《湖南省长沙市2016届高三模拟(一)数学(理)试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市2016届高三模拟(一)数学(理)试题含答案.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学（理工农医类） 第卷 一、 选择题 ( 本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项 是符合题目要求的.) 1. 设i为虚数单位，则复数 32i i 的虚部是（） A3i B3i C 3 D-3 2. 记集合|0 ,|sin ,Ax xaBy yx xR，若0AB，则a的取值范围是 （） A,0 B,0 C0, D 0, 3. 某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（） A圆柱 B 圆锥 C 棱锥 D 棱柱 4. 二项式 5 2x展开式中 x的系数为（） A5 B 16 C80 D-80 5. 已知数列的前4 项为
2、 2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（） A 1 11 n n a B 2, 0, n n a n 为奇数 为偶数 C 2sin 2 n n a Dcos11 n an 6. 考生甲填报某高校专业意向，打算从5 个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志 愿，则不同的填法有（） A10 种 B60 种 C125 种 D243 种 7. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如下表： 使用智能手机不使用智能手机合计 学习成绩优秀4 8 12 学习成绩不优秀16 2 18 合计20 10 30 附表： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.02
3、5 0.010 0.005 0.001 0 k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算 2 10K，则下列选项正确的是：（） A有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8. 函数 1 sin,2 ,2 32 yxx 的单调递增区间是（） A 5 , 33 B2 , 3 C 5 ,2 3 D 5 2 ,2 33 和 9. 非负实数xy、满足ln10xy，则关于xy的最大值和最小值分
4、别为（） A2 和 1 B2 和-1 C1 和-1 D2 和-2 10. 如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（） A0.7 B0.75 C0.8 D0.9 11. 已知函数,1 x fxeg xx，则关于,fxg x的语句为假命题的是（） A,xR fxg x B 1212 ,x xR fxg x C 000 ,xR fxg x D 0 xR，使得 00 ,xR fxg xfxg x 12. 已知双曲线 22 122 :10,0 xy Cab ab 经过抛物线 2 2 :20Cypx p的焦点，且双 曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线 1 C的离心率是（） A
5、2 B3 C 3 2 D 2 3 3 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13. 1 0 x e dx _ 14. ABC的周长等于2 sinsinsinABC，则其外接圆半径等于_ 15. MN、分别为双曲线 22 1 43 xy 左、右支上的点，设v是平行于x轴的单位向量，则 MN v的最小值为 _ 16. 已知fx是定义在R上的偶函数，令2014F xxb fxb，若b是ac、的 等差中项，则F aF c_ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分12 分） 已知数列 n a满足 1 2 1 2 2 n n
6、 aa a n （1）求 n a的通项公式； （2）求 n a的前n项和 18. （本小题满分12 分） 空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量 按照AQI大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染； 201300为重度污染；300为严重污染 一环保人士记录去年某地某月10 天 的AQI的茎叶图如右 （1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI）的天数；（按这个月总共30 天计 算） （2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3 天，记空气质量优良的天数为，求的概率分 布列和数学期望 19. （
7、本小题满分12 分） 如图，矩形BDEF垂直于正方形,ABCD GC垂直于平面ABCD 且 1 , 2 A BDEC GDE （1）证明：面GEF面AEF； （2）求二面角BEGC的余弦值 20. （本小题满分12 分） 已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 ,2,1 2 P是 1 C上一点 （1）求椭圆 1 C的方程； （2）设ABQ、 、是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交 1 C于 异于PQ、的两点CD、点C关于原点的对称点为E证明：直线PDPE、与y轴围成的 三角形是等腰三角形 21. （本小题满分12 分） 已知函数 2 1 l
8、n 2 fxaxxax（a为常数）有两个极值点 （1）求实数a的取值范围； （2） 设fx的两个极值点分别为 12 ,x x 若不等式 1212 fxfxxx恒成立，求 的最小值 请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲 如图，CD、是以AB为直径的半圆上两点，且 ADCD （1）若/ /CDAB，证明：直线AC平分DAB； （2）作DEAB交AC于E证明： 2 CDAE AC 23. （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
9、立极坐标系，曲线 1 C的 极坐标方程为 2 4cos30,0,2 （1）求 1 C的直角坐标方程； （2）曲线 2 C的参数方程为 cos 6 sin 6 xt yt （t为参数），求 1 C与 2 C的公共点的极坐标 24. （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 设,均为实数 （1）证明：coscossin; sincoscos （2）若0，证明：coscoscos1 参考答案 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D A B C C B A D D A A D 二、填空题 13. 1e 14. 1 15. 4 16. 4028 三、解答题 17
10、. 【解析】（1）当1n时，由题设知 1 4a；当2n时，由题设 1 2 1 2 2 nn aa a n ， 知 12 1 2 21 nnaa a n 两式相减得： 1 22 nnn a n ， 即 22 n n ann， 故 n a的通项公式为 * 4,1 22, nn n a nnnN 6 分 （2）设 n a的前n项和为 n S， 则 22 1 22 22 n n Sn， 331 21 222122 nn n Snn， 两式相减得 123 2222 nn n Sn 11 1 2421 1 24 nn n n n 12 分 18 【解析】（ 1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2
11、，空气质量良的天数为4， 故该样本中空气质量优良的频率为 63 105 ，从而估计该月空气质量优良的天数为 3 3018 5 5 分 （2）由（ 1）估计某天空气质量优良的概率为 3 5 ，的所有可能取值为0，1，2，3 322 12 33 283 2363254 0,1,2 51255 512555125 PPCPC ， 3 327 3 5125 P ， 故的分布列为： 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 显然 33 3,31.8 55 BE 12 分 19. 【解析】解法一： （1） 如图，设EF中点为M，连结AMGMAGAC、 不妨设1CG， 因为C
12、G面ABCD，故CGAC， 从而在等腰AEF，等腰GEF中分别求得6,GM3AM， 此时在AMG中有 222 =AMGMAG， 所以AMGM， 因为M是等腰AEF底边中点，所以AMEF， 所以AM平面GEF， 因此面GEF面AEF 6 分 （2）如图延长EGDC、，设交点为H，作CNGH，垂足为N，连结BN， 因为,BCCG BCDC， 所以BC面EDH， 从而BCEH，又因为CNGH， 所以EG面BCN，从而EGBN， 所以BNC即为二面角BEGC的平面角， 不妨设1CG，则 在直角EDH中可求得 2 5 5 CN， 于是在RTBCN中可求得 6 cos 6 CNB， 所以二面角BEGC的余
13、弦值为 6 6 12 分 解法二： （1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz 不妨设1CG， 则由题设条件可知：2,0,0 ,2,2,0 ,0,0,2 ,2,2,2 ,0,2,1ABEFG 2,0,2 ,2,2,0 ,0,2, 1AEEFEG ， 设面AEF的法向量为, ,nx y z， 由 0 0 AE n EF n 得： 220 220 xz xy ， 可取1, 1,1n， 设面GEF的法向量为m， 由 0 0 EG m EF m 知，可取1,1,2m， 于是1 120m n， 所以面GEF面AEF 6分 （2）2,2, 2 ,2,0, 1EFGB， 设面BEG的法向量为, ,ux y z，
14、 由 0 0 EB u GB u 得： 0 20 xyz xz ，可取1,1,2u， 因为DA平面EGC，故取平面EGC的法向量为2,0,0DA， 因此 26 cos, 66 2 u DA u DA u DA 所以二面角BEGC的余弦值为 6 6 12 分 20. 【解析】（ 1）因为 1 C离心率为 3 2 ，所以 22 4ab， 从而 1 C的方程为： 22 22 1 4 xy bb 2 分 代入2,1P解得： 2 2b， 因此 2 8a 所以椭圆 1 C的方程为： 22 1 82 xy 4 分 （2）由题设知AB、的坐标分别为2, 1 , 2,1， 因此直线l的斜率为 1 2 ， 设直线
15、l的方程为： 1 2 yxt， 由 22 1 2 1 82 yxt xy 得： 22 2240xtxt， 当0时，不妨设 1122 ,C x yD xy， 于是 2 1212 2 ,24xxt x xt， 分别设直线PDPE、的斜率为 12 ,k k， 则 212121 12 2121 1221 11 2222 yxxy yy kk xxxx ， 则要证直线PDPE、与y轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证 2121 12210yxxy， 而 212121122112 122124yxxyyyx yx yxx 21121212 1212 22 4 4 2424 0 xxx xt xxxx x
16、xt xx tt 所以直线PDPE、与y轴转成的三角形是等腰三角形 12 分 21. 【解析】（ 1） 2 0 axaxa fxxax xx ， 于是fx有两个极值点需要二次方程 2 0xaxa有两正根， 设其两根为 12 ,x x，则 2 12 12 40 0 0 aa xxa x xa ，解得4a，不妨设 12 xx， 此时在 1 0,x上 12 0,fxx x上 2 0,fxx上0fx， 因此 12 ,x x是fx的两个极值点，符合题意 所以a的取值范围是4, 5 分 （2） 22 12111222 11 lnln 22 fxfxaxxaxaxxax 22 121212 2 121212
17、12 1 ln 2 1 ln 2 1 ln1 2 ax xxxa xx ax xxxx xa xx aaa 于是 12 12 1 ln1 2 fxfx aa xx ， 令 1 ln1 2 aaa，则 11 2 a a ， 因为4a，所以 0a ， 于是 1 ln1 2 aaa在4,上单调递减， 因此 12 12 4ln 43 fxfx a xx 且 12 12 fxfx xx 可无限接近ln 43， 又因为 12 0xx，故不等式 1212 fxfxxx等价于 12 12 fxfx xx ， 所以的最小值为ln 43 12 分 22. 【解析】（ 1）由题设/ /CDAB可知，DCABAC，
18、因为AD DC，所以DACDCA， 从而DACBAC，因此，AC平分DAB 4 分 （2）由DEAB知， 0 90ADEDAB， 因为AB为直径，所以 0 90DBADAB， 从而ADEABD，又因为ABDDCA， 所以ADEACD， 因此ADEACD， 所以 2 ADAE AC，而ADDC， 所以 2 CDAE AC 10 分 23.【解析】 （1）将 222 co s xy x 代入 2 4 cos30得： 2 2 21xy 4 分 （2）由题设可知， 2 C是过坐标原点，倾斜角为 6 的直线， 因此 2 C的极坐标方程为 6 或 7 6 ，0， 将 6 代入 2 1: 2 330C，解得：3， 同理，将 7 6 代入 1 C得：3，不合题意 故 12 ,C C公共点的极坐标为3, 6 10 分 24. 【解析】（ 1） coscoscossinsincoscossinsincossin； sinsincoscossinsincoscossincoscos 5 分 （2）由（ 1）知，coscossincoscoscos， 而0，故coscoscos1 10 分