《江苏省南师附中、淮阴、天一、海门数学四校2016届高三联考数学试题Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南师附中、淮阴、天一、海门数学四校2016届高三联考数学试题Word版含答案.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考 数学必做题部分 参考公式： 锥体的体积公式：, 3 1 ShV锥体其中 S是锥体的底面积，h是高 一、 填空题：本大题共14 个小题，每小题5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 1. 设集合2, 1 , 0A， 3,2 2 aaB， 1BA，则实数a的值为 _ 2. 设复数z满足5)43(zi（i是虚数单位），则z_ 3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 _ 4. 在一段时间内有2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200 辆进行车速统 计，统计结果如下面的频率分布直方图所示. 若该处高速公路规定正常行驶速度为hkm/9
2、0 hkm/120， 试估计 2000 辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有辆 5. 将函数)0)(2sin(xy的图象沿x轴向左平移 8 个单位，得到函数 )(xfy的图象，若函数)(xfy的图象过原点，则_ 6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 2 1 ，乙胜的概率为 3 1 ，则甲胜的概率 为_ 7. 设偶函数)(xf在区间),0上单调递增，则满足)1 () 12(fxf的x的取值范围是 _ 8. 在等比数列 n a中，已知32 52a a，4 43 aa，且公比为整数，则 10 a_ 9. 如图，正四棱锥ABCDP的底面一边AB长为cm32，侧面积为 2 38cm，则它的体
3、 积为 _ AB CD P 10. 已知双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的渐近线与圆1)2( 22 yx没有公共点， 则该双 曲线的离心率的取值范围为_ 11. 若函数 2,log 2,) 2 1 ( )( 3 xx x xf a x （,0a且1a）的值域是),2，则实数a的取值范围 是_ 12. 已知ABC外接圆O的半径为2，且AOACAB2，|AOAB，则 CBCA_ 13已知yx,为正实数，则 x y yx x 2 2 的最小值为 _ 14设0)(3( 2 bxax对任意), 0x恒成立，其中ba,是整数，则ba的取值的集 合为 _ 二、解答题：本大题共6 小
4、题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分14 分） 在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，且acbca 222 （1）求B的大小； （2）设BAC的平分线AD交BC于D，, 1,32BDAD求Ccos的值 A B C D 16 （本小题满分14 分） 如图，在四棱锥ABCDP中，BCAD /，且ADBC2，CDPBCDAD,， 点E在棱PD上，且EDPE2 （1）求证 : 平面PCD平面PBC； （2）求证 :/PB平面AEC P C B D A E 17 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0( 1
5、2 2 2 2 ba b y a x 的离心率 2 2 e，且点) 1 ,2(P在椭 圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）若点BA,都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上 求直线AB的斜率； 求AOB面积的最大值 18 （本小题满分16 分） 如图，BA,是海岸线OM ，ON的两个码头，Q为海中一小岛，在水上旅游线AB上， 测得QkmOAMON,6,3tan到海岸线ONOM ,的距离分别为km2，km 5 107 （1）求水上旅游线AB的长； （2）海中kmPQP6(，且OMPQ处的某试验产生的强水波圆P，生成t小时时的半径 为kmtr 2 3 66若与此同时，一游轮以hkm/
6、218的速度自码头A开往码头B，试研究 强水波是否波及游轮的航行? O M N PB A Q 19 （本小题满分16 分） 设Rba,，函数axaexf x ln)(，其中e是自然对数的底数，曲线)(xfy在点 )1(, 1 (f处的切线方程为0)1(byxe （1）求实数ba,的值； （2）求证 : 函数)(xfy存在极小值； （3）若), 2 1 x，使得不等式0ln x m x x e x 成立，求实数m的取值范围 20 （本小题满分16 分） （2）若 2016, 2 1 mda，求m的最大值； （3）是否存在正整数k，满足)(3 121121mmkkkk aaaaaaaa? 若存在，
7、求出k的值；若不存在，请说明理由 南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考 数学附加题部分 【选做题 】 本题包括DCBA,四个小题， 请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答， 若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21A （本小题满分10 分） 如图，已知圆上是弧AC=弧BD，过点C的圆的切线CE与BA的延长线交于点E （1）求证：BCDACE； （2）求证：CDAEBD 2 B （本小题满分10 分） 已知矩阵 12 1a A的一个特征值3所对应的一个特征向量 1 1 e，求矩阵A 的逆矩阵 1 A C （本小题满分10 分） 在平面直角坐标系xOy
8、中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线C为sin2cos4曲线C上的任意一点的直角坐标为),(yx， 求yx的取值范围 D （本小题满分10 分） 已知关于x的不等式bax|的解集为42|xx （1）求实数ba,的值； （2）求btat12的最大值 【必做题】第 22 题、第 23题，每题 10分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分10 分） 某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动： 消费金额X（元） )1000,500)1500,1000),1500 抽奖次数1 2 4
9、抽奖中有9 个大小形状完全相同的小球，其中4 个红球、 3 个白球、 2 个黑球（每次只能抽取 一个，且不放回抽取） ，若抽得红球，获奖金10 元；若抽得白球，获奖金20 元；若抽得黑球， 获奖金 40 元， （1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000 元，求该顾客获得奖金70 元的概率； （2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200 元，获奖金元。求的分布列和)(E的值。 23 （本小题满分10 分） 设函数 2 1 )2ln( 2 1 )(xxf，数列 n a满足：*)(, 1 11 Nnafaa nn （1）求证 : 2 1 x时，xxf)(； （2）求证 :1 2 1 n a（*Nn
10、） ； （3）求证 : 8 3 )( 1 1 1i n i ii aaa（*Nn） 参考答案 1-1 ； 2 34 55 i； 3 5； 4 1700； 5 3 4 ； 6 1 6 ； 7 0,1； 8 512； 9 4； 101,2； 11 1,2 ； 12 12； 13 3 2 ； 14 2,8 15解： （1） 222 acbac， 222 1 cos 222 acbac B acac , 2 分 0,B ， 2 3 B 4 分 （2）在ABD中，由正弦定理： sinsin ADBD BBAD ， 3 1 sin1 2 sin 4 2 3 BDB BAD AD ， 6 分 2 17 co
11、scos212sin12 168 BACBADBAD 8 分 2 2 715 sin1cos1 88 BACBAC 10 分 000 coscos 60cos60 cossin 60 sinCBACBACBAC 16证明： （1）,/ /ADCD ADBC， CDBC 2 分 又PBCD， PBBCB， PB平面,PBC BC平面PBC， CD平面PBC （2）连接BD交AC于O，连OE / /ADBC，ADOBOD 8 分 :1: 2DOOBADBC 10 分 又2PEED， / /OEPB 12 分 OE平面,AEC PB平面AEC / /PB平面AEC， 14 分 17解： （1）由题意
12、得： 22 222 2 2 41 1 c e a ab abc ， 2 分 6 3 a b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 63 xy 4 分 （2）法一、设 112200 ,A x yB xyMxy，直线AB的斜率为k 则 22 11 22 22 1 63 1 63 xy xy ， 2222 1212 0 63 xxyy ， 00 22 0 63 xy k 6 分 又直线 1 :, 2 OPyx M在线段OP上，所以 00 1 2 yx， 所以1k 8 分 法二、设 112200 ,A x yB xyMxy，直线AB的方程为 00 yyk xx， 则 00 22 1 63 yyk xx x
13、y ， 2 22 0000 124260kxk ykxxykx， 由题意，0， 所以 00 122 4 12 k ykx xx k ， 6 分 00 02 2 12 k ykx x k ， 又直线 1 :, 2 OPyx M在线段OP上，所以 00 1 2 yx， 所以 2 1 2 2 1 12 kk k ，1k 8 分 法三、设 112200 ,A x yB xyMxy，直线AB的方程为ykxm， 则 22 1 63 ykxm xy ， 222 124260kxkmxm， 由题意，0 所以 122 4 12 km xx k ， 6 分 0 2 2 12 km xi k 又直线 1 :, 2
14、OPyx M在线段OP上，所以 00 1 2 yxii， M在直线AB上， 00 ykxm iii 解iiiiii得：1k， 8 分 设直线AB的方程为,0,3yxm m， 则 22 1 63 yxm xy ， 22 34260xmxm， 所以 12 2 12 0 4 3 26 3 m xx m x x ， 10 分 所以 2 2 12 4 119 3 ABxxm 原点到直线的距离 2 m d 12 分 222 1 423 2 99 2 332 2 OAB m Smmm 当且仅当 3 20,3 2 m时，等号成立， 所以AOB面积的最大值 3 2 2 18解： （1）以点O为坐标原点，直线OM
15、为x轴，建立直角坐标系如图所示 则由题设得：6,0A，直线ON的方程为 00 3 ,20yx Q xx， 2 分 由 0 32 7 10 5 10 x ，及 0 0x得 0 4x，4,2Q 4 分 直线AQ的方程为6yx，即60xy， 6 分 由 3 60 yx xy 得 3 9 x y ，即3,9B， 2 2 3699 2AB，即水上旅游线AB的长为 9 2km 8 分 (2) 设试验产生的强水波圆P，生成t小时时，游轮在线段AB上的点C处， 则 1 18 2 ,0 2 ACtt，6 18 ,18Ctt 10 分 令 22 h trPC， 则 3 2 4,8 ,6 6Prt， 2 3 22
16、2 6 6218188h tttt 32 1 18 12362068,0 2 tttt， 12 分 221 18 1233622072 918572 3135 ,0 2 htttttttt 14 分 由0h t得 1 3 t或 5 3 t（舍去） x 1 0, 3 1 1 , 3 2 h t+ - 3 22 3 max 11 62668120 33 h th ； 1 0 2 t时，0h t，即rPC恒成立， 亦即强水波不会波及游轮的航行 16 分 19解： （1） xa fxe x ，1fea， 由题设得： 1 10 eae eeab ， 1 0 a b 2 分 （2）由（ 1）得ln1 x
17、fxex， 1 (0) x fxex x ， 2 1 0 x fxe x ，函数fx在0,是增函数， 4 分 1 20,110 2 fefe，且函数fx图像在0,上不间断， 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0fx， 6 分 结合函数fx在0,是增函数有： x 0 0,x 0, x fx- + 函数fx存在极小值 0 fx 8 分 （3） 1 , 2 x ，使得不等式ln0 x em x xx 成立， 1 , 2 x ，使得不等式ln x mexx成立（*） 10 分 令 1 ln, 2 x h xexx x ， 则ln1 x hxexfx， 结合（ 2）得： 0 00 min ln1 x h
18、xfxex， 12 分 其中 0 1 ,1 2 x ，满足 0 0fx，即 0 0 1 0 x e x ， 0 00 0 1 ,ln x exx x ， 0 000 min 00 11 ln112110 x h xexxx xx ， 1 ,0 2 xhx ， h x在 1 , 2 内单调递增 14 分 11 22 min 1111 lnln2 2222 h xhee， 结合（ * ）有 1 2 1 ln 2 2 me， 即实数m的取值范围为 1 2 1 ln 2, 2 e 16 分 20解： （1）由已知 * 8 ,2 ,16 nk km kNan aa， 故 * 1231 ,(,) kk a
19、 a aaa km kN为：2， 4，6， 8， 10， 12， 14，16； 111 , mmkk a aaaa 公比为 2，则对应的数为2，4，8，16， 从而 12 , m a aa即为： 2，4，6，8，10，12，14，16，8，4； 2 分 此时 8 216 10,8484 2 m mS 4 分 （2） * 1231 , kk a aaaakm kN是首项为2，公差为 2 的等差数列， 故 * ,2 n km kNan，从而2 k ak， 而 111 , mmkk a aaaa 首项为 2，公比为2的等比数列且 2 2 m k k a， 故有 2 22 m k k； 即 1 2 m
20、 k k即k必是 2 的整数幂 6 分 又 1 22 km k，要m最大，k必需最大，2016km，故k的最大值为 10 2， 8 分 所以 10 10210102410341 222222 m ，即m的最大值为 1033 10 分 （1）由数列 1231 , kk a a aaa 是公差为d的等差数列知， 1 1 k aakd，而 111 , mmkk a aaaa 是公比为2 的等比数列 1 1 2 mk k aa， 故 1 11 12 mk akda， 1 1 121 mk kda ， 12 分 又 12111 3 kkkkmm aaaaaaaa， 1 2 m aa，则 11 112 1
21、32 212 m k kak kda ，即 1 111 1 213221 2 mkm k kak aa ， 则 111 26 21 22 mkmk kk，即 11 26212 mkmk kk， 14 分 显然6k，则 1 1218 21 66 mk k kk ，所以6k，将1,2,3,4,5k，代入验证知， 当4k时，上式右端为8，等式成立，此时6m， 综上可得：当且仅当6m时，存在4k满足等 式 16 分 附加题答案 21 B【选修 4-2 ：矩阵与变换】 （本小题满分10 分） 解：由题意： 11 Aee， 11 3 211 a ， 12 13,2 21 aaA ， 30A， 1 1212
22、 3333 2121 3333 A 10 分 C【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】 （本小题满分10 分） 解：曲线C为4cos2sin 曲线C的直角坐标方程为 22 420xyxy 4 分 即 22 215xy， 所以曲线C是以2,1为圆心，5为半径的圆 故设 25cos ,15sinxy 6 分 则 15 cos5 sin110 cos 4 xy 8 分 xy的取值范围是110,110 10 分 22 （本小题满分10 分） 解： （ 1）2000X，该顾客有4 次抽奖机会，得奖金70 元，则有两种情形：抽得3 红 球， 1 黑球；抽得1 红球， 3 白球 该顾客获得奖金70 元的概率
23、3113 4243 4 9 2 21 C CC C P C 4 分 （2）1200X，该顾客有2 次抽奖机会， 的值可能为20，30， 40，50，60，80， 112 434 22 99 11 20,30 63 C CC PP CC ， 211 342 22 99 12 40,50 129 CC C PP CC ， 112 322 22 99 11 60,30 636 C CC PP CC ， 20 30 40 50 60 80 P 1 6 1 3 1 12 2 9 1 6 1 36 8 分 111211 20304050608040 63129636 E 10 分 23 （本小题满分10
24、分） 解： （ 1）令 11 ln 2 22 Fxfxxxx， 则 12 2 x Fx x ，又 1 2 x，可得0Fx 即F x在 1 , 2 为减函数，故 1 0 2 F xF ，即 1 , 2 xfxx， 2 分 （2） 1 ）当1n时， 11 1 1,1 2 aa成立 2）假设 * nk kN时， 1 1 2 k a， 当 * 1nkkN时， 1 11 ln 2 22 kkk afaa， 根据归纳假设 1 1 2 k a，由（ 1）得： 1111111 ln 2ln 2ln 2 1 2222222 k a ， 即： 1 1 1 2 k a，即1nk时命题成立 综上所述对 * nN命题成立 6 分 （3）由 1 11 1, 22 nnn aafaxfxx， 可得： 1 1 1 2 nnn afaa，从而 11 1 2 i i aa a，又 1 0 ii aa， 8 分 故 221 1111 1 22 ii iiiiiii aa aaaaaaa， 则有： 222222 1112231 1 1 2 n iiinn i aaaaaaaaa 222 111 2 11113 11 22228 nn aaa 10 分