《江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷 一、填空题： （本大题共14 小题；每小题3 分，共 42 分，把答案填在答题卡的相应位置） 1 （3 分）设全集 U=0 ，1，2，3，4，A=0 ，1，2，3，B=2 ，3，4，则（?A）（?B） = 2 （3 分）函数y=log2（3x2）的定义域是 3 （3 分）如图，设实数a，b，c，d0，且不等于1，曲线 ， ， ， 分别表示函数 y=a x，y=bx，y=log cx，y=logdx 在同一坐标系中的图象，则a，b， c，d 的大小顺序为 4 （3 分）某高级中学高一特长班有100 名学生，其中学绘画的学生有67
2、人，学音乐的学生 有 45 人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21 人，那么同时学绘画和 音乐的学生有人 5 （3 分）已知幂函数y=x 的图象过点（ 8，4） ，则这个函数的解析式是 6 （3 分）已知函数f（ n）=，其中 n N，则 f（8）等于 7 （3 分）设 lg2=a，lg3=b，则 log512= 8 （3 分）函数y=lg（x 22x）的单调递增区间是 9 （3 分） f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，若f（x） f（2x） ，则 x 的取值范 围是 10 （ 3分） （log43+log83） （log32+log92）+log= 11 （ 3 分
3、）函数f（x）=xlog2x3 的零点所在区间为（k，k+1） （k Z） ，则 k 的值是 12 （ 3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是 13 （3 分）若函数 y=x 2 3x4 的定义域为 0，m，值域为 ，4，则 m 的取值范围是 14 （ 3 分）已知 f（x）是 R 上的奇函数，满足f（x+2）=f（x） ，当 x （0，1）时， f（x）=2 x 2，则 f（log6）= 二、解答题： （本大题共6 小题，共计58 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡的指定区域内.） 15 （ 8分）集合A=x|3 x10 ，B=x|2 x7，
4、C=x|x a， （1）求 AB； （2）求（ ?RA） B； （3）若 A C ?，求 a 的取值范围 16 （ 8分）函数y=a 2x+2ax1（a 0 且 a 1）在区间 1，1上有最大值 14，试求 a 的值 17 （10 分）已知 a为实数， 当 a 分别为何值时， 关于 x 的方程 |x 26x+8|a=0 有两个、 三个、 四个互不相等的实数根？ 18 （ 10 分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变 化老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随 后学生的注意力开始分散该小组发现注意力指标f （t） 与上课时刻
5、第t 分钟末的关系如下 （t （0， 40，设上课开始时，t=0） ： f（t）=（a0 且 a 1） 若上课后第5 分钟末时的注意力指标 为 140， （1）求 a 的值； （2）上课后第5分钟末和下课前5 分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？ （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持多长？ 19 （ 10 分）已知函数f（x） =2ax+（a R） （1）当 0a 时，试判断f（x）在（ 0，1上的单调性并用定义证明你的结论； （2）对于任意的x （0，1，使得 f（x） 6 恒成立，求实数a的取值范围 20 （ 12 分）已知函数f（x） =lg （1）判断函数f（x
6、）的奇偶性； （2）若 f（x） 1，求实数x 的取值范围； （3）关于 x 的方程 10f （x）=ax 有实数解，求实数 a 的取值范围 2014-2015 学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学 试卷 参考答案与试题解析 一、填空题： （本大题共14 小题；每小题3 分，共 42 分，把答案填在答题卡的相应位置） 1 （3 分）设全集 U=0 ，1，2，3，4，A=0 ，1，2，3，B=2 ，3，4，则（?A）（?B） =0 ，1，4 考点 ：交、并、补集的混合运算 专题 ：集合 分析：由全集 U，以及 A， B，求出 A 的补集与B 的补集，找出两补集的并集即可 解答：解：全集U=0
7、 ，1，2， 3，4 ， A=0 ，1，2，3 ，B=2 ，3，4 ， ?A=4 ，?B=0 ，1， 则（ ?A）（ ?B）=0 ，1，4， 故答案为： 0 ，1， 4 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2 （3 分）函数y=log2（3x2）的定义域是 x|x 考点 ：函数的定义域及其求法 分析：对数函数的真数一定要大于0，即， 3x20，从而求出x 的取值范围 解答：解：因为3x 20，得到 x 故答案为： x|x 点评：对数函数定义域经常考，注意真数一定要大于0 3 （3 分）如图，设实数a，b，c，d0，且不等于1，曲线 ， ， ， 分别表示函数
8、 y=a x，y=bx，y=log cx，y=logdx 在同一坐标系中的图象，则a，b， c，d 的大小顺序为dca b 考点 ：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质 专题 ：函数的性质及应用 分析：根据指数函数的和对数的函数的图象和性质判断即可 解答：解：由函数的图象可得 y=ax 是减函数， y=b x 是减函数，故底数a，b 都是大于 0 且小于 1 的实数 作出直线x=1 和函数 图象的交点，可得ab，故 0ba 1 由函数的图象可得函数 y=logcx 和 y=logdx 是增函数，故底数 c，d 都是大于1的实数 作出直线y=1 和函数 图象的交点，可得dc，故有d c1
9、综上可得d cab 故答案为： dca b 点评：本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题 4 （3 分）某高级中学高一特长班有100 名学生，其中学绘画的学生有67 人，学音乐的学生 有 45 人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21 人，那么同时学绘画和 音乐的学生有33 人 考点 ：Venn 图表达集合的关系及运算 专题 ：集合 分析：根据学生学特长之间的关系即可得到结论 解答：解：学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21 人， 学绘画和学音乐的人数是10021=79 人， 学绘画的学生有67 人，学音乐的学生有45 人， 同时学绘画和音乐的学生
10、有67+4579=33 人， 故答案为： 33 点评：本题考查两个集合的交集、并集、补集的定义，比较基础 5 （3 分）已知幂函数y=x 的图象过点（ 8，4） ，则这个函数的解析式是f（x） = 考点 ：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题 ：函数的性质及应用 分析：设幂函数f（x）=x ，把点（ 8，4）代入即可解出 解答：解：设幂函数f（x）=x ，把点（ 8，4）代入可得4=8 ，解得 = f（x）= 故答案为： f（x）= 点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题 6 （3 分）已知函数f（ n）=，其中 n N，则 f（8）等于 7 考点 ：函数的值 专题 ：计算题 分析：根据
11、解析式先求出f（8）=ff （13），依次再求出f（13）和 ff （13），即得到所 求的函数值 解答：解：函数f（n） =， f（8）=ff （13）， 则 f（13）=133=10， f（8）=ff （13）=103=7， 故答案为： 7 点评：本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“ 由里到外 ” 的顺序逐层求值，一定要注意 自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解 7 （3 分）设 lg2=a，lg3=b，则 log512= 考点 ：对数的运算性质 专题 ：计算题 分析：利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真 数化为 2，3 的乘积的形式进行代
12、入计算出结果 解答：解： log512= = 故答案为： 点评：本题考查对数换底公式的运用，考查对数运算性质的应用，考查学生等价转化的能 力和运算化简得能力 8 （3 分）函数y=lg（x 22x）的单调递增区间是（ 2， +） 考点 ：对数函数的单调性与特殊点 专题 ：计算题 分析：由 x22x0，得 x0 或 x2，u=x 22x 在（ 2，+）内单调递增，而 y=lgu 是增 函数，由 “ 同增异减 ” ，知函数y=lg （x 22x）的单调递增区间是（ 2， +） 解答：解：由 x 22x 0，得 x0 或 x2， u=x 22x 在（ 2，+）内单调递增， 而 y=lgu 是增函数，
13、 由“ 同增异减 ” ，知函数y=lg （ x22x）的单调递增区间是（2，+） 故答案为：（2，+） 点评：本题考查对数函数的单调性和应用，解题时要认真审题，注意灵活运用“ 同增异减 ” 求解复合函数的单调区间的方法 9 （3 分） f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，若f（x） f（2x） ，则 x 的取值范 围是（ 1，2） 考点 ：函数单调性的性质 专题 ：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 分析：由于 f （x） 是定义在（ 0， +） 上的单调增函数， 则 f （ x） f （2x） ， 等价为， 解出即可 解答：解：由于f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，
14、则 f（x） f（2x） ， 等价为，解得， 即有 1x2 则解集为（ 1，2） 故答案为：（1，2） 点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题 10 （ 3分） （log43+log83） （log32+log92）+log= 考点 ：对数的运算性质 专题 ：函数的性质及应用 分析：利用对数的运算法则和换底公式求解 解答：解： （log43+log83） （ log32+log92）+log =（ log6427+log649） （log94+log92）+ =log64243?log98+ = = =1 = 故答案为： 点评：本题考查对数式化简求值，是基础题，解
15、题时要认真审题，注意对数性质和运算法 则的合理运用 11 （ 3 分）函数f（x）=xlog2x3 的零点所在区间为（k，k+1） （k Z） ，则 k 的值是 2 考点 ：函数零点的判定定理 专题 ：函数的性质及应用 分析：求 f （x） ，判断函数f（x）取得最值的情况，以及取得零点的情况，及零点的个数， 并且能够得到函数f（x）只有一个零点，并且是在（2 ln2，+）内容易判断 f（2） 0，f （3） 0，所以零点在区间（2，3）内，所以根据已知f（x）在（ k，k+1） ，k Z，内有零点， 所以 k=2 解答：解： f（x）=ln2+log2x，令 f （x）=0 得， x=2 l
16、n2，且 02ln2 1； x （0，2 ln2）时， f （ x） 0，x （2 ln2，+）时， f （x） 0； f（x）在（ 0，2 ln2）上单调递减，在（ 2 ln2，+）上单调递增； 又 x 趋向于 0 时， log2x0，x0， xlog2x0，即函数 f（x）在（ 0，2 ln2）内不存在零点； 又 f（ 2）=230，f（ 3）=3log2330； f（x）在区间（ 2，3）内存在一个零点，且在（2 ln2，+）内只有一个零点； 由已知 f（x）零点所在区间为（k， k+1） ， （k Z） ； k=2 故答案为： 2 点评：考查通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法，以
17、及函数零点的概念，以及单 调函数取得零点的情况 12 （ 3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是0 m 4 考点 ：一元二次不等式的应用 专题 ：不等式的解法及应用 分析：问题等价于mx 2+mx+1 0 对一切 x R 恒成立，分 m=0，和 m 0 两种情况可得答案 解答：解：函数f（x） =的定义域是一切实数， mx2+mx+1 0 对一切 x R 恒成立， 当 m=0 时，上式变为10，恒成立， 当 m 0 时，必有，解之可得0m 4， 综上可得0 m 4 故答案为0 m 4 点评：本题考查二次函数的性质，涉及函数的定义域和不等式恒成立问题，属基础题 13 （3
18、 分）若函数y=x 23x4 的定义域为 0，m，值域为 ， 4，则 m 的取值范围是 ，3 考点 ：二次函数的性质 专题 ：计算题；数形结合 分析：根据函数的函数值f（）=，f（0）=4，结合函数的图象即可求解 解答：解： f（x）=x 23x4=（ x ）2， f（）=，又 f（0） =4， 故由二次函数图象可知： m 的值最小为； 最大为 3 m 的取值范围是： m 3 故答案 ， 3 点评：本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题 14 （ 3 分）已知 f（x）是 R 上的奇函数，满足f（x+2）=f（x） ，当 x （0，1）时， f（x）=2 x
19、2，则 f（log6）= 考点 ：抽象函数及其应用 专题 ：计算题；函数的性质及应用 分析：由题意先判断3log6 2，从而可知先用f（x+2）=f（x）转化到（ 1， 0） ， 再用奇偶性求函数值即可 解答：解： 3log6 2， 又 f（ x+2） =f（x） ， f（log6）=f（log6+2） =f（log） ， 1log0， 0 log2 1， 又 f（ x）是 R 上的奇函数， f（log）=f（log2） =（2） =（ 2）=， 故答案为： 点评：本题考查了抽象函数的应用，属于中档题 二、解答题： （本大题共6 小题，共计58 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解
20、答写在答题卡的指定区域内.） 15 （ 8分）集合A=x|3 x10 ，B=x|2 x7，C=x|x a， （1）求 AB； （2）求（ ?RA） B； （3）若 A C ?，求 a 的取值范围 考点 ：交、并、补集的混合运算 专题 ：集合 分析：（1）由 A 与 B，求出两集合的并集即可； （2）由全集R 及 A，求出 A 的补集，找出A 补集与 B 的交集即可； （3）根据 A 与 C 的交集不为空集，求出a的范围即可 解答：解： （1） A=x|3 x10， B=x|2 x7， AB=x|2 x10 ； （2） A=x|3 x 10，B=x|2 x 7， ?RA=x|x 3 或 x 10
21、 ， 则（ ?RA） B=x|2 x3； （3） A=x|3 x 10，C=x|x a，且 A C ?， a 3 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 16 （ 8分）函数y=a 2x+2ax1（a 0 且 a 1）在区间 1，1上有最大值 14，试求 a 的值 考点 ：指数函数综合题 分析：令 b=ax构造二次函数y=b 2+2b1，然后根据 a 的不同范围（ a1 或 0a1）确定 b 的范围后可解 解答：解：令 b=ax则 a 2x=b2 y=b 2+2b1=（b+1）22 对称轴 b=1 若 0a1，则 b=ax是减函数，所以a 1a 所以 0ab
22、所以 y 的图象都在对称轴b=1 的右边，开口向上并且递增 所以 b=时有最大值 所以 y=b 2+2b 1=14b2+2b15=0（ b3） （b+5） =0 b0，所以b=3，a= 符合 0a1 若 a1 则 b=ax是增函数，此时0 ba y 的图象仍在对称轴b=1 的右边，所以还是增函数 b=a 时有最大值 所以 y=b 2+2b 1=14 b0，所以 b=a=3，符合 a1 所以 a= 或 a=3 点评：本题主要考查指数函数单调性的问题对于这种类型的题经常转化为二次函数，根 据二次函数的图象和性质进行求解 17 （10 分）已知 a为实数， 当 a 分别为何值时， 关于 x 的方程
23、|x 26x+8|a=0 有两个、 三个、 四个互不相等的实数根？ 考点 ：函数的零点与方程根的关系 专题 ：计算题；作图题；函数的性质及应用 分析：方程 |x26x+8|a=0 的解的个数可转化为函数y=|x 26x+8|与 y=a 的交点的个数， 作 函数 y=|x 26x+8|的图象，由数形结合求 a 解答：解：方程 |x26x+8|a=0 的解的个数可转化为 函数 y=|x 26x+8|与 y=a 的交点的个数， 作函数 y=|x 26x+8|的图象如下， 故由图象可知， 当 a=0 或 a1 时，关于x 的方程 |x26x+8|a=0 有两个互不相等的实数根， 当 a=1 时，关于x
24、 的方程 |x26x+8| a=0 有三个互不相等的实数根， 当 0a1 时，关于x 的方程 |x26x+8|a=0 有四个互不相等的实数根 点评：本题考查了函数图象的作法及方程的根与函数交点的关系，属于中档题 18 （ 10 分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变 化老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随 后学生的注意力开始分散该小组发现注意力指标f （t） 与上课时刻第t 分钟末的关系如下 （t （0， 40，设上课开始时，t=0） ： f（t）=（a0 且 a 1） 若上课后第5 分钟末时的注意力指标 为 140，
25、 （1）求 a 的值； （2）上课后第5分钟末和下课前5 分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？ （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持多长？ 考点 ：分段函数的应用 专题 ：计算题；应用题；函数的性质及应用 分析：（1）由题意， 100?60=140，从而求a的值； （2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5 分钟末 f（35）=15 35+640=115，从而可 得答案； （3）分别讨论三段函数上f（t） 140 的解，从而求出f（ t） 140 的解，从而求在一节课中， 学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持的时间 解答：解： （1）由题意得，当t=5
26、时， f（t）=140， 即 100? 60=140， 解得， a=4； （2） f（5）=140，f（35）=15 35+640=115， 由于 f（5） f（35） ， 故上课后第5 分钟末比下课前5 分钟末注意力更集中； （3） 当 0t 10 时， 由（ 1）知， f（ t） 140 的解集为 5，10， 当 10t 20 时， f（t） =340140，成立； 当 20t 40 时， 15t+640 140， 故 20t， 综上所述， 5 t， 故学生的注意力指标至少达到140 的时间能保持5=分钟 点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中 档题
27、 19 （ 10 分）已知函数f（x） =2ax+（a R） （1）当 0a 时，试判断f（x）在（ 0，1上的单调性并用定义证明你的结论； （2）对于任意的x （0，1，使得 f（x） 6 恒成立，求实数a的取值范围 考点 ：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题 ：导数的综合应用 分析：（1）利用定义证明即可， （2）利用导数判断函数的最值，需要分类讨论，问题得以解决 解答：解： （1）f（x）在（ 0，1上的单调性递减， 理由如下： 设 x1，x2 （0，1，且 x1 x2， 则 f（x1） f（x2）=2ax1+ 2ax2 =2a（x1 x2）+=（12ax1x2
28、） ， x1，x2 （0，1，且 x1x2， 0a ， x2x10，0x1?x21，02ax1x21，1 2ax1x20， f（x1） f（x2） 0， f（x）在（ 0，1上的单调性递减， （2） f（x）=2ax+， f （x）=2a=， 当 a 0 时， f （x） 0， 函数 f（x）在（ 0，1单调递减， f（x）min=f （1）=2a 6， 解得 a 3， a 0 时，对于任意的x （ 0，1，使得 f（ x） 6 恒成立， 当 a0 时， 令 f （x）=0，解得 x=， 当 f （x） 0，即 x，函数 f（x）单调递增， 当 f （x） 0，即 0x，函数 f（x）单调递减
29、， 当 1 时，即 0a 时， f（x）在（ 0，1上的单调性递减， f（x）min=f （1）=2a 6 恒成立 解得 a 3， 当1 时，即 a时， f（x）在（ 0，上的单调递减，在（， 1）上单调递增， f（x）min=f （ ）=2a?+ 6 恒成立， 解得 a ， 综上所述实数a 的取值范围为（，+） 点评：本题主要考查了函数的单调性和导数与函数的最值问题，以及求参数的取值范围， 属于中档题 20 （ 12 分）已知函数f（x） =lg （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）若 f（x） 1，求实数x 的取值范围； （3）关于 x 的方程 10f （x）=ax 有实数解，求实数
30、a 的取值范围 考点 ：指、对数不等式的解法；函数奇偶性的判断；函数的零点 专题 ：函数的性质及应用 分析：（1）令真数大于0 可得到函数的定义域，利用对数的运算律化简f（ x） ，判断出 与 f（x）的关系，再由函数奇偶性的定义得出结论； （2）把 f（x） 1 化为： lg lg10，由函数的定义域和对数函数的单调性，列出不等式组 求出 x 的范围； （3）根据解析式把方程10f （x）=ax 有实数解化为： a=在（ 1，1）有实数解，设g（x） =，并求出 g（x）化简后，利用二次函数的性质得到单调区间，求出函数的最大值、最 小值，得到函数的值域，就是实数a的取值范围 解答：解： （1
31、）由得， （x+1） （x1） 0，解得 1x1， 所以函数f（x）的定义域是（1， 1） ， 因为 f（ x）=lg=lg=lg=f（x） ， 所以函数f（x）是奇函数； （2）由 f（x） 1 得， lg 1=lg10 ， 所以，即，解得 x1， 则实数 x 的取值范围是，1） ； （3）由 10f （x）=ax 得， =ax，且 1x1， 当 x=0 时，方程不成立； 当 x 0 时，方程化为a=，设 g（x） =， 则方程 10 f（x）=ax 有实数解化为 a=在（ 1，1）有实数解， 即实数 k 属于函数g（x）=在（ 1， 1）上的值域， 则 g（x）=， 令 h（x） =x 22x1=0，解得 x= =1，则 x=1， 所以当 1x1时， h（x） 0，则 g（x） 0， 当 1x1 时， h（ x） 0，则 g（ x） 0， 所以 g（x）在区间（1，1）单调递增，在（1，1）上单调递减， 则函数 g（x）最小值是g（1）=， 又 g（1） =0，g（ 1）无意义，所以函数g（x）最大值是0， 所以函数g（x）的值域是 ，0） ， 即实数 a 的取值范围是：，0） 点评：本题考查对数函数的单调性、定义域，函数奇偶性的判断，对数不等式、分式不等 式的求法，以及函数与导数的应用，考查运算求解能力与化归、转化思想属于难题