 导数：当x趋近于零时， x xfxxf)()( 00 趋近于常数c。可用符号“”记作： 当0x时， x xfxxf)()( 00 c或记作c x xfxxf x )()( lim 00 0 ，符号“” 读作 “趋近于”。 函数在 0 x的瞬时变化率， 通常称作)(xf在 0 xx处的导数，并记作)( 0 xf。 即 x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 2. 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义， 通常是指物体运动在 某一时刻的瞬时速度。 即若点),( 00 yxP为曲线上一点，则过点),( 00 yxP的切线的
2、斜率 x xfxxf xfk x )()( lim)( 00 0 0 切 由于函数)(xfy在 0 xx处的导数，表示曲线在点)(,( 00 xfxP处切线的斜率，因 此，曲线)(xfy在点)(,( 00 xfxP处的切线方程可如下求得： （1）求出函数)(xfy在点 0 xx处的导数，即曲线)(xfy在点)(,( 00 xfxP处 切线的斜率。 （2） 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：)( 00 0 xxxfyy 3.导数的四则运算法则： 1）)()() )()(xgxfxgxf 2 ）)()()()( )()(xgxfxgxfxgxf 3） )( )()()()( )(
3、)( 2 xg xgxfxfxg xg xf 4. 几种常见函数的导数： (1)(0为常数CC (2)( 1 Qnnxx nn） （ (3)xxcos)(sin (4)xxsin)(cos (5) x x 1 )(ln (6)e x x aa log 1 )(log (7) xx ee )( (8)aaa xx ln)( 5. 函数的单调性： 在某个区间),(ba内，如果 0)( xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递增；如果 0)( xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递减。 6. 函数的极值 求函数)(xf极值的步骤 : 求导数)(xf。 求方程0)( / xf的根 . 列表； 下
4、结论。 7. 函数的最大值和最小值 （1）设)(xfy是定义在区间ba,上的函数，)(xfy在),(ba内有导数，求函数 )(xfy在ba,上的最大值与最小值，可分两步进行. 求)(xfy在),(ba内的极值 . 将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最 小的一个为最小值. （2）若函数)(xf在ba,上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值； 若函数)(xf在ba,上单调递减，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值. 注意： （1）在求函数的极值时，应注意：使导函数 )(xf 取值为 0的点可能是它的极值点， 也可能不是极
5、值点。例如函数 3 )(xxf 的导数 2 3)(xxf ，在点 0x 处有 0)0(f ， 即点 0x 是 3 )(xxf 的驻点，但从 )(xf 在 , 上为增函数可知， 点 0x 不是 )(xf 的极值点 . (2) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系 式，并确定其定义域. 如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函 数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大 （小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以 断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。 （3）极大
6、（小）值与最大（小）值的区别与联系 二、典型例题解析： 例 1 （1）若函数( )yf x在区间( , )a b内可导，且 0 ( , )xa b则 00 0 ()() lim h f xhf xh h 的 值为（） A 0 ()fxB 0 2()fxC 0 2()fxD0 （2）已知曲线mxy 3 3 1 的一条切线方程是44yx，则m的值为 .A 4 3 .B 28 3 .C 4 3 或 28 3 .D 2 3 或 13 3 （3）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A B C D （4）已知函数2) 12()( 23 xaaxxf，若1x是)(xfy的一个极值点，则 a值 为（） A
7、2 B.-2 C. 7 2 D.4 例 2 32 ( )32f xxx在区间1,1上的最大值是 2 。 解：当 1 x 0 时，( )fx0，当 0 x 1 时，( )fx0， 所以当 x0 时，f（x）取得最大值为2。 点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为 0的点是否是极值点还取决与该点两 侧的单调性，导数为0 的点未必都是极值点，如：函数 3 ( )f xx。 例3：设函数 f(x)= 32 23(1)1,1.xaxa其中（）求 f(x)的单调区间；（）讨论 f(x) 的极值。 解：由已知得 ( )6(1)fxx xa，令 ( )0fx，解得 12 0,1xxa。 （）当1a时
8、， 2 ( )6fxx，( )f x在(,)上单调递增； 当1a时， ( )61fxx xa， ( ), ( )fxf x随x的变化情况如下表： x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a ( )fx+ 0 0 ( )f x极大值极小值 从上表可知，函数( )f x在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上 单调递增。 （）由（）知，当1a时，函数( )f x没有极值； 当 1a 时，函数( )fx在 0x 处取得极大值，在 1xa 处取得极小值 3 1 (1)a。 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识 解决实际问题的能力。 例 4
9、： 已知函数 32 1 ( )1 3 f xxaxax （ 1）若在 R 上单调，求a的取值范围。 （ 2）问是否存在a值，使得( )f x在1, 1上单调递减， 若存在，请求a的取值范围。 解：先求导得 2 ( )2fxxaxa （ 1）( )f x在 R 上单调且( )fx是开口向上的二次函数 ( )0fx恒成立，即0 2 440aa，解得01a （ 2）要使得( )f x在 1, 1 上单调递减 且( )fx是开口向上的二次函数 ( )0fx对1, 1x恒成立， 即 1120 1120 faa faa 解得a 不存在a值，使得 ( )f x 在1, 1上单调递减。 例 5：已知直线 1
10、l 为曲线2 2 xxy在点(0,2)处的切线， 2 l 为该曲线的另一条切线， 且 21ll （）求直线 2 l的方程； （）求由直线 1l ，2l和x轴所围成的三角形的面积 解：设直线 1 l 的斜率为 1 k，直线 2 l的斜率为 2 k， 21yx，由题意得 10 |1 x ky, 得直线 1 l的方程为2yx 122 1 1 1llk k 211,1xx令得, 2 12,2xyxxy将代入得 2 l与该曲线的切点坐标为( 1, 2),A由直线方程的点斜式得直线2l 的方程为：3yx （）由直线 1 l的方程为2yx, 令0=2yx得: 由直线 2 l的方程为3yx，令0=3yx得:
11、由 2 3 yx yx 得： 5 2 y 设由直线 1l ，2l和x轴所围成的三角形的面积为S，则： 1525 2( 3) 224 s 三、练习： 1关于函数 762)( 23 xxxf，下列说法不正确的是（4）。 （1）在区间（，0）内，)(xf为增函数（ 2）在区间（ 0，2）内，)(xf为减函数 （3）在区间 （2，）内，)(xf为增函数（ 4）在区间 （，0）),2(内，)(xf 为增函数 2对任意x，有 3 4)( xxf，(1)1f，则此函数为2)( 4 xxf。 3函数 y=2x 3-3x2-12x+5 在0,3 上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。 4下列函数中，0x是极值点的函数是（ 2）。 （1） 3 yx（2） 2 cosyx（3）tanyxx（4） 1 y x 5下列说法正确的是（4）。 （1）函数的极大值就是函数的最大值（2）函数的极小值就是函数的最小值 （3）函数的最值一定是极值（4）在闭区间上的连续函数一定存在最值 6函数 32 ( )35f xxx的单调减区间是 0，2 。 7已知函数 cbxxaxxf 44 ln)(x0) 在 x = 1 处取得极值c3，其中, ,a b c为常 数。 （1）试确定,a b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间。