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1、北京市西城区 2017 2018学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科） 2018.1 试卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟 题号一二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20 分数 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合要求的 . 1. 直线30xy的倾斜角为（） （A）30（B）45（C）60（D）135 2. 命题“对任意3x，都有ln1x”的否定是（） （A）存在3x,使得ln1x（B）对任意3x,都有ln1x （C）存在3x,使得ln1x（D）对任意3x,都有ln1x 3. 双曲线 22 1xy 的焦点到
2、其渐近线的距离为（） （A）1（B）2 （C）2（D） 2 2 4. 设,是两个不同的平面，, ,a b c是三条不同的直线， （） （A）若ab，bc，则/a c（B）若/a，/b，则/a b （C）若ab，a，则/b （D）若a，a，则/ 5. “0nm” 是“方程 22 1 xy mn 表示的曲线为椭圆”的（） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 6. 设 , 是两个不同的平面，l是一条直线，若/l， /l ，m，则（） （A）l与m平行 （C）l与m异面 （B）l与m相交 （D）以上三个答案均有可能 7. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的
3、抛物线 2 2(0)ypx p 上任意一点，M是线段PF 的中点，则直线OM的斜率的最大值为（） （A） 2 2 （B）1（C）2 （D）2 8. 设为空间中的一个平面，记正方体 1111 ABCDA B C D的八个顶点中到的距离为 (0)d d的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（） （A）4 M ，6 M（B）5M ，6 M（C）4M ，6 M（D）5M ，6 M 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“若 22 0ab，则ab”的逆否命题为_. 10. 经过点(2,1)M且与直线380xy垂直的直线方程为_. 11.
4、 在ABC中，3AB，4BC，ABBC. 以BC所在的直 线为轴将ABC旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为_. 12. 若双曲线C的一个焦点在直线43 +20=0lxy：上，一条渐近 线与l平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则C的标准方程 为_；离心率为 _. 13. 一个四棱锥的三视图如右图所示，那么在这个四棱锥的四个 侧面三角形中，有_个直角三角形 . 14. 在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点 (1,0)A和点( 1,0)B的距离之积等于 2的所有 点组成的 . 对于曲线C，有下列四个结论： 1曲线C是轴对称图形； 2曲线C是中心对称图形； 侧(左)视图 正(主)视图 俯视图 2 2
5、 1 1 1 1 1 3曲线C上所有的点都在单位圆 22 1xy=内； 4曲线C上所有的点的纵坐标 1 1 , 2 2 y. 其中，所有正确结论的序号是_. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分13 分） 如图，在正三棱柱 111 ABCA B C中，D为AB的中点 . （）求证：CD平面 11 ABB A； （）求证： 1/ BC平面 1 ACD. 16 （本小题满分13 分） 已知圆 22 680Cxyxym：，其中mR. （）如果圆C与圆 22 1xy相外切，求m的值； （）如果直线30xy与圆C相交所得的弦长为2 7，求
6、m的值 . 17 （本小题满分13 分） 如 图 ， 在 四 棱 柱 1111 ABCDA B C D中 ， 1 AA平 面ABCD，/AB CD，ABAD， 1ADCD， 1 2AAAB，E为 1 AA的中点 . （）求四棱锥 1 CAEB B的体积； （）设点 M 在线段 1 C E上，且直线AM与平面 11 BCC B所成角的正弦值为 1 3 ，求线段 AM的长度； （）判断线段 1 B C上是否存在一点N，使得 B A C A1 C1 B1 D A E CC1 B B1 D D1 A1 /NE CD？（结论不要求证明） 18 （本小题满分14 分） 设F为抛物线 2 2Cyx： 的焦点
7、， ,A B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点 . （）若直线 AB经过焦点F，且斜率为 2，求 |AB ； （）当OAOB时，证明：求 OAOB的最小值 . 19 （本小题满分14 分） 如图，在四面体ABCD中， AD 平面BCD，BCCD，2BCCDAD， M为AC的中点 . （）求证 : BCMD； （）求二面角BMDC的余弦值 . （）求四面体ABCD的外接球的表面积. （注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积 2 4SR） C B D A M 20 （本小题满分14 分） 已 知 椭 圆 22 22 1 (0) xy Cab ab ：的
8、一 个 焦 点 为 (5, 0) ， 离 心 率 为 5 3 . 点P为 圆 22 13M xy：上任意一点，O为坐标原点 . （）求椭圆C的标准方程； （）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ的取值范围； （）设直线l经过点 P且与椭圆C相切，l与圆M 相交于另一点 A，点A关于原点O的对 称点为 B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论 . 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1. D2. C 3. A4. D 5. A6. A 7. B 8. D
9、 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 若a b，则 22 0ab 10. 350xy 11. 15 12. 22 1 916 xy ， 5 3 13. 414. 12 注：第 12 题第一空3 分，第二空2 分；第 14 题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 15 （本小题满分13 分） ( )证明 ：因为正三棱柱 111 ABCA B C，D为AB的中点， B A C A1 C1 B1 D O 所以CDAB， 1 AA底面ABC. 1 分 又因为CD底面ABC， 所以 1 AACD. 3 分 又因为 1 AAABA，AB平面
10、11 ABB A， 1 AA平面 11 ABB A， 所以CD平面 11 ABB A. 6 分 ( )证明 ：如图，连接 1 AC，设 11 ACACO，连接OD，7 分 由正三棱柱 111 ABCA B C，得 1 AOOC， 又因为在 1 ABC中，ADDB， 所以 1 /ODBC，10 分 又因为 1 BC平面 1 ACD，OD平面 1 A CD， 所以 1/ BC平面 1 A CD. 13 分 16. （本小题满分13 分） （） 解：将圆C的方程配方，得 22 (3)(4)25xym，1 分 所以圆C的圆心为(3,4)，半径25(25)rm m. 3 分 因为圆C与圆 22 1xy相
11、外切， 所以两圆的圆心距等于其半径和，即 22 (30)(40)125m， 5分 解得9m. 7 分 （） 解：圆C的圆心到直线30xy的距离 |343| 2 2 2 d. 9 分 因为直线30xy与圆C相交所得的弦长为 2 7， 所以由垂径定理，可得 222 25(2 2)( 7)rm，11 分 解得10m. 13 分 17. （本小题满分13 分） （） 解：因为 1 AA平面ABCD，AD平面ABCD， A E A1 CC1 B B1 D D1 x y z 所以 1 AAAD. 又因为ABAD， 1 AAABA， 所以AD平面 11 ABB A.1 分 因为/AB CD， 所以四棱锥 1
12、 CAEB B的体积 1 1 1 3 CAEB B AEB B VSAD 四边形2 分 11 (12)2 1 1 32 . 4 分 （） 解：由 1 AA平面ABCD，ABAD，可得AD， 1 AA，AB两两垂直，所以分别以AD， 1 AA，AB所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 5 分 则(0,0,0)A，(0,0,2)B，(1,0,1)C，(0,1,0)E， 1(1,2,1)C. 所以(0,1,0)AE， 1 (1,1,1)EC，(1,0, 1)BC， 1 (0,2,0)CC. 设平面 11 BCC B的一个法向量为( , , )x y zm， 由0BCm， 1 0CCm
13、，得 0, 20, xz y 令1x，得 (1,0,1)m . 7 分 设 1 (,)EMEC，其中10 ， 则( ,1, )AMAEEM， 记直线 AM与平面 11 BCC B所成角为， 则 2 21 sin|cos,| 3 3212 AM m， 解得 1 5 （舍） ，或 1 3 . 9 分 所以 1 4 1 ( , ) 3 3 3 AM， 故线段AM的长度为|2AM. 10 分 （） 答：对于线段 1 B C上任意一点N，直线NE与直线CD都不平行 . 13 分 18. （本小题满分13 分） （） 解：由题意，得 1 (,0) 2 F，则直线AB的方程为 1 2() 2 yx. 2 分
14、 由 2 2 1 2(), 2 , yx yx 消去 y，得 2 4610xx. 3 分 设点 11 (,)A xy ， 22 (,)B xy ， 则0，且 12 3 2 xx， 12 1 4 x x， 4 分 所以 2 121212 5 |5|5()4 2 ABxxxxx x. 6 分 （） 解：因为,A B是抛物线C上的两点，所以设 2 (, ) 2 t At， 2 (, ) 2 s Bs， 由OAOB，得 2 () 0 4 st stOA OB，8 分 所以4st，即 4 s t . 则点B的坐标为 2 84 (,)B tt . 10 分 所以 4 22 422 641664 4 | |
15、3248 t OAOBtt ttt ，12 分 当且仅当2t时，等号成立. 所以| |OAOB的最小值为8. 13 分 19. （本小题满分14 分） （） 证明 ：因为AD平面BCD，BC平面BCD， 所以ADBC. 1 分 又因为BCCD，ADCDD， 所以BC平面ACD. 3 分 又因为MD平面ACD， 所以BCMD. 4 分 （）解：如图，设BD的中点为O，AB的中点为E，连接OC，OE， 因为AD平面BCD， 所以EO平面BCD， C D y A M B x z O E 由BCCD，且BCCD，可得OC，OD，OE两两垂直，所以分别以OC，OD，OE 所在直线为x轴，y轴，z轴，如图
16、建立空间直角坐标系，5 分 则(0,2,2)A，(0,2,0)B，(2,0,0)C，(0,2,0)D， 22 (,1) 22 M. 所以 22 (,1) 22 DM，(0, 2,0)2BD，(2,2,0)CD. 设平面 BMD的一个法向量为( , , )x y zm ， 由0DMm，0BDm，得 2220, 2 20, xyz y 令2x，得(2,0,1)m. 7 分 设平面CMD的一个法向量为 111 (,)xy zn， 由0DMn，0CDn，得 111 11 2220, 220, xyz xy 令 1 1x ，得 (1,1,0)n . 8 分 所以 3 cos, |3 m n m n mn
17、 . 由图可知，二面角BMDC的余弦值为 3 3 . 10 分 （） 解：根据（） ，记AB的中点为E， 由题意，ABD为直角三角形，斜边2 3AB， 所以3EAEBED. 12 分 由（），得BC平面ACD， 所以BCAC. 在直角ABC中，E为斜边AB的中点， 所以 EAEBEC. 所以E为四面体ABCD的外接球的球心， 故四面体ABCD的外接球的表面积 2 412SEA. 14 分 20. （本小题满分14 分） （） 解：由题意，知5c， 5 3 c a ，1 分 所以3a， 22 2bac，2 分 所以椭圆C的标准方程为 22 1 94 xy . 3 分 （） 解：由题意，得| |1
18、3|PQOPOQOQ. 4 分 设 11 (,)Q xy，则 22 11 1 94 xy . 所以 22222 11111 45 |(4)4 99 OQxyxxx，5 分 因为 1 3,3x， 所以当 1 0x时， min |2OQ；当 1 3x时， max |3OQ. 6 分 所以| 133, 132PQ. 7 分 （） 结论 ：直线 PB与椭圆C相切 . 8 分 证明 ：由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径， 所以PAPB. 当直线PAx轴时，易得直线 PA的方程为3x ， 由题意，得直线PB的方程为2y， 显然直线 PB与椭圆C相切 . 同理当直线/PAx轴时，直线PB也与椭圆C
19、相切 .9 分 当直线PA与 x 轴既不平行也不垂直时， 设点 00 (),P xy，直线PA的斜率为k，则0k，直线PB的斜率 1 k ， 所以直线 PA： 00 ()yyk xx，直线 PB： 00 () 1 yyxx k ， 10 分 由 00 22 (), 1, 94 yyk xx xy 消去 y， 得 222 0000(94)18()9()360kxykxkxykx. 因为直线PA与椭圆C相切， 所以 222 10000 18() 4(94)9()360ykxkkykx， 整理，得 222 10000 144(9)240xkx y ky. （ 1） 12 分 同理，由直线PB与椭圆C
20、的方程联立， 得 22 20000 2 11 144(9)24xx yy kk . （2） 因为点P为圆 22 13M xy：上任意一点， 所以 22 00 13xy ，即 22 00 13yx. 代入（ 1）式，得 222 0000 (9)2(9)0xkx y kx ， 代入（ 2）式，得 222 20000 2 144 (9)2(4)xx y kyk k 222 0000 2 144 (9)2(9)xx y kxk k 222 0000 2 144 (9)2(9)xkx y kx k 0. 所以此时直线PB与椭圆C相切 . 综上，直线PB与椭圆C相切 . 14 分 欢迎访问 “ 高中试卷网 ” http:/sj.fjjy.org