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1、南方中学、醴陵一中2016 年下学期高二年级联考 数学 ( 理科创新班 ) 试题 总分： 150 时量： 120 考试时间 2016 年 12 月 10 日 由株洲市南方中学醴陵市第一中学联合命题 姓名：考号： 一、选择题 1. 命题“xR， 2 0x ”的否定是（） AxR， 2 0x BxR， 2 0x CxR， 2 0x DxR， 2 0x 2已知ABC中， 1,2ab ， 45B ，则角 A等于 ( ) A150 B90 C60 D30 3. 已知 n a 为等差数列，其前 n项和为 n S ，若 3 6a ， 3 12S ，则公差d等于（） A.1 B. 5 3 C. 2 D.3 4
2、若实数a，b满足ab2，则 3 a3b 的最小值是 ( ) A 6 B18 C23 D33 5. 一元二次不等式ax 2 bx20 的解集为 ( 1 2， 1 3) ，则 ab的值是 ( ) A 10 B 14 C10 D14 6. 由曲线 xx yy 32 ,围成的封闭图形面积为( ) （A） 1 12 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 7 12 7. 设椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F2 30，则C的离心率为 ( ) A. 3 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 3 8. 设数列 n a
3、 是等比数列，则“123 aaa ”是数列 n a 是递增数列的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几 何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2 倍，已知她5 天共织布5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3 天所织布的尺数为 （） A B C D 10定义在 R上的函数f(x) 满足：f(x) f(x) 恒成立，若x1x2，则 e x1 f(x2)与 e x2 f(x1)的大 小关系为 ( ) A e x1 f(x2)
4、e x2 f(x1) B e x1f (x2) e x2f (x1) C ex 1 f(x2) e x2f (x1) D ex 1f (x2) 与 ex 2f (x1) 的大小关系不确定 11. 已知双曲线 1: 2 2 nm C y x , 曲线 e x xf在点 (0,1) 处的切线方程为022nymx， 则该双曲线的渐近线方程为（） A. xy2 B. xy2 C. xy 2 2 D. xy 2 1 12. 设cbxaxxxf 23 )(, 又k是一个常数, 已知当0k或4k时 ,0)(kxf只有 一个实根 , 当40k时,0)(kxf有三个相异实根, 现给出下列命题: (1) 04)(
5、xf和0)(xf有且只有一个相同的实根. (2) 0)(xf 和 0)(xf 有且只有一个相同的实根. (3) 03)(xf的任一实根大于01)(xf的任一实根 . (4) 05)(xf的任一实根小于02)(xf的任一实根 . 其中错误命题 的个数为（） A4 B3 C2 D1 二、填空题 13. 若函数f(x) kxln x在区间 (1， )上单调递增，则k的取值范围。 14. 已知 F 是抛物线y 2=4x 的焦点， A、B是该抛物线上的点， |AF|+|BF|=5,则 线段 AB的中点的横坐标为。 15. 已 知 实 数 ,x y满 足 不 等 式 组 20 30 2 xy xy xym
6、 , 且 zxy的 最 小 值 为 3, 则 实 数 m的 值。 16. 已知数列 2,2 1, 3 1 n n a nn ， n S 是该数列的前 n项和，若 n S 能写成 p t (, t pN且 1, 1 pt ) 的形式，则称n S 为 “指数型和” 则n S 中是“指数型和” 的项的序号和为。 三、解答题 17. 设命题 p： “方程 01 2 mxx有实数根” ；命题 q： “ 01)2(44 , 2 xmxRx”， 若 pq为假，q 为假，求实数m的取值范围 18. 在平面四边形ABCD中， 7 72 cos321CADABCDAD，。 （1）求AC的长； （2）若 14 7
7、cosBAD ，求ABC的面积。 B C D A 19. 已知数列 n a ，若 1 a, 2 a+1, 3 a成等差数列，数列 n a+1为公比为2 的等比数列。 （）求数列 n a 的通项公式； （ ） 数 列 n b 满 足 *)(1(log2Nnaab nnn， 其 前n 项 和 为n T ， 试 求 满 足 2015 2 2 nn Tn 的最小正整数n 20在四棱锥P ABCD 中，设底面ABCD 是边长为1 的正方形， PA 面 ABCD （1）求证： PC BD ； （2）过 BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点 E，当三棱锥EBCD的体积最大时，求二面角E BD C的大小 2
8、1已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，离心率为 1 2 ，直线l与椭圆相交于,A B 两点，当ABx轴时， ABF 的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程； （2）若直线l过点 ( 4,0)M ，求当ABF面积最大时直线AB的方程 . 22. 已知函数. (1)若, 求函数的极值； （2）若时，证明 (3)当时, 不等式恒成立 , 试证明 南方中学、醴陵一中2016 年下学期高二年级联考 数学 ( 理科创新班 ) 参考答案 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D D C A B A D C C A A D 二、填空题 13k
9、1. 14. 2 3 15.6 16.3 三、解答题 17. 解：对于命题P ：若方程01 2 mxx有实根，则 2 1 40m， 解得2m或2m，即p:2m或2m；,（2 分） 对于命题去q：若方程 2 44(2)10xmx无实根，则016)2(16 2 2 m， 解得31m，即31:mq,（4分） 由于若 pq 为假，则 p ， q至少有一个为假；又q 为假，则 q真所以p 为假， 即 p假q真，, （7分） 从而有 22 13 m m 解得12m所以m的范围是(1,2),（10 分） 18. 解：（ 1）在ACD中，由余弦定理可列得： 7 72 1214 2 ACAC，即：03 7 74
10、 2 ACAC， ,3 分 解得： 7AC . ,5 分 （2）由 7 72 cosCAD ，易得： 7 3 sinCAD， ,6 分 由 14 7 cosBAD ，易得： 72 33 sinBAD， ,7 分 故CADDABCADDABCADDABCABsincoscossin)sin(sin = 7 3 ) 14 7 ( 7 2 7 33 = 2 3 ，,10 分 故 2 3 73 2 1 sin 2 1 CABACABS ABC = 4 213 . ,12 分 19. （1）21 n n a（ * nN）. （5 分） 20解：（ 1）证明：四边形ABCD是正方形， BD AC ，PA平
11、面 ABCD ， 由此推出PA BD ， 又 AC PA=A ， BD 平面 PAC ，而 PC ? 平面 PAC ，所以推出PC BD （2）设 PA=x ，三棱锥EBCD的底面积为定值，求得它的高， 当，即时， h 最大值为，三棱锥EBCD的体积达到最大值为 以点 A为坐标原点， AB为 x 轴， AD为 y 轴， PA为 z 轴建立空间直角坐标系，则 ，令 E（x，y，z）， ，得， 设是平面 EBD的一个法向量， ， 则，得 又是平面 BCD的一个法向量， ，二面角EBD C为 21.(1) 设椭圆的右焦点为 F ，由椭圆的定义， 得 | | 2AFAFBFBFa， ,1 分 而 AB
12、F的周长为 | | 4AFBFABAFBFAFBFa， ,3 分 当且仅当AB过点 F 时，等号成立， 所以48a，即2a，又离心率为 1 2 ，所以1,3cb，,5 分 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . ,6 分 （2）设直线AB的方程为4xmy，与椭圆方程联立得 22 (34)24360mymy. 设 1122 (,),(,)A x yB xy，则 222 5764 36(34)144(4)0mmm， ,7 分 且 12 2 24 34 m yy m ， 12 2 36 34 y y m ，所以 2 12 2 1184 3| 234 ABF m Syy m ,9 分 令 2 4(0)tmt ，则式可化为 2 1818183 3 16 316416 3 2 3 ABF t S t t t t t . 当且仅当 16 3t t ，即 221 3 m 时，等号成立. ,11 分 所以直线 AB的方程为 221 4 3 xy 或 2 21 4 3 xy ,12 分 22. 解 ：(1) 由题意得 , 函数的定义域为, 由,. 函数有极小值。 ,4分 （2）易知要证即证在上恒成立，令 ,8分 (3) , . 当时, . 即时,恒成立 . 又由（ 2）知在上恒成立 , 在上恒成立 . 当时取等号 , 当时, 由上知. ,12 分